EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA: 1º/ Una biblioteca desea estimar el

Ejercicios de Estadística. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Miguel Ángel Hernández.
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA:
1º/ Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está
compuesta de 4 salas (Norte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros,
respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de
libros con afijación proporcional.
a) ¿Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra?
b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, ¿Cuál es la estimación de la proporción de
libros infantiles en dicha sala?
c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual
anterior.
2º/ En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en
secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de
ESO, 1360 en 2º de ESO, 1280 en 3º de ESO y 940 en 4º de ESO. Se selecciona mediante muestreo
estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional.
a) ¿Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra?
b) Si en 4º de ESO contestan afirmativamente 120 alumnos, ¿Cuál es la estimación de la proporción
de alumnos que utiliza Internet en ese curso?
c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual
anterior.
3º/ En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes
encuestados tienen reproductor en formato MP3. Determinar:
a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor
de música en formato MP3.
b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90%.
4º/ Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos
deportivos sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una
media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. ¿Se
puede rechazar a un nivel de significación de 0,01 que el número medio de pulsaciones es de 45?
5º/ Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los nacidos en cierta población se distribuye
según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos de
esa población se ha determinado un peso media de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81
kilogramos2 . ¿Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el
peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos?
6º/ En una población de de 2000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los
conductores seleccionados se les preguntó si llevaban cadenas para utilizar en el caso de que
hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información se obtuvo el siguiente intervalo de
confianza al 95% para la proporción de conductores de esa población que llevaban cadenas para la
nieve: (0.172, 0.228) . Determinar:
a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que
llevan en sus vehículos cadenas para la nieve.
b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95%, con dicha estimación
puntual.
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Miguel Ángel Hernández.
7º/ En una ciudad en la que viven 5000 familias, se desea estimar el gasto medio semanal por
familia en alimentación. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 200 familias a las que se
les pregunta por su gasto semanal en alimentación. A partir de la información recogida se obtiene un
gasto medio semanal de 85 euros, siendo la cuasivarianza de 81 euros 2 . Determina:
a) El error que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 euros el gasto medio
semanal en alimentación de las familias de esa ciudad.
b) El número de familias que tendríamos que seleccionar para conseguir, con una confianza del
99%, un error máximo inferior a 0,5 euros en la estimación del gasto medio semanal en
alimentación para las familias de esa ciudad.
SOLUCIONES:
1º/ Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está
compuesta de 4 salas (Norte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros,
respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de
libros con afijación proporcional.
a) ¿Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra?
b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, ¿Cuál es la estimación de la proporción de
libros infantiles en dicha sala?
c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual
anterior.
a) Población:
N 1=2500
N 2 =2740
N 3=4000
N 4 =6900
Muestra:
n1
n2
n3
n4
N =16140
n=5 % de 16140=807
n1
n
n
n
807
= 2 = 3 = 4 =
2500 2740 4000 6900 16140
n 1=125 libros de la sala Norte
n 2=137 libros de la sala Sur
n 3=200 libros de la sala Este
n 4=320 libros de la sala Oeste
b)
p n=
80
≃0,21
137
c) Nivel de confianza del 90% ⇒ 1-α= 0,9 ⇒ α=0,1 ⇒
ERROR= t α ·


p n ·1− p n 
0,21· 0,79
=1,645·
≃0,057
N
137
t α=1,645
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Miguel Ángel Hernández.
2º/ En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en
secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de
ESO, 1360 en 2º de ESO, 1280 en 3º de ESO y 940 en 4º de ESO. Se selecciona mediante muestreo
estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional.
a) ¿Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra?
b) Si en 4º de ESO contestan afirmativamente 120 alumnos, ¿Cuál es la estimación de la proporción
de alumnos que utiliza Internet en ese curso?
c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual
anterior.
a) Población:
N 1=900
N 2 =1360
N 3=1280
N 4 =940
Muestra:
n1
n2
n3
n4
N =4480
n=672
n1
n
n
n
672
= 2 = 3 = 4 =
900 1360 1280 940 4480
n 1=135 alumnos de 1º de ESO
n 2=204 alumnos de 2º de ESO
n 3=192 alumnos de 3º de ESO
n 4=141 alumnos de 4º de ESO
b)
p n=
120
≃0,85
141
c) Nivel de confianza del 95% ⇒ 1-α= 0,95 ⇒ α=0,05 ⇒
ERROR= t α ·


p n ·1− p n 
0,85· 0,15
=1,960·
≃0,059
N
141
t α=1,960
Ejercicios de Estadística. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Miguel Ángel Hernández.
3º/ En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes
encuestados tienen reproductor en formato MP3. Determinar:
a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor
de música en formato MP3.
b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90%.
a)
p n=
3700
=0,925
4000
b) Nivel de confianza del 90% ⇒ 1-α= 0,9 ⇒ α=0,1 ⇒
ERROR= t α ·

t α=1,645

p n ·1− p n 
0,925· 0,075
=1,645·
≃0,0068
N
4000
4º/ Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos
deportivos sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una
media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. ¿Se
puede rechazar a un nivel de significación de 0,01 que el número medio de pulsaciones es de 45?
Hipótesis Nula
Hipótesis Alternativa
H 0 : μ=45 pulsaciones por minuto.
H 1 : μ≠45 pulsaciones por minuto.
∣ x − μ ∣ ∣47−45∣
V exp = n 0 =
≃2,020
sn
7
50
n
Nivel de significación α=0,01 ⇒
t α=2,576
V α =t α =2,576
V exp =0,020V α =2,576 ⇒ Rechazamos la hipótesis alternativa H 1 con el nivel de
significación α=0,01, es decir, rechazamos que la media no sea de 45 pulsaciones por minuto con
este nivel de significación.
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Miguel Ángel Hernández.
5º/ Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los nacidos en cierta población se distribuye
según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos de
esa población se ha determinado un peso media de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81
kilogramos2 . ¿Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el
peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos?
Hipótesis Nula
Hipótesis Alternativa
H 0 : μ=3 kg.
H 1 : μ≠3 kg.
∣ x − μ ∣ ∣3,1−3∣
V exp = n 0 =
≃0,888
sn
0,9
 64
n
Nivel de significacióndel 1% ⇒ α=0,01 ⇒
t α=2,576
V α =t α =2,576
V exp =0,888V α=2,576 ⇒ Rechazamos la hipótesis alternativa H 1 con el nivel de
significación del 1%, es decir, rechazamos que la media no sea de 3 kg con este nivel de
significación.
6º/ En una población de de 2000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los
conductores seleccionados se les preguntó si llevaban cadenas para utilizar en el caso de que
hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información se obtuvo el siguiente intervalo de
confianza al 95% para la proporción de conductores de esa población que llevaban cadenas para la
nieve: (0.172, 0.228) . Determinar:
a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que
llevan en sus vehículos cadenas para la nieve.
b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95%, con dicha estimación
puntual.
a)
p n=
0,1720,228
=0,2
2
b) Nivel de confianza del 95% ⇒ 1-α= 0,95 ⇒ α=0,05 ⇒
ERROR= t α ·


p n ·1− p n 
0,2 ·0,8
=1,960·
≃0,055
N
200
t α=1,960
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Miguel Ángel Hernández.
7º/ En una ciudad en la que viven 5000 familias, se desea estimar el gasto medio semanal por
familia en alimentación. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 200 familias a las que se
les pregunta por su gasto semanal en alimentación. A partir de la información recogida se obtiene un
gasto medio semanal de 85 euros, siendo la cuasivarianza de 81 euros 2 . Determina:
a) El error que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 euros el gasto medio
semanal en alimentación de las familias de esa ciudad.
b) El número de familias que tendríamos que seleccionar para conseguir, con una confianza del
99%, un error máximo inferior a 0,5 euros en la estimación del gasto medio semanal en
alimentación para las familias de esa ciudad.
a) Nivel de confianza del 99% ⇒ 1-α= 0,99 ⇒ α=0,01 ⇒
ERROR =
tα·
t α=2,576
sn
9
=2,576 ·
≃1,639
n
 200
b) Nivel de confianza del 99% ⇒ 1-α= 0,99 ⇒ α=0,01 ⇒
t α=2,576
sn
t 2α · s 2n
ERROR = t α · ε ⇒ n 2
n
ε
ERROR = 2,576 ·
9
2,576 2 · 92
0,5 ⇒ n
n
0,5 2
n2149,99
Por tanto, el número de familias que han de ser seleccionadas será mayor o igual a 2150.