Módulo valor absoluto en la recta numérica

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números
reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario
ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica.
Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro
Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela
Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de
la sección 6.1
Ejemplo Adicional 1
Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4
Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos
( −∞ , −6 ) , [ −6, 4] y ( 4, ∞ )
[ −6 , 4 ]
( −∞ , −6 )
-12
-10
-8
-6
-4
∀ x ∈ ( −∞ , −6 ) se tiene:
La distancia de cualquier punto
x al punto –6 es menor que su
distancia a 4, lo que en
términos de valor absoluto se
puede expresar así:
x − ( −6 ) < x − 4 ⇔
-2
0
( 4,∞ )
2
4
∀ x ∈ [ −6, 4 ] se tiene:
a.
x+6 < x−4
El punto medio entre –6 y 4
es –1, por lo tanto al ubicar el
punto x en –1 la distancia
entre –6 y x es igual que la
distancia entre x y 4, lo que
puede escribirse en términos
de valor absoluto como:
x − ( −6 ) = x − 4 ⇔
6
8
10
12
∀ x ∈ ( 4, ∞ ) se tiene:
La distancia de cualquier
punto x al punto –6 es mayor
que su distancia a 4, lo que
en términos de valor absoluto
se puede expresar así:
x − ( −6 ) > x − 4 ⇔
x+6 > x−4
x+6 = x−4
b.
Si x está más cerca de –6
que de 4, se tiene:
x − ( −6 ) < x − 4 ⇔
x+6 < x−4
c.
Si x está más lejos de –6 que
de 4, se tiene:
x − ( −6 ) > x − 4 ⇔
x+6 > x−4
Ejemplo adicional 2
Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5.
Observando la recta numérica se tiene:
29/08/05
1
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
(−∞; −5 )
-9
-8
(−5; 3 )
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
(3; ∞ )
0
1
2
3
4
5
6
El punto medio entre (−5; 3 ) es el
La distancia de cualquier
x ∈ (−∞ ; −5 ) al punto – 5 es
menor que la distancia al
punto 3. Este hecho se
puede expresar en términos
de valor absoluto así:
−5 − x < x − 3
ó
x − (− 5 ) < x − 3
expresiones que son
equivalentes
punto – 1 y la distancia de este
punto a – 5 y a 3 es igual, lo que
en términos de valor absoluto
puede escribirse como:
−1 − ( −5 ) = −1 − 3
Los x ∈ (−5; −1) están más cerca de
–5 que de 3, lo qué en términos de
valor absoluto puede escribirse:
x − (− 5 ) < x − 3
Los x ∈ (−1; 3 ) están más cerca de
3 que de –5, lo qué en términos de
valor absoluto es.
x − (− 5 ) > x − 3
La distancia de
cualquier x ∈ (3; ∞ ) al
punto – 5 es mayor
que la distancia al
punto 3, lo que escrito
en término de valor
absoluto es:
x − (− 5 ) > x − 3
EJERCICIOS
1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:
a.
8−3
b.
4+5
c.
6
d.
−2
e.
x−3
f.
x−3
g.
1− x
h.
7,5 − x
i.
x+5
2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica :
a. Que se encuentran a 2 unidades del
b. Que se encuentran a menos de 3
origen
unidades de 5
c. Que se encuentran a menos de 4
d. Que se encuentran a más de 3 unidades
unidades de –2
de 5
e. Que se encuentran a más de 2 unidades
f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3
de –1
3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto:
a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3
b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5
4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:
a.
x−2
b.
x+3
5. Diga si es falso o verdadero
−5 − ( −3 ) = −3 − ( −5 )
a.
29/08/05
2
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
b.
10 + ( −14 ) = 10 + −14
c.
−3 + 8 ≤ −3 + 8
d.
( 2 x − 1) − 3
e.
3 −π = π −3
f.
x =0
g.
x = y
h.
x +y = x + y ,
=2 x −2
es equivalente a decir que
significa que
y
i.
∀ x,y ∈ℜ
j.
La distancia entre
k.
x = −x
l.
x −3
x<y
x =y
ó
x =0
x = −y
∀ x,y ∈ℜ
⇒
−1
x < y
y
−
1
2
es
1
2
es la distancia de x a –3
Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en
m.
x
n.
3
=
x
3
8
3
∀ x ∈ℜ
,
6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de
valor absoluto:
a.
“m está a 5 unidades de –2”
b.
“x está a menos de 5 unidades de 3”
c.
“q está a más de 2 unidades de 1”
d.
Los puntos x cuya distancia a –3 no es
mayor que 7.
e.
La distancia entre dos números x e
f.
El doble de la distancia que hay entre
y es igual a 3
un número x y el punto –2 es igual a 5
g.
La distancia entre los puntos x y – y
7. Explique el significado de la expresión x − 3 > 4
8. Completar las siguientes afirmaciones.:
a.
Si x es negativo, entonces x = ________________.
El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta
numérica.
9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface x − 2 ≤ 0
b.
10. Exprese en palabras el significado de:
a.
x +3 >
1
2
b.
5 x −1 < 2
c.
0< x <5
RESPUESTAS
1.a La distancia entre 8 y 3
1.c La distancia entre el origen y 6
29/08/05
1.b La distancia entre 4 y –5
1.d La distancia entre el origen y –2
3
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
1.e La distancia entre un real x y 3
1.g La distancia entre 1 y un real x
1.i La distancia entre un real x y –5
2.a
x −0 = 2
2.b
x −5 < 3
2.e
x +1 > 2
2.f
2x −2 > 3
3.a
x−y =3
4.c 0
5.a
5.e
5.i
5.m
3.b
1.f La distancia entre un real x y 3
1.h La distancia entre 7,5 y un real x
2.c
x +2 < 4
2.d
x −5 > 3
2x +2 =5
4.d 0
5.b
5.f
5.j
5.n
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
5.c Verdadero
5.g Verdadero
5.k Verdadero
5.d Verdadero
5.h Falso
5.l Falso
6.d
6.a
m+2 =5
6.b
x −3 < 5
6.c
q −1 > 2
6.e
x−y =3
6.f
2x +2 =5
6.g
x+y
x+3 < 7
7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades.
8.a
….–x …
8.b
… origen
9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número
positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es x = 2
10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad
10.bLos puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2
unidades.
10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor
que cinco.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los
ejercicios de la sección 6.2
EJEMPLO ADICIONAL 3
Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
x −3 = 4
En éste caso x − 3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va
a medir es decir el punto de referencia es 3 .
29/08/05
4
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: ( −∞ ,3 ) y [ 3, ∞ )
( −∞ ,3 )
[ 3, ∞ )
-2
-1
0
∀ x ∈ ( −∞ ,3 ) ⇒ x < 3 ∨
1
2
3
4
5
6
7
8
∀ x ∈ [ 3, ∞ ) ⇒ x ≥ 3 ∧ 3 ≤ x
3> x
Como 3 > x la distancia de x a 3 es 3 − x (el Como x ≥ 3 la distancia de x a 3 es x − 3 (el
número mayor menos el número menor), de número mayor menos el número menor), de
donde:
donde:
x − 3 = 3− x
x −3 = x −3
Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original
se tiene:
se tiene:
x − 3 = 4 ⇒ 3 − x = 4 ⇒ − x = 1⇒ x = −1
x −3 = 4⇒ x −3= 4⇒ x = 7
La solución en éste intervalo será:
( −∞ ,3 ) ∩ { −1} = { −1}
La solución en éste intervalo será:
[ 3, ∞ ) ∩ { 7} = { 7}
El conjunto solución de x − 3 = 4 será por lo tanto
x ∈ { −1} ∪ { 7} ⇒ x ∈ { −1, 7} ó { x x = −1∨ x = 7}
El conjunto solución se representa gráficamente así:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
EJEMPLO ADICIONAL 4
Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
2x + 4 =
11
4
Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con
respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta.
Para leer 2x + 4 en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la
recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como
una diferencia 2x − ( −4 ) =
11
, por lo tanto 2x − ( −4 ) significa “la distancia entre el doble de x y –
4
4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad
de solucionar la siguiente ecuación:
2x + 4 = 0 ⇒ x = −2
Por lo tanto el punto de referencia es –2
( −∞ , −2 )
-7
-6
-5
∀ x ∈ ( −∞ , −2 ) ⇒ x < −2 ⇒ 2x < −4
∨
-4
[ −2 , ∞ )
-3
− 4 > 2x
-2
-1
0
1
2
3
∀ x ∈ [ −2, ∞ ) ⇒ x ≥ −2 ⇒ 2x ≥ −4
Como −4 > 2x la distancia de 2x a –4 es −4 − 2x Como 2x ≥ −4 la distancia de 2x a –4 es
(el número mayor menos el número menor), de 2x − ( −4 ) (el número mayor menos el número
donde:
menor), de donde:
2x + 4 = −4 − 2x
2x + 4 = 2x + 4
Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original
se tiene:
se tiene:
29/08/05
5
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
2x + 4 =
11
11
27
27
⇒ −4 − 2x = ⇒ −2x =
⇒x=−
4
4
4
8
2x + 4 =
La solución en éste intervalo será:
11
11
5
5
⇒ 2x + 4 = ⇒ 2x = − ⇒ x = −
4
4
4
8
La solución en éste intervalo será:
{ }{ }
{ 85 } = {− 85 }
27
27
= −
( −∞ , −2 ) ∩ −
8
8
[ −2 , ∞ ) ∩ −
11
es por lo tanto
4
27
5
ó x x=− ∨x=−
8
8
El conjunto solución de 2x + 4 =
{ }{ }
x∈ −
{
27
5
27 5
∪ −
⇒ x∈ −
,−
8
8
8
8
} {
}
El conjunto solución se representa gráficamente así:
-4
-3
− 27
-2
-1
8
−5
0
8
EJEMPLO ADICIONAL 5
Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la
ecuación 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10
En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación:
y
3x − 9 = 0 ⇒ x = 3
2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:
⎛ −∞ , − 1 ⎞
⎜
⎟
2⎠
⎝
-3
( 3, ∞ )
⎡ − 1 ,3 ⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
-2
-1
−1
0
1
2
3
4
5
6
2
1
∀ x ∈ ⎛⎜ −∞ , − ⎞⎟
2⎠
⎝
1
∀ x ∈ ⎡⎢ − ,3 ⎤⎥
⎣ 2 ⎦
3x − 9 = 9 − 3x y
3x − 9 = 9 − 3x y
2x + 1 = −1− 2x
2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1
Por lo tanto:
∀ x ∈ ( 3, ∞ ) :
3x − 9 = 3x − 9 y
2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1
Por lo tanto:
Por lo tanto:
3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒
3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒
3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒
9 − 3x = −1− 2x + x − 10 ⇒
−2x = −20 ⇒ x = 10
9 − 3x = 2x + 1+ x − 10 ⇒
−6x = −18 ⇒ x = 3
3x − 9 = 2x + 1+ x − 10 ⇒
0=0
La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo
es:
es:
es:
1
⎛ −∞ , − ⎞ ∩ {10} = ∅
⎡ − 1 ,3 ⎤ ∩ { 3} = { 3}
( 3, ∞ ) ∩ ℜ = ( 3, ∞ )
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
2⎠
⎣ 2
⎦
El conjunto solución de 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 es:
x ∈ ∅ ∪ { 3} ∪ ( 3, ∞ ) ⇒ x ∈ [ 3, ∞ ) ó { x x ≥ 3}
EJERCICIOS
29/08/05
6
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
Encontrar la solución de:
a.
3 x −2 =5
b.
2
x − 5 = −4
3
5− x =4
d.
5− x =3
g.
x +1 = 2− x
h.
x
j.
( x − 3 )( x + 2) = 6
k.
x
= 2x − 1
x −1
m.
2x
4 x 2 − 20
+1=
2x − 5
2x − 5
n.
x +2
= −1
x +2
e.
2
= x
c.
5 − 2x = 4
f.
2x −1 −3 =5
i.
x2 − 4 = 4
l.
5−x
=x
x −4
RESPUESTAS
a.
d.
g.
j.
m.
1
11
ó
3
3
±2
1
2
−3 4 0
1
− 1− 26
2
b.
No hay solución
e.
±1 ó
h.
0 ó
k.
No hay solución
n.
f.
9
1
ó
2
2
5 ó −3
i.
0 ó
l.
3 ± 29
2
c.
±9
±1
(−∞,−2 ) ∪ (−2,0)
±2 2
SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21
EJEMPLO ADICIONAL 6
Encontrar el conjunto solución de x − 3 ≥ 2
Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ,
ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ )
-2
29/08/05
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
7
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
En éste intervalo x − 3 < 0 por lo tanto:
En éste intervalo x − 3 > 0 por lo cual
x −3 = 3− x
x − 3 = x − 3 , por lo tanto se tiene.
Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se
tiene.
x−3≥ 2 ⇔
3 − x ≥ 2 ⇔ − x ≥ −1 ⇔ x ≤ 1
x≥5
Dada l a condición ∀x ∈ (3; ∞ ) , el conjunto
solución es:
Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el
conjunto solución es:
( 3; ∞ ) ∩ [5, ∞ ) = [5, ∞ )
( −∞,1]
] [
C.S.: ( −∞,1 ∪ 5, ∞ )
EJEMPLO ADICIONAL 7
Encontrar el conjunto solución de − x + 3 ≤ 4
Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde − x + 3 = 0 ⇔
ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ )
-2
-1
0
1
2
3
En éste intervalo − x + 3 > 0 por lo tanto:
− x + 3 = −x + 3
Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se
tiene:
− x + 3 ≤ 4 ⇔ − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1
Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el
conjunto solución es:
(−∞ ; 3 ) ∩ [−1; ∞ ) = [−1; 3 )
4
5
6
x = 3,
7
En éste intervalo −x + 3 < 0 por lo cual
− x + 3 = −(− x + 3 ) , por lo tanto se tiene.
− (− x + 3 ) ≤ 4
⇔
− x + 3 ≥ −4
− x ≥ −7 ⇔ x ≤ 7 , ∀x ∈ (3; ∞ ) , por lo
tanto el conjunto solución es:
(3; ∞ ) ∩ (−∞ ; 7 ] = [3; 7 ]
C.S.: [−1; 3 ) ∪ [3; 7 ] = [−1; 7 ]
Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22
HASTA 24
EJEMPLO ADICIONAL 8
Encontrar el conjunto solución de 2 x − 3 > 3 x
En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 x no es un real positivo para todo
valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo?
Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 x − 3 = 0 , lo
que permite establecer dos intervalos
29/08/05
8
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟
⎝
2⎠
⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟
⎝2 ⎠
3/2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
∀x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 < 0 , por
⎝
2⎠
lo tanto 2 x − 3 = − (2 x − 3 )
∀x ∈ ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 > 0 , por lo
⎝2 ⎠
tanto 2 x − 3 = 2 x − 3
Por lo que la situación planteada equivale a
resolver: −(2 x − 3 ) > 3 x
Por lo que la situación planteada equivale a
resolver: 2 x − 3 > 3 x
2x − 3 > 3x ⇔ − x > 3
⇔ x <3
5
3
3
3
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
C.S. ⎜ − ∞ ; ⎟ ∩ ⎜ − ∞ ; ⎟ = ⎜ − ∞ ; ⎟
C.S. ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞ ; −3 ) = ∅
⎝
⎝2 ⎠
2⎠ ⎝
5⎠ ⎝
5⎠
3
C.S. ⎛⎜ − ∞ ; ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟
⎝
⎝
5⎠
5⎠
− 2x + 3 > 3x
⇔
− 5 x > −3
⇔ x < −3
EJEMPLO ADICIONAL 9
Encontrar el conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x
3
Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir
aquellos puntos donde 2 x − 1 = 0 y 2 − 3 x = 0 , al resolver estas ecuaciones se tiene que:
3
3
2
x =
y x = , lo que permite establecer tres intervalos
2
3
⎛⎜ − ∞ , 2 ⎞⎟
⎝
3⎠
⎛⎜ 2 ; 3 ⎞⎟
⎝3 2⎠
3/2
2/3
0
⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟
⎝2 ⎠
1
2
En este intervalo 2 x − 1 < 0 por lo
3
tanto 2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ y
⎝3
⎠
3
2 − 3 x > 0 por lo tanto
2 − 3x = 2 − 3x
En este intervalo
En este intervalo 2 x − 1 > 0 por
3
2 x − 1 < 0 por lo
3
lo tanto 2 x − 1 = 2 x − 1 y
3
3
tanto
2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ 2 − 3 x < 0 por lo tanto
⎝3
⎠ 2 − 3 x = − (2 − 3 x )
3
y 2 − 3 x < 0 por lo
tanto
2 − 3 x = − (2 − 3 x )
De lo anterior el problema
planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se
3
convierte en
De lo anterior el
problema
planteado
2 x − 1 > 2 − 3x
3
29/08/05
De lo anterior el problema
planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se
3
convierte en
9
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
se convierte en
2 x − 1 > − (2 − 3 x )
3
− ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > −(2 − 3 x
⎝3
⎠
2 x − 3 x > −2 + 1
2
3
⎛⎜ x − 1⎞⎟ < (2 − 3 x )
⎝3
⎠
− 7 x > −1
2 x + 3x < 2 + 1
3
3
x<3
11 x < 3
7
3
x< 9
11
C.S. ∅
3
3
2
2
C.S. ⎛⎜ − ∞ , ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ ; ∞ ⎞⎟ = ⎛⎜ ; ⎞⎟
C.S. ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟
⎝
⎠ ⎝7 3⎠
⎝ 3 11⎠
3⎠ ⎝7
C.S. ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟
⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠
⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠
− ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > 2 − 3 x
⎝3
⎠
2 x − 1 < −2 + 3 x
3
2 x − 3 x < −2 + 1
3
− 7 x < −1 ⇔ x > 3
3
7
El conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x puede darse utilizando diferentes notaciones:
3
En notación de intervalos: ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ó ⎛⎜ 3 ; 9 ⎞⎟ − 2
⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11 ⎠
⎝ 7 11⎠
3
En notación de inecuación compuesta 3 < x < 2 ó 2 < x < 9
7
3
3
11
En representación gráfica:
{ }
3/7
2/3
9/11
1
0
EJEMPLO ADICIONAL 10
Encontrar el conjunto solución de 2 x − 6 ≥ 4 − 4 x
Usando propiedades del valor absoluto se tiene:
2x − 6 ≥ 4 − 4x
⇔
2 x − 3 ≥ 4 1− x
⇔
x − 3 ≥ 2 1− x
⇔ x − 3 ≥ 2 x −1
Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al
doble de la distancia a 1”
0
1
2
3
En este intervalo x − 3 < 0 y
x −1< 0
En este intervalo
x − 3 < 0 y x −1> 0
En este intervalo
x − 3 > 0 y x −1> 0
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
29/08/05
10
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
x − 3 ≥ 2 x −1
⇔
− ( x − 3 ) ≥ −2( x − 1)
x − 3 ≥ 2 x −1
⇔
−( x − 3 ) ≥ 2( x − 1)
⇔
x − 3 ≤ 2( x − 1)
x − 3 ≥ 2 x −1
⇔
x − 3 ≥ 2x − 2
− x + 3 ≥ 2x − 2
⇔
x − 2x ≥ −2 + 3
x − 2x ≤ 3 − 2
− x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1
− 3 x ≥ −5
x ≤5
3
x ≤ −1
C.S. (−∞ ;1] ∩ [−1; ∞ ) = [−1;1]
C.S.
⇔
⇔
⇔
⇔
C.S. [3 ; ∞ ) ∩ (−∞ ; −1] = ∅
[1; 3 ] ∩ ⎛⎜ − ∞ ; 5 ⎤⎥ = ⎡⎢1; 5 ⎤⎥
⎝
3⎦ ⎣ 3⎦
5
C.S. [− 1;1] ∪ ⎡1; ⎤ = ⎡ − 1; 5 ⎤
⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣
3 ⎥⎦
El conjunto solución representado en la recta numérica es:
5/3
0
-1
1
2
3
EJERCICIOS
1.
Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:
a.
7 − 3x > 2
d.
2x − 3 > 4
g.
3< x +5
j.
x −1 ≤ 2
m.
x
<0
x +2
n.
p.
−7 x − 3 > 5,1
q.
s.
x − 7 > 4x + 7
v.
1
4x + 7 + − x − 2 >
2
y
2− x ≤ 2
b.
3x − 4 − 2 ≤ 0
e.
2
x −1 ≥ 2
3
h.
x −3 = 5
k.
x +1 ≥ 4
y
x >2
y
x −1 > 1
3 x + 1 > 1,7
c.
x+4 =2
f.
x−
i.
x
− ( x + 3) ≤ 5
2
l.
2x − 3 >
y
4
3
2
≤2
3
1≤ x + 2 ≤ 2
ó
o.
1
>0
x −3
3x + 3 − 5x > 4
r.
3x − 5 < 1 − 4x
t.
8 − x ≥ 2x + 1
u.
2x − 3 ≤ 7 − x + 1
w.
2x + 1 ≤ 3 + x − 3
c.
x = −2 ó
x −1
<0
x
RESPUESTAS
a.
d.
g.
29/08/05
5⎞
⎛
⎜ − ∞, ⎟ ∪ (3, ∞ )
3⎠
⎝
1⎞ ⎛7 ⎞
⎛
⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟
2⎠ ⎝2 ⎠
⎝
(−∞,−8) ∪ (−2, ∞ )
b.
e.
h.
⎡2 ⎤
⎢ 3 ,2⎥
⎣
⎦
3⎤ ⎡9 ⎞
⎛
⎜ − ∞, − ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟
2⎦ ⎣2 ⎠
⎝
x = −2 ó x = 8
f.
i.
x = −6
⎡ 4 8⎤
⎢− 3 , 3 ⎥
⎣
⎦
[−6,4]
11
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
[0,3]
(−∞,−2)
k.
(− ∞,−5] ∪ [3, ∞ )
n.
9⎞ ⎛ 7
⎛
⎞
⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟
10 ⎠ ⎝ 30 ⎠
⎝
p.
81 ⎞ ⎛ 21 ⎞
⎛
⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟
70 ⎠ ⎝ 70 ⎠
⎝
q.
1⎞ ⎛7 ⎞
⎛
⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟
2⎠ ⎝8 ⎠
⎝
s.
⎛ 14 ⎞
⎜ − ,0 ⎟
⎝ 3 ⎠
j.
m.
v.
29/08/05
t.
o.
(−∞,0)
ℜ − {3}
r.
(− ∞,−4) ∪ ⎛⎜ 6 , 5 ⎞⎟
l.
⎝7 3⎠
u.
w.
12
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
EJERCICIOS DE REPASO
Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface
3 x − m ≤ n tenga la siguiente representación gráfica:
1.
-10/3
2/3
2.
Para qué valores de p la inecuación
3.
Encontrar el conjunto solución.
x + 4 ≤ 3x − 8
a.
d.
− 2x + 3 < 2
g.
2 x − 8 = 12
j.
x-2 < 8
3x − 4 − 2 ≤ 0
c.
7x −1 = 2
e.
3≥ x
f.
− 4x + 5 > 1
i.
x +1 ≥ 4
l.
x
− ( x + 3) ≤ 5
2
1≤ x + 2 ≤ 2
k.
3x − 5 − x + 4 ≤ 2
−6 − −4
n.
−1− 1− −1
y
y
2− x ≤ 2
y
x −1 > 1
A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la
situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación
de desigualdad, y, exprese en palabras la situación.
x−
2
≤2
3
5.
Escriba en notación de intervalo
6.
7.
Los valores de x que cumplen con
Los valores de x que cumplen con
Completar
Si a > 0 , entonces,
a.
b.
c.
d.
9.
b.
x −1 ≤ 2
a.
8.
no tiene solución?
h.
m.
4.
3x
−7 ≤ p−3
2
Si
b<0
, entonces,
b.
3< x +5
x −2
, si x > 2
c.
x −3 =5
y
x >2
x= x
x< x
−a =
−b =
La distancia entre −9 y 5 es:
El conjunto de todos los reales tales que
x −2 = 2−x
es
Complete la tabla siguiente:
X
-5
-1
y
x
y
xy
x y
x
x
y
y
x+y
x + y
5
3
2
29/08/05
13
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
10. Simplifique x − y − y − x
11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la
derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.
3 − 2x < 1
a1
b1
−5 ≤ x < 5
x<7
a2
2 ( 1 − x ) > −2 x
b2
a3
− 5 ≥ −3 x − 20 > −35
b3
x >2
b4
1< x < 2
3
67
< 2x −
5
5
x +1 > x −5
a4
a5
b6
zz<0
12. Que podemos decir de z, si,
13. Demuestre que (2 x − 1) − 3
ℜ
y exprese en palabras el significado de la igualdad.
= 2x −2
14. En qué caso es 1 − x igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1?
15. Encontrar la solución de:
a.
(1 − x ) 2 x − 9
d.
x 2 + 3x + 2 ≤ 4
e.
2x 2 − 3x − 2 ≤ 3
14 + 6 x − 4 x 2 ≥ 4 x 2 − 6
> −5
b.
c.
(x − )
f.
x 2 − 6 x + 10 < 2
g.
23 − 5 x − 2 x 2 > 19 − 3 x
h.
i.
4 x 2 + 4 x − 11 ≥ 9 − 2 x − 4 x 2
j.
x 2 + 3x + 2 ≤ 4
k.
l.
3x − 1
<2
x +1
m.
7−x
2
>
5x + 1 3
n.
o.
2x + 1
≤3
1− x
p.
x +7
5
>
10 x − 1 17
q.
x + 1 > −2
4 − x (x − 1) ≤ 4
3x +4
≤2
3x − 1
3 − 2x
≥4
x +2
(x − 2)
x + 1 > −2
RESPUESTAS
m = −4
1.
3.
a.
d.
g.
j.
m.
y
n=6
[6, ∞ )
ℜ
−2
[−4,−3]∪ [−1,0]
2
2.
b.
e.
h.
k.
n.
p<3
⎡2 ⎤
⎢ 3 ,2⎥
⎣
⎦
[−3,3]
[0,3]
⎛ 1 11 ⎤
⎜− , ⎥
⎝ 4 2⎦
−3
c.
f.
i.
l.
3
1
ó −
7
7
No hay solución
(−∞,−5] ∪ [3, ∞ )
[−2,18]
4.
29/08/05
14
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
a.
⎡ 4 7⎤
⎢− 3 , 3 ⎥
⎣
⎦
5.
b.
(0, ∞ )
6.
(−∞,−8) ∪ (−2, ∞ )
c.
[0, ∞ )
7.
x=8
(−∞,0)
8.
a.
a
b.
−b
14
c.
ℜ
d.
9.
X
Y
-5
-1
5
3
2
10.
11.
12.
0
a1 con b4
z<0
x
5
1
y
xy
5
25
3
2
3
2
x y
25
3
2
x
x
y
y
1
2
3
1
2
3
x+y
0
1
2
x + y
10
5
2
, a 2 con b6 , a 3 con b1 , a 4 con b2 , a 5 con b3
13.
14.
Si 1 − x ≥ 0
y cuando 1 − x < 0
15.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
29/08/05
15