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Repartido Nº4 - Probabilidad
PROBABILIDAD
Introducción:
En el lenguaje ordinario las palabras “probable”, “probabilidad” o “posibilidad” se usan en un sentido
muy vago. Por ejemplo podemos decir que si tiramos un dado es muy probable que el número que
obtengamos sea menor a seis, más aún, podríamos afirmar que tenemos cinco posibilidades en seis
posibles. Es inmediato suponer que si lanzamos una moneda al aire un razonamiento análogo también
sería válido. La probabilidad de obtener cara es de una en dos. Estamos aquí midiendo la probabilidad
de un suceso con el cociente de casos favorables sobre el de los casos posibles.
Si bien uno puede llegar a predecir el resultado de un lanzamiento de un dado o de una moneda, si
conoce todas las fuerzas que actuarán en él o en ella a la hora de ser lanzado o lanzada, es lógico
pensar que en la inmensa mayoría de los casos no contaremos con tal información. Por lo que
necesitamos modelar una teoría sobre el azar donde podamos trabajar con la premisa de que es
imposible predecir el resultado de los experimentos aleatorios, pero trabajando con que es posible
describir cuáles son todos los resultados que puedo obtener en dicho experimento. El conjunto de todos
los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y lo nombraremos E,
mientras que el conjunto formado por los casos posibles lo nombraremos X. Así en el experimento de
lanzar un dado tenemos que: E  1, 2,3, 4,5, 6 y X  1, 2,3, 4,5 , mientras que en el de lanzar una moneda
E  cara, número y X  número
Empecemos ahora a formalizar un poco nuestra nueva teoría.
Definición:
Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados
posibles de dicho experimento.
Ejemplos:
Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {cara, sello}
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E={1,2,3,4,5,6}
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)}
Definición:
 Se llama suceso (S) a cualquier subconjunto de un espacio muestral.
 Llamamos suceso seguro al suceso determinado por todos los elementos del espacop muestral.
Es decir, S es seguro si y sólo si S = E.
 Llamamos suceso imposible al conjunto vacío.
Ejemplos:
Al lanzar una moneda, un suceso es S={cara} (que salga cara)
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Al lanzar un dado de seis caras, un suceso es S={1,3,6} (que salga el 1, el 3 o el 6).
Al lanzar dos monedas, un suceso es S={(c,c),(s,c)} (que salgan dos caras, o que la
primera salga seca y la segunda cara
Ejercicio:
1) Dados los siguientes experimentos, indica su espacio muestral y todos sus sucesos.
a) Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 1 negra. Se extraen sucesivamente dos
bolas.
b) Una urna contien tres bolas numeradas. Se e xtrae una bola al azar y luego se
lanza una moneda.
2) Observando lo realizado en el ejercicio 1, completa los espacios punteados.
El conjunto determinado por todos los sucesos es
…………………………………………………………… del espacio muestral. Por lo tanto, si el cardinal
del espacio muestral es n, tendremos ………… sucesos.
Definición de Laplace:
Sea E un conjunto no vacío con una cantidad finita de elementos y X un subconjunto de E. Llamaremos
#X 
#X 
probabilidad de X respecto a E al número
 anotamos P  X  

#E 
#E 
Ejercicio:
De un mazo de 50 cartas españolas se saca una al azar. Calcular la probabilidad de que sea:
a) El 5 de oro
b) Un as
c) Oro
d) Un comdín
e) Un 8 o un 9
f) Espada y par
g) Un 8 y un 9
Propiedades:
1) P    0 y P  E   1
2) 0  P  X   1 Utiliza para la demostración que:   X  E
Dem:
#
0

0
#E #E
#E
PE 
1
#E
1) P   
2) Para cualquier suceso X, se cumple:
#   #  X  #  E 


 P    P  X   P  E   0  P  X   1
  X  E  #    #  X   #  E  
#E #E #E
Definición:
Dados dos sucesos A y B. Diremos que A y B son mutuamente excluyentes o incompatibles si y solo
si A  B  
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Ejemplo:
Obtener un número menor o igual a dos en un dado y obtener un número mayor a cinco son sucesos
incompatibles.
Definición:
Dados dos sucesos A y B de un espacio muestal E. Diremos que A y B son complementarios si y solo
si A  BEC (o lo que es equivalente A = E – B).
Ejemplo:
Obtener cara en una moneda y obtener número, son sucesos complementarios
Propiedades:
a) Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, P  A  B   P  A  P  B 
b)
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B  donde A y B son sucesos cualesquiera.
c)
P AC  1  P  A  donde A es un suceso cualquiera.
 
Dem:
a)
P  A  B 
#  A  B  #  A  #  B  #  A #  B 



 P  A  P  B 
#E 
#E
#E #E
 Como A  B    #  A  B   #  A   #  B 
b)
P  A  B 
c)
 
C
P A
# A  B
#E

#  A  #  B   #  A  B 
#E

#  A
#E

#B
#E

# A  B
#E
 P  A  P  B   P  A  B 
   #  E  A  #  E   #  A  #  E   #  A  1  P  A
# AC
# E
# E
#E
#E
#E
Veamos una situación particular para poder aplicar algunas de las propiedades que acabamos de
demostrar.
Son encuestados 50 jóvenes y se recibe la siguente información: 35 estudian, 15 trabajan y estudian y 3
no realizan ninguna de estas actividades.
Si se elige un entrevistado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) estudie o trabaje?
b) estudie sabiendo que trabaja?
Antes de empezar a contestar a estas pregunta, analicemos la situación a partir de diagramas de Venn.
Llamemos T al suceso “trabajan” y S al suceso “estudian”. Tenemos que
# T  S   15 (pues son 15 los que trabajan y estudian simultáneamente)
#  S  T   20 (pues 35 estudian, y de estos 15 trabajan y estudian, por lo tanto 20 son los que
únicamente trabajan)
C
#  S  T    3 (pues sólo 3 no estudian ni trabajan), entonces # T  S   47 (pues de 50 sólo 3 no


estudian ni trabajan) y, por lo tanto, # T  S   12 ( de esos 47, hay 35 que estudian, por lo tanto los que
sólo trabajan son 12).
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T
12
S
15
3
20
E
Respondamos a las preguntas:
a) La probabilidad de que estudie o trabaje es
P T  S  
# T  S 
#E

47
 0,94
50
b) Para este nuevo suceso X = “estudia sabiendo que trabaja” nuestro espacio muestral cambia,
pues ya sabemos que no elegimos al azar entre los 50, sino entre los 27 que trabajan. Por lo
tanto, nuestro espacio muestral es T, y nuestro suceso X lo podemos expresar como el suceso
T∩S ya que debemos tomar en cuenta a los jóvenes que estudian sabiendo que trabajan, por lo
tanto a los que estudian pero no trabajan no los podemos considerar. De esta forma la
probabilidad a calcular la podemos plantear como sigue:
P X  
# T  S 
#T


15
 0,5
27
Cuando tenemos este tipo de probabilidades, les damos un nombre especial y la definimos como sigue:
Definición:
Sea A   y B un subconjunto de E. Llamamos probabilidad condicional (o condicionada) de B
respecto de A al número: P( B / A) 
P  A  B
P  A
Observaciones:
1) ¿Por qué en el ejemplo trabajamos con los cardinales de T∩S y de T y en la definción trabajamos
con las probabilidades de A∩B y de A en vez de sus cardinales?
2) ¿Por qué se exige en la definición que A no sea vacío?
3) A partir de esta definición, podemos conseguir una fórmula para calcular la probabilidad de la
P  A  B
P( B / A) 
 P  A  B   P( B / A).P  A 
intersección de dos sucesos:
P  A
Definición:
Dados dos sucesos A y B, diremos que A y B son independientes si y solo si P  A / B   P( A)
Observaciones:
1) Si dos sucesos A y B son independientes, entonces
P  A  B
P  A  B
P( A)  P  A / B  
 P( A) 
 P( A).P  B   P  A  B 
P  B
P  B
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Práctico Nº4 (Primera tanda de ejercicios)
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1. Sumando los resultados obtenidos en el lanzamiento de dos dados de seis caras no cargados.
a. Calcula la probabilidad de obtener un número un número par.
b. Calcula la probabilidad de obtener un 7
c. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor a 9
d. Calcula la probabilidad de obtener doble 1, sabiendo que en el primer dado ya salió 1.
2. Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50
envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determina
las probabilidades siguientes:
a. De que entre los tres no haya ninguno deficiente.
b. De que entre los tres haya tres deficientes.
c. De que entre los tres haya a lo sumo dos deficientes.
3. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del
mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos
para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen
uno de los temas estudiados.
4. La cantidad de alumnos que asiste a cierto liceo es:
Mañana Tarde
Total
Mujeres
250
200
450
Varones
120
230
350
Total
370
430
a. Calcula la probabilidad de elegir un alumno varón si se toma uno al azar.
b. Ídem, pero sabiendo que el alumno es elegido en el turno de la tarde.
5. Se tiene dos urnas con bolas blancas y negras. La primera tiene dos bolas blancas y tres negras, la
segunda tiene 4 blancas y una negra. Se lanza una moneda y se decide, si sale cara se toma al azar
una bola de cada urna, si sale número se toman dos bolas de la segunda urna.
Calcula la probabilidad de extraer dos bolas negras en un lanzamiento de moneda.
6.
Se tienen cuatro colores distintos de pinturas: azul, amarillo, rojo y verde.
a. ¿Cuántos colores puedo formar mezclando 3 de ellos?
b. ¿Qué probabilidad hay de mezclar 3 colores al azar y que uno de ellos sea azul?
7.
a. Para realizar una encuesta se seleccionan 6 personas entre 20 dadas. ¿Cuál la probabilidad de
que Flor y Martín sean seleccionados?
b. Una vez seleccionados se los ordena por lugar de trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que queden
en lugares contiguos?
8.
Una pareja de conejos es usada como reproductora. Esta tiene una probabilidad de 0,6% de dar a
luz un conejo hembra y de 0,4 de dar un conejo macho. Si tiene 5 conejos en un nacimiento.
a. Calcula la probabilidad de que todos sean machos.
b. Calcula la probabilidad de que todas sean hembras.
c. Calcula la probabilidad de tener dos hembras y tres machos.
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