Cada palabra tiene su olor, y del mismo modo que hay una armonía y una disonancia de los perfumes, las hay también de las palabras. El viajero y su sombra, Federico Nietzsche. Olor de las palabras. Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas III CI-2527 Abr-Jul 2016 Ejercicios para la Práctica 4Grupos Cíclicos, Grupos de Permutaciones y Teorema de Lagrange NOMBRE 1. CARNET NOTA fácil e ilustrativo Dado el grupo ⟨Z3 × Z8 , +⟩ donde la suma es coordenada a coordenada. Responda con una buena justicación: a ) ¾Es cíclico? De serlo, diga cuántos generadores tiene y muestrelos. No tiene que mostrar que, en efecto, generan todo. b ) ¾Cuántos sub-grupos tiene? Indique algunos. c ) Halle las clases laterales de los dos subgrupos no triviales más grandes y de ellos halle su conjunto cociente. 2. 3. ilustrativo Demustre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo cíclico de orden n, es isomorfo a ⟨Zn , +⟩. Alerta rojo Sea H un subgrupo cíclico de G tal que H es normal en G. Demuestre que si K subgrupo propio de H , entonces K es normal en G. es un 4. ilustrativo Si G es un grupo nito de orden n > 1 que no tiene sub-grupos própios distintos de {e}, entonces G es cíclico y n es primo. 5. relavante Muestre que si G es un grupo de orden n con identidad e, entonces para todo a ∈ G se tiene que an = e. 6. conceptual Se dice que un subgrupo H de G es normal en G, si y sólo si para todo g ∈ G se tiene que su clase lateral a derecha de H es igual a su clase lateral a la izquierda de H . Esto es, si para todo g ∈ G se tiene que gH = Hg . Demuestre que si A y B son subgrupos del grupo G y A es normal en G, entonces A ∩ B es normal en B . 7. calentamiento ( 1 σ= (3 1 µ= 5 Dadas las siguientes tres permutaciones en S6 : 2 3 4 1 4 5 2 3 4 2 4 3 5 6 5 1 ) ( 6 1 2 ,ρ= 2) 2 4 6 . 6 3 4 1 3 5 6 ) 6 , 5 a ) Expréselas como productos de ciclos disjuntos, luego como producto de transposiciones y diga si son pares o impares. b ) Halle sus inversas. c ) Calcule: u) σρ, 8. interesante v) σρ2 , w) σ 2 µ, x) ρσ −2 , y) σρσ −1 . Demuestre que si σ es un ciclo de longitud impar, entonces σ 2 es un ciclo. Ejercicios Complementarios 1. Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ y ⟨H, ·⟩ son grupos cíclico de igual cardinalidad, entonces son isomorfos. 2. bonito e interesante Pruebe que para cada subgrupo H de Sn para n ≥ 2, todas las permutaciones en H son pares o exactamente la mitad de ellas son pares. 3. medio Sea A un conjunto innito. Sea H el conjunto de todos los σ ∈ SA que mueven únicamente a un número nito de elementos de A. 4. medio e interesante Demuestre que todo grupo de orden primo es cíclico. interesante Considere Sn para un n ≥ 2 jo y sea σ una permutación impar ja. Muestre que toda 5. permutación impar en Sn es un producto de σ y alguna permutación en An . 6. Demostrar que la intersección de dos subgrupos normales de un grupo G es un subgrupo normal de G. 7. Sea p el número primo más pequeño que divide al orden de un grupo G de orden n. Demuestre que si H es un subgrupo de G de índice p, entonces H es normal en G. 8. fácil Demuestre que todo grupo de orden primo es abeliano. Del salón en el ángulo oscuro, de su dueña tal vez olvidada, silenciosa y cubierta de polvo veíase el arpa. Yo soy ardiente, yo soy morena, yo soy el símbolo de la pasión, de ansia de goces mi alma está llena. ¾A mí me buscas? No es a ti, no. ½Cuánta nota dormía en sus cuerdas como el pájaro duerme en las ramas, esperando la mano de nieve que sabe arrancarlas! Mi frente es pálida, mis trenzas de oro: puedo brindarte dichas sin n, yo de ternuras guardo un tesoro. ¾A mí me llamas? No, no es a ti. ½Ay! pensé; ½cuántas veces el genio así duerme en el fondo del alma, y una voz, como Lázaro, espera que le diga: ½Levántate y anda. Yo soy un sueño, un imposible, vano fantasma de niebla y luz; soy incorpórea, soy intangible: no puedo amarte. ½Oh ven, ven tú! Rimas y leyendas, Gustavo Adolfo Becquer. Rimas y leyendas, Gustavo Adolfo Becquer.