Escritura matemática: símbolos y significados

Escritura matemática: símbolos y significados
Blanca M. Parra. Febrero de 2013
Hemos resuelto algún par de problemas en los que aparecen expresiones del tipo −4 ≤ 𝑥 ≤ 6, en la
cual x es la variable independiente del problema.
En esa escritura hay hechos que debemos conocer y hechos que debemos aprender. Veamos.
Orden en la recta numérica:
Si trazamos una recta numérica que represente al conjunto de todos los números reales, lo que veremos
será algo así:
Y probablemente en alguna parte habremos ubicado al cero y el uno para definir la escala. Entonces se
vería así:
0
1
con lo cual sabemos de qué tamaño deberemos representar cada unidad a la izquierda y a la derecha
del cero para graduar la recta.
Pero sabemos más. Sabemos que si tenemos dos números y queremos compararlos, para determinar
cuál es el mayor y cuál es el menor, lo que podemos hacer es representarlos en la recta numérica. El
mayor es el que se encuentre más a la derecha; el menor es el que se encuentre más a la izquierda,
siempre.
Por ejemplo: para comparar -11 y -7 los representamos en la recta numérica:
-11
-7
Así sabemos que -11 es menor que -7 (porque -11 se encuentra a la izquierda de -7) y escribimos -11 < -7
que se lee “-11 es menor que -7”.
Podríamos decirlo de otra manera: -7 es mayor que -11 (porque -7 está a la derecha de -11) y
escribimos -7 > -11 que se lee “-7 es mayor que -11”.
Las dos escrituras: -11 < -7
y -7 > -11 dicen exactamente lo mismo, pero de manera distinta.
Estos símbolos nos permiten escribir oraciones de manera más breve e independientemente del
lenguaje que hablemos (español, inglés, alemán, chino, etc.). De esa manera, sin importar quién lea los
textos en matemáticas, va a entender lo mismo que el resto del mundo.
Cuando trabajamos con funciones (modelos matemáticos) es frecuente que los utilicemos para
representar partes de la recta numérica.
Intervalos.
La escritura −4 < 𝑥 < 6 representa el conjunto de todos los números reales que están a la derecha de 4 (porque si -4 < x, entonces -4 está a la izquierda de x) y, al mismo tiempo se encuentran a la izquierda
de 6 (porque si x < 6, entonces x está a la izquierda de 6). Gráficamente:
-4
6
Y decimos que tenemos el intervalo abierto (-4, 6), que no contiene a los números -4 ni 6.
Date cuenta de que hay que leer con mucho cuidado el texto completo de un problema o ejercicio. Un
error de lectura o una lectura incompleta podría llevarte a confundir el intervalo abierto (-4, 6) con el
punto que tiene coordenadas (-4, 6). Son dos cosas totalmente distintas. Lo mismo pasa cuando
escribes: debes especificar claramente de qué estás hablando para que todos podamos entender lo que
escribes.
Hay más detalles que hay que cuidar.
Si la escritura es −4 ≤ 𝑥 ≤ 6 entonces lo que significa es que los valores de la variable comienzan
(incluyen) al -4 y terminan (incluyéndolo) en 4.
−4 ≤ 𝑥 representa el conjunto de números que son mayores o son iguales a -4
𝑥 ≤ 6 representa el conjunto de números que son menores o son iguales a 6
Cuando tomamos en cuenta las dos condiciones, tenemos el conjunto de todos los números reales que
son mayores o iguales que -4 pero menores o iguales que 6.
Gráficamente:
-4
6
Es casi lo mismo que en el caso anterior, pero tiene dos puntos extra: el -4 y el 6. Decimos que tenemos
el intervalo cerrado que va desde -4 hasta 6 (incluyéndolos)y escribimos [-4, 6].
Si no tienes cuidado al escribir, puedes estar diciendo cosas que no son ciertas. Asegúrate de escribir
correctamente los símbolos.
Varios ejemplos:
Escritura
Descripción
Lectura
Escritura como
desigualdad
x<7
Escritura
alternativa
como
desigualdad
7>x
x≤7
7≥x
No tiene, pero se
escribe también ,
que es el símbolo
para representar el
conjunto de todos los
números reales.
3 < 𝑥 ≤ 7.25
7.25 ≥ 𝑥 > 3
(-∞, 7)
Todos los números
menores que 7
(-∞, 7]
Todos los números
menores o iguales
que 7
(-∞, ∞)
Todos los números
reales
Intervalo abierto de
-∞ hasta 7, sin
incluirlo
Intervalo abierto en
valores de -∞ y
hasta 7,
incluyéndolo
Cualquier número
en la recta numérica
(3, 7.25]
Todos los números
reales mayores que 3
pero menores o
iguales a 7.25
Intervalo abierto en
3 (no lo incluye) y
cerrado en 7.25 (si
lo incluye)
Algo que nunca se debe hacer es escribir los símbolos de orden mezclados. Por ejemplo:
7< x >6 no tiene sentido
Por otro lado, recuerda que cuando hablamos de números reales estamos incluyendo todo tipo de
números: enteros, fracciones, decimales, negativos, positivos, el cero, raíces, etc.
En razón de lo anterior, si te preguntan cuál es el primer número en el intervalo abierto (0, 5), por
ejemplo, no puedes dar respuestas correctas. A la derecha del cero está 0.1, pero también están 0.001,
0.0001, 0.000000001, y una infinidad de otros. Te puedes acercar tanto como quieras al cero, sin
tocarlo. Y lo mismo pasa con cualquier otro número.
En cambio, el primer número en el intervalo [0, 5) es 0, pero no puedes decir cuál es el último porque te
puedes acercar tanto como quieras a 5 sin tocarlo.