Análisi gráfico de un movimiento rectilineo

Instituto de Profesores “Artigas”
Física Experimental 1
Guía práctica Nº 2
ANÁLISIS GRÁFICO DE UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
El
dispositivo
experimental se muestra
en
la
figura
1.
Un
registrador electrónico o
timer se ha montado de
forma que se pueda
registrar
una
caída
vertical. Estos aparatos
están
diseñados
para
generar marcas sobre la
cinta de papel, de modo
que el intervalo de tiempo
transcurrido entre dos
marcas consecutivas tiene
un único valor.
Una
cinta
de
papel
adecuado se adosará a un
cuerpo, se hará pasar por
una ranura del timer, de
Figura 1
manera que luego que se
deje caer el cuerpo, la cinta tendrá un registro de su
movimiento.
Por tanto, al final de la tarea experimental tendremos
disponible una cinta de papel con marcas que codifican
información sobre el movimiento del cuerpo. Sobre ella
trabajaremos. El aspecto que tendrá la cinta se esquematiza
en la figura 2.
MEDIDAS A REALIZAR
Debido a que el cuerpo, cuyo movimiento se quiere estudiar,
se dejará en libertad desde el reposo respecto al piso, el
trayecto que describirá el mismo respecto a ese marco de
referencia será rectilíneo.
Posición
Figura 2
Por simplicidad, tratándose de movimientos rectilíneos, la
posición se define, respecto de un lugar que pertenezca a la
recta sobre la que está “apoyada la trayectoria” (origen de
posiciones O). En situaciones como esta, se elige uno de las primeras marcas claras
sobre la cinta, que se distinga claramente del resto. Téngase presente, que si se
quiere analizar una “evolución temporal” de las marcas, se debe elegir a una de
ellas como representante del origen de posiciones (no cualquier punto de la cinta).
r
De modo que “los mejores valores” de las posiciones del cuerpo ( x ) se obtendrán
midiendo, con una regla, las longitudes definidas entre el origen O y cada marca
que se quiera estudiar.
Desplazamiento
r
El desplazamiento ( Δx ) podría obtenerse al menos de dos formas:
1
•
•
r r
r
Δx = x f − xi
A partir de su definición (
) y de los datos de las posiciones.
A partir de su definición y midiéndolos directamente sobre la cinta.
Velocidad media
En cada intervalo en que se ha determinado el desplazamiento se puede calcular la
velocidad media, a partir de su definición, en donde Δt es el intervalo de tiempo
r
que le corresponde a cada Δx :
r
r
Δx
vm =
Δt
[2.1]
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea se puede definir como el límite que toma el cociente que
define la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, en símbolos:
r
r
⎛ Δx ⎞
v = lím ⎜ ⎟
Δt →0 Δt
⎝ ⎠
[2.2a]
Si se prefiere, ya que el cociente incremental define la derivada primera de la
posición respecto del tiempo, es posible escribirlo con la notación propia de las
derivadas:
r
r dx
v=
dt
[2.2b]
Mediante el procedimiento que elegimos para realizar esta actividad, no tenemos
herramientas para “calcular el valor del límite”, o la derivada (salvo una
aproximación a partir del grafico “posición-tiempo”). Plantearemos una “hipótesis
razonable” que nos permita asignar cada valor de velocidad media calculado, a un
instante de tiempo del intervalo.
Aceptemos a priori que en el problema que estudiaremos, el módulo la velocidad irá
creciendo a medida que transcurre el tiempo. Dado cierto intervalo de tiempo
( Δt = t f − t i ) entre dos marcas, tales que la velocidad media se conoce, podemos
afirmar:
•
La velocidad del cuerpo, en el instante ( t i ) en que se creó la primera marca del
intervalo, tiene un valor menor que la media del intervalo.
•
La velocidad del cuerpo, en el instante ( t f ) en que se generó la segunda marca
del intervalo tiene un valor mayor que la media del intervalo.
•
Si aceptamos que la velocidad instantánea va tomando “todos” los valores
intermedios entre los que toma en los extremos del intervalo, seguramente
habrá un instante de tiempo de ese intervalo en que la velocidad
instantánea coincida con la velocidad media en el mismo.
•
Asumiremos como HIPÓTESIS 1 que en el instante medio t = ⎜⎜
r
⎛ t f + ti
⎝ 2
⎞
⎟⎟ de
⎠
cada intervalo la velocidad instantánea ( v ) del cuerpo coincide con la
r
velocidad media del mismo ( v m ).
1
Esta afirmación es estrictamente válida en caso de un movimiento rectilíneo con aceleración constante.
2
r
Tendremos así, un conjunto de valores de velocidad instantánea ( v ) y sus
correspondientes valores de tiempo ( t ), que podremos analizar gráficamente.
Seguramente será útil ordenar la información anterior en una tabla.
Aceleración
La aceleración media de una partícula, en un intervalo de tiempo ( Δt = t f − t i ) se
define:
r
r
v f − vi
r
am =
t f − ti
[2.3]
A partir de su definición, podemos concluir que si se dispone de un gráfico
“velocidad - tiempo” para un movimiento rectilíneo, la pendiente de un segmento
de recta definido entre dos puntos del grafico, permite calcular la aceleración media
en dicho intervalo.
Si es válido (como seguramente ocurrirá en esta actividad) definir una función
lineal para describir el conjunto de puntos del gráfico mencionado, obtendremos
valores similares entre sí para el cálculo de la pendiente en diferentes intervalos.
En tal caso, la aceleración en cada instante coincidirá con el de la aceleración
media.
INCERTIDUMBRES EN MEDIDAS INDIRECTAS
En esta actividad experimental, determinaremos al menos dos magnitudes de forma indirecta:
velocidad y aceleración.
Analizaremos aquí de que forma contribuyen (se propagan) las incertidumbres en las medidas
directas realizadas a las obtenidas indirectamente.
Supongamos primero un caso general en que cierta magnitud V es función de otras x, y, z, ... .
Estas últimas son todas independientes entre sí, se conocen sus valores medios, y , z , ... ,y
sus respectivas incertidumbres absolutas δx, δy, δz, ... .
Es posible demostrar que la incertidumbre absoluta de la magnitud V (δV), está dada por la
expresión:
2
2
2
⎞ ⎛ ∂V
⎞
⎛ ∂V
⎞ ⎛ ∂V
δV = ⎜
⋅ δx ⎟ + ⎜⎜
⋅ δy ⎟⎟ + ⎜
⋅ δz ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠
⎠ ⎝ ∂z
[2.4]
En la expresión anterior, el símbolo “∂” denota la derivada parcial de la función V respecto de la
variables independientes x, y, z, ... , y la fórmula se evalúa para los valores, y , z , ... .
Obsérvese que esta expresión tiene un aspecto análogo al de definiciones ya realizadas para las
incertidumbres nominal y combinada en medidas directas.
Una expresión más cómoda, aunque menos aproximada, para trabajar es la siguiente:
δV =
∂V
∂V
∂V
⋅ δx +
⋅ δy +
⋅ δz + ⋅ ⋅ ⋅
∂x
∂y
∂z
[2.5]
que como veremos a continuación permite obtener expresiones para ciertos casos particulares
de interés.
Caso1. En una función que puede expresarse en la forma potencial:
V = xα ⋅ y β ⋅ z γ ⋅ ⋅ ⋅
[2.6]
la incertidumbre absoluta puede escribirse:
δV = α ⋅ x α −1 ⋅ y β ⋅ z γ ⋅ ⋅ ⋅ δx + β ⋅ x α ⋅ y β −1 ⋅ z γ ⋅ ⋅ ⋅ δy + ⋅ ⋅ ⋅
[2.7]
3
Si se divide por la función V, evaluada en los valores medios de las medidas directas, se obtiene
la incertidumbre relativa de V:
δV
V
=α ⋅
δx
x
+β ⋅
δy
y
+γ ⋅
δz
z
+ ⋅⋅⋅
[2.8]
En la práctica este razonamiento puede aplicarse a funciones definidas exclusivamente
mediante productos o cocientes. Algunas de las magnitudes que vamos a determinar en esta
actividad se definen mediante esas operaciones. ¿Cómo quedarían expresada las incertidumbres
de una velocidad media?, ¿y de la aceleración media?
Caso 2. Una magnitud Z que pueda expresarse mediante una función, que se define mediante
la suma o la resta de otras magnitudes x, y, z, ...
Z = x ± y ± z ± ⋅⋅⋅
[2.9]
A partir de [2.5] se puede obtener una expresión aproximada para la incertidumbre absoluta
en Z, cuando esta magnitud se genera a partir de sumas o restas de las magnitudes medidas
directamente:
δZ = δx + δy + δz + ⋅ ⋅ ⋅
[2.10]
A modo de ejemplo, si el desplazamiento en esta actividad se obtuviera de forma indirecta,
sería aplicable esta forma aproximada de determinar su incertidumbre absoluta.
En el Apéndice II se incluye una tabla, donde pueden encontrarse expresiones aproximadas
para determinar incertidumbres asociadas a magnitudes obtenidas mediante operaciones
sencillas.
GRÁFICOS
Construcción manual
Algunas sugerencias para la construcción manual de gráficos “x,y”:
•
Identificar en una tabla de datos los valores mínimos y máximos que se quiere
representar en cada eje.
•
Para el caso en que se defina construir gráficos con escalas homogéneas 2 es
conveniente utilizar papel milimetrado.
•
Definir escalas gráficas adecuadas para cada eje teniendo en cuenta que:
o
Se optimice el espacio disponible.
o
Se pueda ubicar toda la información de la tabla.
o
Especialmente
cuando
se
requiere
verificar
relaciones
de
proporcionalidad directa, es conveniente tener a la vista los orígenes de
los ejes.
•
Representar puntos sobre el grafico, cuyas coordenadas son los “mejores
valores” de las magnitudes.
•
Representar incertidumbres en las magnitudes, trazando segmentos de recta
que representen a escala dichas incertidumbres. En un par de ejes cartesianos,
cada punto se transforma en un “rectángulo de incertidumbre”, en el caso que
las incertidumbres de ambas magnitudes sean visibles con la escala gráfica
elegida. A modo de ejemplo, en los gráficos de las figuras 3, 4 y 5, se han
representado a escala incertidumbres absolutas en la magnitud graficada en el
eje de ordenadas de valor 0,1 m/s.
2
En ciertas ocasiones es útil construir gráficos sobre un sustrato en el que uno de los ejes tiene escala
logarítmica (“semilog”), o que ambos la tengan (“log-log”)
4
•
Trazado de una línea que sea representativa del conjunto de puntos
experimentales. En general, la primera opción que se considera es el trazado de
un segmento de recta, cuando “se observa a ojo” que es válido. En caso
contrario se intentará el trazado de una “línea suave” que represente
adecuadamente el comportamiento general. En la figura 3 se muestra un
conjunto de puntos experimentales y una línea trazada uniendo los puntos que
NO es adecuada, porque “a simple vista” se observa que es posible definir una
única recta que representa de forma más simple la relación funcional entre las
magnitudes medidas (figura 4).
ESTE TRAZADO NO
SE CONSIDERA
CORRECTO en
FÍSICA
Figura 3
Figura 4
5
Construcción de gráficos mediante herramientas informáticas
Para el caso de una relación lineal entre las variables
Existen herramientas de este tipo (calculadoras científicas, programas
informáticos 3 ) para analizar gráficamente información experimental, como la
disponible en esta experiencia (con presunta relación lineal: velocidad y tiempo).
Mediante ellas es posible definir lo que habitualmente se llama regresión lineal,
ajuste lineal (linear fit 4 ) o recta de cuadrados mínimos.
Para que sea posible utilizar este ajuste de la manera que lo planteamos aquí (en
forma elemental), se requiere que las magnitudes medidas sean independientes,
que la incertidumbre absoluta en la magnitud que se ubica en el eje de abscisas
“tienda a cero”, que la magnitud que se coloca en el eje de ordenadas tenga una
precisión aproximadamente constante.
Esta recta se define de modo que el promedio de desviaciones cuadráticas, entre el
valor de la función lineal y el valor de la ordenada para cada punto que representa
un dato experimental, sea mínimo. En el Apéndice I se desarrolla esta afirmación.
Las herramientas informáticas disponibles en el medio, dan al menos dos
parámetros como resultado del ajuste: pendiente de la recta (slope), y
ordenada en el origen de abscisas (Y-intercept). En algunos casos se pueden
conocer también el coeficiente de correlación 5 (correlation coefficient), y la
desviación cuadrática media (RMSE, Root Mean Square Error)
Figura 5
3
A modo de ejemplo, y con una gama muy variada de prestaciones, mencionamos: Software Cassy,
Excel, Curve Expert, Origin, Mathcad, Graphical Analysis, Logger Pro, Matlab.
4
La terminología inglesa utilizada en esta sección corresponde a una de ellas (Graphical Analysis), con la
cual se han construido los gráficos de las figuras 3 a 5. Puede haber alguna diferencia terminológica si se
utiliza otra herramienta.
5
O su valor absoluto, o su cuadrado, dependiendo de la herramienta utilizada.
6
Se define una recta y = m ⋅ x + n , de forma que se obtiene su pendiente (m), la
ordenada en el origen de abscisas (n, que se nombra b en el ejemplo de la figura
5). Es posible también definir formas de evaluar las incertidumbres en estas
cuantías, que no analizaremos aquí.
El coeficiente de correlación, es un número que puede tomar valores entre 0 y
+1 para una recta que tiene pendiente positiva. Este coeficiente mide el grado en
que las dos variables están linealmente relacionadas. Un valor +1 indica una
“correlación perfecta” entre las variables, un valor 0 indica que no existe relación
lineal. En la práctica encontramos que las relaciones con aspecto lineal tienen
coeficientes de correlación cercanos a 1, como en el ejemplo de la figura 5.
La desviación cuadrática media (RMSE) es una medida de que tan lejos están,
en promedio, los puntos que representan a los datos de la curva ajustada. Se da en
las unidades del eje de ordenadas. Se define:
∑ ( f (x ) − y )
2
RMSE =
i
n−d
i
[2.11]
Donde f(xi) es el valor de la función lineal evaluada en la variable x para el valor xi,
yi es el valor de la coordenada y del punto, n es el número de puntos y d es el
número de parámetros libres en la función f(x).
A partir del análisis de estos dos últimos coeficientes es posible evaluar “la bondad”
del ajuste lineal a un conjunto de datos experimentales.
Para el caso de una relación no lineal
Cuando se evalúe que “la bondad” del ajuste lineal no es aceptable, debería
buscarse una curva que represente mejor la relación entre las variables.
Incluso las herramientas más modestas disponibles en el ámbito secundario,
permiten explorar ajustes no lineales: cuadráticos, inversos, logarítmicos, etc.
En nuestro caso esas herramientas nos serán útiles para identificar la relación entre
la posición y el tiempo.
Esta guía ha sido escrita, revisada y/o corregida por los profesores del curso de Física
Experimental 1, de la especialidad Física, del Instituto de Profesores "Artigas": Guzmán
Trinidad, Alejandra Delgado, Gustavo Carbonell y Daniel Baccino.
La primera versión fue escrita en 2008. La última revisión se ha hecho en 2010.
7
APÉNDICE I: CUADRADOS MÍNIMOS
Lo que sigue es una trascripción textual, tomada de:
Roerder, Juan G., Mecánica Elemental, Ed. Eudeba. Bs. As, 1963.
Cuadrados mínimos
Sea ahora una relación lineal entre las dos magnitudes físicas y,x por
ejemplo, la longitud de un resorte y la fuerza aplicada, la presión en
un punto de un líquido y la distancia a la superficie:
y = a⋅x+b
Sea
el
problema
de
determinar
los
coeficientes
a
y
b
experimentalmente, a partir de la medición de x e y. Si no hubiera
error 6 en las mediciones de x e y, bastará hacer dos pares de
mediciones x1 y1 y x2 y 2 y resolver el sistema:
y1 = a ⋅ x1 + b
y 2 = a ⋅ x2 + b
Desgraciadamente, ello nunca ocurre en la práctica. Debemos partir de
una serie de pares de valores correspondientes (x1 , y1 ; x2 , y 2 ;⋅ ⋅ ⋅; x n , y n ) ,
los cuales debido a sus errores, nunca satisfacen exactamente la
relación y = a ⋅ x + b . En otras palabras, la diferencia y i − a ⋅ xi − b = ε i
nunca es cero. Los valores de εi serán positivos y negativos.
Procedemos como en el caso de una sola variable. La suma de los
cuadrados
∑ε
2
i
nos dará una cierta idea de las fluctuaciones (ahora
combinadas) xi y i . Evidentemente esa suma depende de los coeficientes a y
b en la forma:
∑ε
2
i
= ∑ ( y i − a ⋅ xi − b ) =
2
= a 2 ∑ xi + b 2 N − 2a ∑ xi y i − 2b∑ y i − 2ab∑ xi + ∑ y i
2
Eso es una función cuadrática de a y b que pasa por un mínimo para un
dado par de valores de a y b. Podemos aplicar el criterio conocido, de
elegir como valores más probables de a y b aquellos que hacen mínima a
∑ε
2
i
.
O
sea,
a
y
b
serán
soluciones
del
sistema
(condición
de
extremo):
∂∑ ε i
∂∑ ε i
2
=0
∂a
2
∂b
=0
O sea:
2a ∑ xi − 2∑ xi y i + 2b∑ xi = 0
2
2 Nb − 2∑ y i + 2a ∑ xi = 0
y cuyas soluciones serán:
a=
6
N ∑ xi y i − ∑ xi ⋅ ∑ y i
N ∑ xi − (∑ xi )
2
2
En este curso, preferimos llamar incertidumbre a lo que Roederer denomina error.
8
∑x ⋅∑ y − ∑x ⋅∑x y
b=
N ∑ x − (∑ x )
2
i
i
i
i
i
i
2
2
i
Cada uno de esos valores tiene a su vez un error. Para ello hay
expresiones algo complicadas que pueden consultarse en los libros.
Veamos algo sobre la interpretación gráfica del método de cuadrados
mínimos. Representamos en el plano ( x , y ) los pares de valores medidos
(x1 , y1 ; x2 , y2 ;⋅ ⋅ ⋅; x n , y n ) .
Si éstos obedecen a una relación lineal, y si
carecen de errores, caerían exactamente sobre una recta de pendiente a
y de ordenada en el origen b. Pero debido a las fluctuaciones casuales
en las mediciones de x e y, los puntos formarán una “nube” que se
condensará tanto más en las vecindades de la recta, cuanto menores
sean las fluctuaciones:
Los coeficientes a y b determinados por el método de los cuadrados
mínimos son los parámetros de la recta
para la cual
∑ε
2
i
es mínimo.
Pero obsérvese en el plano ( x , y ) , que ε i = y i − a ⋅ xi − b es precisamente
la distancia vertical del punto experimental a la recta. La recta por
cuadrados mínimos es entonces aquella por la cual la suma de las
distancias verticales (en realidad sus cuadrados) es mínima. Esto
permite con un poco de experiencia, trazar “a ojo” la recta por
cuadrados mínimos, y determinar así gráficamente los coeficientes de
la relación lineal. Muchas veces, esto es suficiente para la práctica.
9
APÉNDICE II: TEOREMAS DE PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES
La tabla siguiente es una trascripción parcial con algunas modificaciones, tomada de:
Díaz, J, Pecard R., Física Experimental (T. 1), Ed. Kapeluz, Argentina, 1973.
Operación
En símbolos
Incertidumbre absoluta
Suma
S = a+b
δS = δa + δb
Diferencia
D = a −b
δD = δa + δb
Producto
M = a ⋅b
δM = a ⋅ δb + b ⋅ δa
Producto
M = k ⋅a 7
δM = k ⋅ δa
a
b
δC =
δS
a ⋅ δb + b ⋅ δa
b2
Cociente
C=
Potencia
P = an
δP = n ⋅ a n−1 ⋅ δa
Raíz
R=n a
δR = ⋅ a ((1 n )−1) ⋅ δa
Seno
sen θ
δ (senθ ) = cosθ ⋅ δθ
Coseno
cosθ
δ (cosθ ) = senθ .δθ
Tangente
tgθ
1
n
δ (tgθ ) =
Incertidumbre relativa
8
δθ
cos 2 θ
=
δa + δb
S
a+b
δD δa + δb
=
D
a−b
δM δa δb
=
+
M
a
b
δM δa
=
M
a
δC δa δb
=
+
C
a
b
δP
δa
= n⋅
P
a
δR 1 δa
= ⋅
R n a
δ (senθ ) δθ
=
sen θ
tgθ
δ (cosθ )
= tgθ .δθ
cosθ
δ (tgθ )
δθ
=
tgθ
sen θ . cosθ
REFERENCIAS
Cernuschi, F., Greco, F., Teoría de errores de mediciones, Ed. EUDEBA, Bs. As., 1968.
Díaz, J., Pecard R., Física Experimental (T. 1), Ed. Kapeluz, Argentina, 1973.
Gil, S., Rodríguez, E., Física Re-Creativa, Ed. Pearson Education. Bs. As, 2001.
Roederer, Juan G., Mecánica Elemental, Ed. EUDEBA. Bs. As, 1963.
Vernier Software and Technology. Logger Pro 3.4.2, 2006.
Vernier Software and Technology. Graphical Analysis 3.2, 2003.
7
k es un coeficiente numérico.
El error absoluto del ángulo δθ en todos los casos debe expresarse en radianes. Recordemos, para
transformar grados en radianes, que 360° equivale a 2π rad.
8
10