Tarea 3 Grupos y Sub-grupos Ejercicios Complementarios

El amuleto de los hombres dependientes.Todo aquel
que depende de un amo, necesita poseer algo que inspire temor y sirva de freno a ese amo; por ejemplo,
honradez, franqueza, ... o mala lengua.
Aurora, Federico Nietzsche.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
Tarea 3Grupos y Sub-grupos
NOMBRE
CARNET
NOTA
fácil
1.
Demuestre que si G es un grupo abeliano, H es un subgrupo de G y K = {x ∈ G : x ∗ x ∈ H},
entonces K es subgrupo de G.
2.
Construya la tabla de ⟨Z2 × Z4 , +⟩ y halle todos sus sub-grupos. La suma es coordenada a
coordenada y módulo el respectivo grupo. Para escribir la tabla ordene los elementos lexicográcamente.
3.
Demuestre que si G es un conjunto no vacío y ∗ es una operación binaria
asociativa denida sobre G tal que para todo a, b ∈ G las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen
solución en G, entonces ⟨G, ∗⟩ es un grupo.
fácil
relevante y no trivial
4. Si ⟨G, ∗⟩ es un grupo, muestre que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si y sólo si
para todo x, y ∈ H , se tiene que xy −1 ∈ H .
5. Demostrar que en un grupo con 2n elementos, existe un elemento distinto de la identidad que es su
propio inverso.
6.
ilustrativo
Si ⟨G, ·⟩ y ⟨G′ , ∗⟩ son dos grupos y φ es un homomorsmo de G en G′ , demuestre que:
a ) φ(e) = e′ y φ(a−1 ) = φ(a)−1 .
b ) Si H es sub-grupo de G, entonces φ(H) es sub-grupo de G′ .
c ) Si H ′ es sub-grupo de G′ , entonces φ−1 (H ′ ) es sub-grupo de G.
7.
relevante
Si H es un subgrupo del grupo ⟨G, ∗⟩ y g ∈ G, se dene la clase lateral a izquieda de H ,
g ∗ H , como g ∗ H = {x ∈ G : x = g ∗ h ∧ h ∈ H}, demuestre que:
a ) Para todo g ∈ G se cumple que g ∗ H = H ⇔ g ∈ H .
b ) Para todo a, b ∈ G se cumlpe que a ∗ H = b ∗ H ⇔ a−1 ∗ b ∈ H .
8.
interesante, pero fácil
Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo abeliano, la aplicación φ denida por
φ(a) = a−1 es un automorsmo de G; y muestre un ejemplo que ponga en evidencia que esta proposición
no es cierta si G no es abeliano.
Ejercicios Complementarios
1.
no trivial
Dado un grupo cualquiera ⟨G, ∗⟩ con neutro e, un elemento a de G, demuestre que si
o(a) = m y an = e, entonces m divide a n. [Aclaratoria: El orden de a, o(a), es el menor entero positivo k tal
que
2.
3.
ak = e.]
deniciónfácil Halle cuál es el orden de cada uno de los elementos de ⟨Z , +⟩ y de ⟨Z × Z , +⟩.
interesante, pero fácil Sea ⟨G, ∗⟩ es un grupo nito con identidad e. Demuestre que para todo a ∈ G,
8
2
3
existe n ∈ Z + tal que an = e.
4. Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupoide tal que
G1′ : la operación binaria es asociativa,
G2′ : existe un elemento e en G tal que para todo (x ∈ G)(x ∗ e = x),
G3′ : Para todo elemento g ∈ G existe un elemento g −1 ∈ G tal que g ∗ g −1 = e,
entonces ⟨G, ∗⟩ es un grupo.
5.
bonito e ilustrativo
(Sugerencia:
Demostrar que un grupo con 4 o menos elementos es forzosamente abeliano.
ba es uno de los elementos e, a, b, ab, excepto casos triviales).
6. Sea S un conjunto no vacío, cerrado para una operación tal que para todo a, b, c ∈ S se cumple que
ab = ba ∧ a(bc) = (ab)c ∧ (ax = ay =⇒ x = y). Demostrar que si S es nito, entonces S es un grupo.