ORDEN EN R REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES EN LA RECTA: La recta real Todos los números reales se pueden representar sobre la recta, cumpliéndose las siguientes propiedades: a) A todo número real le corresponde un punto y sólo un punto sobre la recta. b) A cada punto de la resta le corresponde un número real. No hay ningún punto de la recta graduada que no le corresponda un número real. c) Nunca podremos decir que dos números reales son consecutivos porque entre ellos hay infinitos números reales. Por ejemplo: 4,23 y 4,24 no son consecutivos porque entre ellos están por ejemplo los siguientes números: 4,23003, 4,231, 423222222, 4,230000000001…. Para representar en la recta un número real hay que distinguir entre aquellos que tienen un número limitado de decimales, los cuales se pueden localizar en la recta con precisión. Por ejemplo: 2,125 Y aquellos que tienen un número ilimitado de decimales, los cuales se pueden situar por aproximación. 00:40 / 00:41 Por ejemplo: 2,1333… Podemos decidir con qué nivel de aproximación presentarlo: Representación de los números reales en una recta numérica La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y lasustracción simple, implicando especialmente números negativos. Ejemplo: La recta numérica incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan hacia la izquierda y los positivos hacia la derecha. Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. La representación de un número real sobre la recta se hará de un modo u otro según el tipo de número que sea: Ejemplo Representación de un número racional expresado en forma decimal (1,16) y otro expresado en forma fraccionaria (94). En ambos casos la técnica a utilizar es la misma, dividir el segmento en tantas partes iguales como necesitemos. Empezamos por representar el número racional 1,16: número racional 94: El resto de los puntos de la recta representan números reales diferentes de lo enteros; los números racionales que vienen representados mediante fracciones se pueden construir utilizando el Teorema de Tales. Ejemplo: Para construir el número 4/5 tendremos que subdividir el segmento de extremos 0 y 1 en cinco partes iguales, para ello trazaremos una recta por el punto 0 distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación se harán sobre ella cinco segmentos iguales 0A, AB, BC, CD, DE y se unirá el punto final E del último segmento con el 1. Posteriormente se trazarán líneas paralelas a la que pasa por el 1 y el E por los puntos A, B, C, D. El punto de corte en la recta real, de la recta construida que pasa por D, será 4/5 Algunos números irracionales se pueden construir mediante teoremas geométricos, como el Teorema de Pitágoras, utilizando regla y compás. Un ejemplo es , Relaciones de orden en R. Definición de orden Dados dos números reales cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b si se verifica que b – a ∈ ℝ +, es decir: Relación de orden La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o igual que a” Cuando a ≤ b y a ≠ b, s escribe a < b y se lee “a menor estrictamente que b” La relación a< b se escribe también b > a y se lee “b mayor estrictamente que a” Por ejemplo, si a = 2,2568 y b = 2,2569, se verifica que a ≤ b ya que b – a ∈ ℝ +. Como existe una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta r, esta biyección transporta la estructura de orden de ℝ a la recta. De esta forma, dados dos puntos A y B de la recta, que son abscisas de los números reales a y b, respectivamente, se dice que A precede a B y se escribe A≤B si a es menor o igual a b, es decir: El punto A precede al punto B en la recta real Ejemplo: A≤B, ya que sus abscisas a = -2 y b = 1 verifican la relación -2≤1 Esta relación es de orden total en ℝ y en consecuencia el par (ℝ , ≤) es un cuerpo totalmente ordenado La relación “menor o igual” es un orden total en ℝ Por cumplirse las siguientes propiedades: Reflexiva: Para todo número real a, se cumple que a ≤ a ya que a – a = 0 ∈ ℝ +. Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces se cumple que a = b: a≤b⇒b−a∈R+yb≤a⇒a−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a=a−b=0⇒a=b Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces se cumple que a ≤ c: a≤b⇒b−a∈R+yb≤c⇒c−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a+c−b=c−a∈R+⇒a≤c Entonces también se cumple la siguiente propiedad: Tricotomía: Para cualquier a, b se verifica que a ≤ b o b ≤ a. Esta propiedad también se llama propiedad de orden total y también se puede formular de la siguiente forma: a<b o b<a o a =b totalmente ordenado. Análogamente, el conjunto de puntos de la recta r con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente ordenado. En consecuencia, el conjunto de los números reales con la ordenación ≤ es un conjunto La ecuación de la función de valor absoluto es: y = I x I o f(x) = I x I La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. La gráfica de la función valor absoluto tiene la forma de una V Gráfica: Para poder realizar una gráfica de valor absoluto se obtiene evaluando la función para algunos valores de x. Luego se hace una tabla de valores para la variable x y la variable y . Se crea un plano cartesiano y finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica. Dominio y Recorrido: Dominio: Recorrid Ejemplo: INTERVALO Definición: Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3] describe el conjunto de números reales que se encuentran entre -5 y 3. {-5,… -4,99… ,…, -4,9 ,………, 2,9… , 2,99… , 3} Tipos de intervalos: 1. Intervalo abierto: este tipo de intervalo como es abierto por ambos lados no se incluye “a” y “b” en el conjunto de números que delimita. [a, b> Notación de intervalo {x є R / a<x<b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo Ejemplo: <-3, 7> Notación de intervalo {x є R / -3<x<7} Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye los números -3 y 7 porque se trata de un intervalo abierto por ambos lados .Gráfico del intervalo 2. Intervalo Cerrado: este tipo de intervalo como es cerrado por ambos lados incluye “a” y “b” en el conjunto de números que delimita. [a, b] Notación del intervalo {x є R / a ≤ x ≤ b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo: Ejemplo: [-4, 8] Notación de intervalo {x є R / -4 ≤x≤ 8} Notación del conjunto En este caso, el conjunto que se delimita incluye los números -4 y 8 porque se trata de un intervalo cerrado por ambos lados Gráfico del intervalo: 3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto que delimita. [a, b> Notación del intervalo {x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo: 3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto que delimita. [a, b> Notación del intervalo {x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo: 4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye “a” y co4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo n4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye “a” y como es cerrado por el lado derecho incluye “b” en el conjunto que delimita. <a, b] Notación del intervalo {x є R / a < x ≤ b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo:o incluye “a” y como es cerrado por el lado derecho incluye “b” en el conjunto que delimita. <a, b] Notación del intervalo {x є R / a < x ≤ b} Notación del conjunto Gráfico del intervalo:mo es cerrado por el lado derecho incluye “b” en el conjunto que delimita. <a, {x b] є R / Notación a < x ≤ del b} Notación intervalo del conjunto Gráfico del intervalo: 3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto que delimita. [a, b> Notación del intervalo {x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto