Clases Laterales

Llegar a ser pensador.¾Cómo puede uno llegar a ser pensa-
dor si no pasa la mitad de la jornada sin pasiones, sin hombres
y sin libros?.
El viajero y su sobra, Federico Nietzsche.
Capítulo 6
Clases Laterales
En este capítulo se estudiaran las clases laterales generadas o inducidas por
un subgrupo H de un grupo G sobre dicho grupo. Las mismas son muy útiles
para deducir información sobre algunas propiedades de los subgrupos de un
grupo. Además en ciertas situaciones permiten construir un nuevo grupo que
denominaremos el grupo de cocientes.
6.1.
Clases Laterales y Teorema de Lagrange
Denición 6.1 (Clases Laterales) Dado un subgrupo H de un grupo G, una
clase lateral a la derecha de H en G es un subconjunto de G de la forma Hg =
{x ∈ G : x = hg ∧ h ∈ H} para algún g ∈ G.
Las clases laterales a la izquierda de un subgrupo H de un grupo G se denen de
manera análoga: en particular la clase lateral del elemento g de G a la izquierda
de H es gH = {x ∈ G : x = gh ∧ h ∈ H}. Alerta: si el grupo es aditivo
Hg = {x ∈ G : x = h + g ∧ h ∈ H} y algunos autores suelen representarla por
H + g en lugar de por Hg . La clase del elemento a puede ser igual a la clase
de otro elemento, digamos b, pero de no ser iguales estas dos clases, no tienen
elementos en común esto se formaliza en el siguiente lema.
Lema 6.1 Si
H es subgrupo del grupo G, entonces las clases laterales a la
derecha (izquierda) de H en G forman una partición de G.
Dado a ∈ G se tiene que la clase lateral Ha es no vacía porque como e pertenece a H , tenemos que ea = a pertenece a Ha y por lo tanto se
tiene que todo elemento de G pertenece a alguna clase y por consiguiente que
G⊆∪
Hg ; además por la denición de Ha se tiene que ∪
Hg ⊆ G y por
consiguiente G = ∪ Hg. Sean Ha y Hb dos clases laterales y supongamos
que existe x tal que x ∈ Ha ∩ Hb. Entonces se tiene que x ∈ Ha ∧ x ∈ Hb y
por consiguiente x = ha ∧ x = h b lo cual implica que ha = h b y en consecuencia que a = h h b. Probaremos que Ha = Hb por doble contención. Sea
z ∈ Ha, entonces z es de la forma z = h a, pero como a = h h b se tiene que
65
Prueba:
g∈G
g∈G
g∈G
′
′
−1 ′
′′
−1 ′
66
Capítulo 6. Clases Laterales
lo cual implica que z ∈ Hb. La otra contención es análoga. 2
Denotaremos al conjunto de las clases laterales a la derecha de H por G/H =
{Hg : g ∈ G} y al conjunto de las clases laterales a la izquierda de H como
G/ H = {gH : g ∈ G}. En el caso de que G/H = G/ H lo denotaremos
simplemente por G/H y los llamaremos conjunto cociente derecho, conjunto
cociente izquierdo y conjunto cociente respectivamente.
z = h′′ h−1 h′ b
∼
∼
∼
∼
Recuerde que si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A el conjunto cociente
es el conjunto de las clases de equivalencia en las cuales se parte A debido a R y que se representa por A/R. Como la clase de equivalencia de un elemento a se denota por R[a] se tiene que
A/R = {R[a] : a ∈ A}. Además, A/R es una partición que se denomina partición asociada a la
relación de equivalencia R. Recuerde además que: Toda partición se corresponde con una única
relación de equivalencia y que toda relación de equivalencia le corresponde una única partición.
Las particiones G/H y G/ H se caracterizan porque todos sus bloques
tienen igual número de elementos. Esto se prueba en el siguiente lema.
∼
∼
Lema 6.2 Si
G es un grupo y H es un subgrupo de G, toda clase lateral a
derecha o a izquierda de H en G tiene el mismo número de elemento que H .
Prueba: Sea G un grupo, H un subgrupo de G y Ha una clase lateral a la
derecha de H en G. Denimos la función f : H → Ha de la siguiente manera
f (h) = ha; claramente f (h) pertenece a Ha, es inyectiva porque si f (h ) = f (h )
se tiene que h a = h a y cancelando se obtiene que h = h , y es sobreyectiva
porque si z ∈ Ha existe h ∈ H tal que z = ha y claramente f (h) = ha = z 2
1
1
6.1.1.
2
1
2
2
Teorema de Lagrange
Teorema 6.3 (Lagrange) Si G es un grupo nito y H es un subgrupo de G,
entonces el orden de H divide al orden de G.
Sea G un grupo nito y H un subgrupo de G, entonces se tiene que
también es nito y el conjunto de las clases laterales a derecha de H es nito.
Si H , H , . . . , H es una lista de las clases distintas de G, como dichas clases
son disjuntas se tiene que |G| = |H | + |H | + · · · + |H |. Además, como por
el lema anterior todas las clases tienen la misma cardinalidad que H se tiene
z
}|
{
que |G| = |H| + |H| + · · · + |H|, esto es, |G| = n|H| y por consiguiente el orden
de H divide al orden de G.
2
Prueba:
H
g1
g2
gn
g1
g2
gn
n veces
Corolario 6.4 Si
G es un grupo nito y g un elemento de G de orden m,
entonces el orden de g divide al orden de G.
Corolario 6.5 Si G es un grupo nito de orden n y g un elemento de G,
entonces g n = e.
6.1. Clases Laterales y Teorema de Lagrange
Vicente Yriarte
67
Corolario 6.6 Si H es un subgrupo propio de un grupo nito G, entonces |H| ≤
|G|/2.
Corolario 6.7 Todo grupo de orden primo es cíclico
Si G es un grupo de orden primo p, entonces G contiene por lo menos dos elementos porque el primo más pequeño es 2. Sea a un elemento de G
distinto de la identidad, entonces se tiene que < a > tiene por lo menos dos
elementos, por lo que su orden no es 1; luego tiene que ser p porque los únicos
divisores positivos de p son 1 y p y por el teorema de Lagrange el orden del
subgrupo < a > debe dividir al orden de G. Luego, a genera a G.
2
Prueba:
Denición 6.2 (Índice de
H en G) Si H es un subgrupo de G el índice de
H en G es el número de clases laterales a la derecha de H en G. Se denota por
[G : H].
Corolario 6.8 Si G es un grupo nito, |G| = [G : H] · |H|.
Ejemplo 6.1 Dado el grupo
⟨S3 , ◦⟩ cuya tabla se muestra en la gura 6.1,
muestre todas las clases laterales a la derecha y a la izquierda de los subgrupos
H = {ρ0 , ρ1 , ρ2 } y K = {ρ0 , µ1 }
◦
ρ0
ρ1
ρ2
µ1
µ2
µ3
ρ0
ρ0
ρ1
ρ2
µ1
µ2
µ3
ρ1
ρ1
ρ2
ρ0
µ3
µ1
µ2
ρ2
ρ2
ρ0
ρ1
µ2
µ3
µ1
µ1
µ1
µ2
µ3
ρ0
ρ1
ρ2
µ2
µ2
µ3
µ1
ρ2
ρ0
ρ1
µ3
µ3
µ1
µ2
ρ1
ρ2
ρ0
Figura 6.1: Tabla de las Permutaciones de un Conjunto con Tres Elementos
Explicación: Hallemos las clases laterales a la derecha de H :
Hρ0 = {ρ0 ρ0 , ρ1 ρ0 , ρ2 ρ0 } = {ρ0 , ρ1 , ρ2 } = H
Hρ1 = {ρ0 ρ1 , ρ1 ρ1 , ρ2 ρ1 } = {ρ1 , ρ2 , ρ0 } = H
Hρ2 = {ρ0 ρ2 , ρ1 ρ2 , ρ2 ρ2 } = {ρ2 , ρ0 , ρ1 } = H
Hµ1 = {ρ0 µ1 , ρ1 µ1 , ρ2 µ1 } = {µ1 , µ3 , µ2 }
Hµ2 = {ρ0 µ2 , ρ1 µ2 , ρ2 µ2 } = {µ2 , µ1 , µ3 }
Hµ3 = {ρ0 µ3 , ρ1 µ3 , ρ2 µ3 } = {µ3 , µ2 , µ1 }
68
Capítulo 6. Clases Laterales
Nótese que si a ∈ H , entonces Ha = H y que H siempre es una clase.
Observe además, que si H tiene la mitad de los elementos de G, entonces sólo
hay dos clases distintas: H mismo y G − H . Las clases laterales a la izquierda
de H se hallan de igual forma o usando los comentarios anteriores. Ellas son
ρ H = ρ H = ρ H = H y µ H = µ H = µ H = {µ , µ , µ }. Nótese que, en
este caso, las clases laterales a derecha y a izquierda de H coinciden. Alerta: esto
no siempre ocurre. Veamos ahora las clases laterales a derecha de K = {ρ , µ }.
0
1
2
1
2
3
1
2
3
0
1
Kρ0 = {ρ0 ρ0 , µ1 ρ0 } = {ρ0 , µ1 } = K = Kµ1
Kρ1 = {ρ0 ρ1 , µ1 ρ1 } = {ρ1 , µ2 } = Kµ2
Kρ2 = {ρ0 ρ2 , µ1 ρ2 } = {ρ2 , µ3 } = Kµ3
.
Y las clases laterales a izquierda de K son:
ρ0 K = {ρ0 ρ0 , ρ0 µ1 } = {ρ0 , µ1 } = K = µ1 K
ρ1 K = {ρ1 ρ0 , ρ1 µ1 } = {ρ1 , µ3 } = µ3 K
ρ2 K = {ρ2 ρ0 , ρ2 µ1 } = {ρ2 , µ2 } = µ2 K
Nótese que hay tres clases laterales a derecha y tres clases laterales a izquierda cada una con igual número de elementos que H pero, en este caso, las clases
laterales a derecha y a izquierda no coinciden. Finalmente, en el caso de H se
tiene que el conjunto cociente formado por las clases laterales a derecha de H
y el de las clases laterales a izquierda de H coinciden y se denota simplemente
por G/H = {{ρ , ρ , ρ }, {µ , µ , µ }}; pero en caso de K se tiene que G/K∼ =
{{ρ , µ }, {ρ , µ }, {ρ , µ }} y que G/∼K = {{ρ , µ }, {ρ , µ }, {ρ , µ }}
•
En los comentarios de este ejercicio se conjeturaron varias proposiciones que
se dejan como ejercicio.
0
0
1
1
2
1
2
2
1
2
3
3
0
1
1
3
2
2
Ejercicio 6.1 Dado un grupo G y H un subgrupo de G, pruebe que si a ∈ H ,
entonces Ha = aH = H .
Ejercicio 6.2 Dado un grupo G y H un subgrupo de G, pruebe que si |H| =
|G|
2
,
entonces existen sólo dos clases a la derecha y a la izquierda de H que son H
y G − H . Concluya que en este caso toda clase lateral derecha es también una
clase lateral izquierda.
Ejercicio 6.3 Pruebe que para todo
n se tiene que el subgrupo alternador An
de Sn tiene sólo dos clases laterales y que por consiguiente sus clases laterales
derechas e izquierdas coinciden.
El siguiente teorema se prueba fácilmente usando la denición de clases laterales
a derecha e izquierda. Se deja como ejercicio.
Teorema 6.9 Si G es un grupo abeliano y H es subgrupo de G, entonces toda
clase lateral a la derecha de H es también una clase lateral a la izquierda de H .
6.2. Subgrupos Normales
Vicente Yriarte
69
Ejercicio 6.4 Halle las clases laterales a derecha y a izquierda de cada uno de
los subgrupos no triviales de Z8 y reescriba la tabla de la operación agrupando
los elementos de cada una de las clases. Escriba también la tabla de la operación
que se induce sobre los bloques.
6.2.
Subgrupos Normales
De los subgrupos de un grupo son particularmente importantes aquellos en
los que las clases laterales a derecha y a izquierda coinciden. A tales subgrupos
se les denomina subgrupos normales. A continuación se formaliza la denición.
Denición 6.3 (Subgrupo Normal) Se dice que un subgrupo H de G es normal en G, si y sólo si toda clase lateral a izquierda de H es una clase lateral a
derecha de H . Equivalentemente si y sólo si la partición cuyos bloques son las
clases l aterales a la izquierda de H coincide con la partición cuyos bloques son
las clases laterales a la derecha de H .
Resulta que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo y H es un sub-grupo de G, se tiene que
si toda clase lateral a la derecha de G es una clase l ateral a la izquierda de G,
entonces se tiene que para todo g ∈ G se cumple que gH = Hg, y viceversa.
Esto da pie al siguiente teorema que algunos presentan como la denición de
subgrupo normal.
Teorema 6.10 (Caracterización de Subgrupo Normal) Si
⟨G, ∗⟩ es grupo y H es un sub-grupo de G, entonces H es normal en G, si y sólo si para todo
g ∈ G se tiene que gH = Hg .
Denición 6.4 (Conjunto producto) Dado un grupo Si ⟨G, ∗⟩, si A, B ⊆ G
se dene AB = {g ∈ G : g = a ∗ b ∧ a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Ejercicio 6.5 Dado un grupo Si ⟨G, ∗⟩, si A, B, C son sub-conjuntos de G,
demuestre que A(BC) = (AB)C .
Corolario 6.11 (Caracterización de Subgrupo Normal) Si ⟨G, ∗⟩ es grupo y H es un sub-grupo de G, entonces H es normal en G, si y sólo si para todo
g ∈ G se tiene que gHg −1 = H .
6.2.1.
Algunos Sub-grupos Normales
Es fácil ver que los subgrupos triviales de un grupo cualquiera son normales
en él. Se deja como ejercicio.
Ejercicio 6.6 Dado un grupo Si ⟨G, ∗⟩, demuestre que G y {e} son sub-grupos
normales de G.
Dado un grupo ⟨G, ∗⟩ a continuación deniremos algunos sub-grupos de G
y discutiremos sobre normalidad.
70
Capítulo 6. Clases Laterales
Denición 6.5 (Centro de un Grupo) Dado un grupo ⟨G, ∗⟩ se dene su
centro como el conjunto de los elementos de G que conmutan con todos los
elementos de G. Lo denotaremos por Z(G).
Si el grupo G es abeliano, entonces su centro es todo G y si solamente el neutro
conmuta con todos los elementos de G, entonces su centro es {e}.
Ejercicio 6.7 Demuestre que el centro
normal de G y además es abeliano.
Z(G) de un grupo G es un sub-grupo
Denición 6.6 (Centralizador de un Conjunto) Dado un grupo ⟨G, ∗⟩ y
un sub-conjunto no vacío A de G se llama centralizador de A al conjunto de los
elementos de G que conmutan con todos los elementos de A. Lo denotaremos
por C(A). C(A) = {g ∈ G : (∀a ∈ A)(ag = ga)}.
De nuevo si G es un grupo abeliano, el centralizador de cualquier sub-conjunto
A de G es todo G y si solamente el neutro conmuta con todos los elementos de
A, entonces su centralizador es {e}.
Ejercicio 6.8 Demuestre que el centralizador de un conjunto no vacío A de
un grupo G es un sub-grupo de G y que si A es un sub-grupo abeliano de G,
entonces A es normal en C(A).
Denición 6.7 (Elemento Conmutador) Dado un grupo ⟨G, ∗⟩ un elemento de G se llama conmutador si y sólo si es de la forma a−1 b−1 ab, para algún
par a, b ∈ G.
Denición 6.8 (Grupo Derivado) Dado un grupo ⟨G, ∗⟩ se denomina grupo
derivado de G y se denota por G′ al sub-grupo de G generado por los conmutadores de G.
Note que si G es abeliano para todo a, b ∈ G se tiene que a
e, por lo tanto su grupo derivado es justo {e}.
−1 −1
b
ab = a−1 ab−1 b =
Ejercicio 6.9 Demuestre que el grupo derivado de un grupo G es un sub-grupo
normal de G.
Denición 6.9 (Normalizador de un Conjunto) Dado un grupo
⟨G, ∗⟩ y
un sub-conjunto A de G se llama normalizador de A y se denota por N (A) al
conjunto de los elementos de g ∈ G tales que gA = Ag .
Ejercicio 6.10 Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo y A es sub-conjunto de G,
entonces N (A) un sub-grupo G y que si A es un sub-grupo de G, A es normal de
N (A) y que si A es un sub-grupo de G, A es normal en G si y sólo si N (A) = G.
6.2. Subgrupos Normales
6.2.2.
Vicente Yriarte
71
Grupo Cociente
Dado un subgrupo normal H de G, al conjunto de las clases laterales se le
denomina conjunto cociente y se denota por G/H . Sobre este conjunto se dene
una operación binaria de manera natural que diremos que es inducida por la del
grupo: aH ∗ bH = abH , esto es el producto de las clases de los elementos a, b es
la clase del elemento ab. Resulta que ⟨G/H, ∗⟩ es un grupo que se denomina el
.
grupo cociente
Ejercicio 6.11 Dado un grupo ⟨G, ·⟩ y un subgrupo normal H de G denimos
la operación ∗ sobre G/H como aH ∗ bH = abH . Demuestre que ⟨G/H, ∗⟩ es
un grupo.
Denición 6.10 (Grupo Simple) Un grupo simple es un grupo de orden > 1
que no tiene subgrupos normales distintos de los triviales.
72
6.3.
Capítulo 6. Clases Laterales
Ejercicios Resueltos
Ejercicio Resuelto 6.1 Sea ⟨G, ∗⟩ un grupo y sea A un sub-conjunto de G,
muestre que si g ∈ G, entonces gA y Ag tienen igual número de elementos que
H . Además muestre que g ∈ gA si y sólo si e ∈ A.
Para ver que gA tiene igual número de elementos que A, basta con
hallar una biyección entre A y gA. Denamos f : A → gA como f (a) = g ∗ a
está bien denida porque si a pertenece a A, entoces ga pertenece a gA. Es
inyectiva pues si a, b ∈ A y f (a) = f (b), entonces g ∗ a = g ∗ b y como G es un
grupo pordemos cancelar la g y nos queda que a = b; es sobreyectiva pues si
x ∈ gA entonces existe a ∈ A tal que x = ga, y f (a) = ga = x. Veamos ahora
que: g ∈ gA si y sólo si e ∈ A. (⇐) Si e ∈ A, entonces g ∗ e pertenece a gA y
como g ∗ e = g tenemos que g ∈ gA. (⇒) Si g ∈ gA, entonces existe a ∈ A tal
que g = g ∗ a, pero G es un grupo la ecuación g ∗ x = g tiene solución única en
G y e es una solución, luego a = e y en consecuencia e ∈ A.
♡
Respuesta:
Ejercicio Resuelto 6.2 Sea ⟨G, ∗⟩ un grupo y sea A un sub-conjunto de G,
muestre que si g ∈ G, entonces gA = Ag si y sólo si A = g −1 Ag .
(⇒) Por doble contención: (⊆) Sea a ∈ A, entonces g∗a ∈ gA y como gA = Ag se tiene que g∗a ∈ Ag, por lo tanto existe a ∈ A tal que g∗a = a ∗g,
y si multiplicamos a izquierda por g nos queda g ∗ g ∗ a = g ∗ a ∗ g, por
lo que a = g ∗ a ∗ g, entonces a ∈ g Ag. (⊇) Sea x ∈ g Ag, entonces existe
a ∈ A tal que x = g ∗ a ∗ g , por tanto g ∗ x = a ∗ g y como a ∗ g ∈ gA y
gA = Ag , concluímos que g ∗ x ∈ gA y por lo tanto x ∈ A.
(⇐) Por doble contención: (⊆) Sea x ∈ gA, entonces x = g ∗a, para algún a ∈ A;
puesto que a ∈ A y A = g Ag, existe a ∈ A tal que a = g ∗ a ∗ g, y por lo
tanto x = g ∗ g ∗ a ∗ g = a ∗ g, lo cual dice que x ∈ Ag. (⊇) Sea x ∈ Ag, entonces x = a ∗ g, para algún a ∈ A; luego x = g ∗ g ∗ a ∗ g = g ∗ (g ∗ a ∗ g) y como
g ∗ a ∗ g ∈ g Ag y por hipotesis tenemos que A = g Ag , entonces existe
a ∈ A tal que a = g ∗a∗g y por lo tanto x = g∗a y en consecuencia x ∈ gA. ♡
Respuesta:
′
−1
−1
′
′
−1
−1
−1
′
−1
−1
−1
−1
′
′
−1
−1
−1
−1
′
′
′
′
−1
−1
−1
′
Ejercicio Resuelto 6.3 Demuestre que en un grupo ⟨G, ·⟩ si a, g ∈ G, entonces o(a) = m si y sólo si o(g −1 ag) = m.
(⇒) Si o(a) = m, entonces a = e y por lo tanto (g ag) =
g ag · g ag · · · g ag = g a g = g eg = g g = e; además m es el entero
positivo r más pequeño tal que (g ag) = e porque si r < m y (g ag) = e,
entonces tendríamos que g a g = e y operando por g por la izquierda nos
quedaría que a g = ge = g, y nalmente tendríamos que a = e y r < m, lo cual
es una contradicción pues el orden de a es m. Luego, en efecto, o(g ag) = m.
(⇐) Si o(g ag) = m, tenemos que (g ag) = e y como (g ag) = g a g
tenemos que g a g = e y operando por la izquierda por g y por derecha por
g , obtenemos que a = e; además si existiese 0 < k < m tal que a = e
Respuesta:
−1
−1
m
−1
−1
−1 m
−1
−1
m
−1
−1
r
r
−1 r
r
r
−1
−1
−1
m
−1
m
−1 m
−1 m
−1
m
k
6.3. Ejercicios Resueltos
tendríamos que (g
m.
−1
73
Vicente Yriarte
ag)k = g −1 ak g = e
, lo cual no es posible pues o(g
−1
ag) =
♡
Ejercicio Resuelto 6.4 Demuestre que si
⟨G, ·⟩ es un grupo y A un subconjunto de G y a, b ∈ G, entonces a ∗ bA = a(bA) y Aa ∗ b = (Aa)b.
Mostraremos sólo la primera por doble contención: (⊆) Sea x ∈
, entonces
para algún , y como x = a ∗ (b ∗ c) se tiene
que
, por lo que
. ( ) Sea
, entonces x = a ∗ u para
algún
, y como
se tiene que
, para algún w ∈ A por lo
que
y en consecuencia
.
♡
Respuesta:
a ∗ bA
x = (a ∗ b) ∗ c
c∈A
b ∗ c ∈ bA
x ∈ a(bA) ⊆
x ∈ a(bA)
u ∈ bA
u ∈ bA
u = b∗w
x = (a ∗ b) ∗ w
x ∈ a ∗ bA
Ejercicio Resuelto 6.5 Sea ⟨G, ·⟩ un grupo y H un subgrupo de G. Demuestre
que para todo a ∈ G se tiene que aH = Ha es equivalente a para todo a ∈ G y
para todo h ∈ H se tiene que a−1 ha ∈ H .
(⇒) Sea a ∈ G y h ∈ H , entonces ha ∈ Ha, y puesto que a ∈ G
se tiene que aH = Ha, por lo tanto ha ∈ aH , esto es existe un elemento en H ,
digamos h tal que ha = ah , luego operando por la izquierda en ambos lados
por a y usando las propiedades del grupo G, nos queda que h = a ha, luego,
en efecto a ha ∈ H . (⇐) Se probará por doble contención: (⊆) Sea x ∈ aH ,
entonces existe un elemento en H , digamos h, tal que x = ah y puesto que
a ∈ G se tiene que a ∈ G, usando la hipótesis se tiene que (a ) ha ∈ H
y como x = ah = ahe = aha a = (a ) ha a concluimos que x ∈ Ha. (⊇)
Sea x ∈ Ha, entonces existe un elemento en H , digamos h, tal que x = ha y
puesto que a ∈ G se tiene que a ha ∈ H , luego como x = ha = eha = aa ha,
concluimos que x ∈ aH .
♡
Respuesta:
′
′
−1
′
−1
−1
−1
−1 −1
−1
−1 −1
−1
−1
−1
−1
Ejercicio Resuelto 6.6 Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo y A es un subconjunto de G, entonces N (A) es un sub-grupo de G.
Puesto que N (A) = {g ∈ G : gA = Ag}, el neutro e de G pertenece a N (A) pues eA = A = Ae. Veamos que N (A) es cerrado: Sean a, b ∈ N (A),
entonces aA = Aa y bA = Ab; abA = a(bA) = a(Ab) = (aA)b = (Aa)b = Aab.
Veamos que si a ∈ N (A), entonces a ∈ N (A): Sea a ∈ N (A), entonces
aA = Aa, Si multiplicamos por a por la izquierda, nos da: a (aA) = a (Aa)
y simplicando: A = a Aa; y si ahora multiplicamos por a por la derecha y
simplicamos obtenemos Aa = a A, por lo tanto a ∈ N (A).
♡
Respuesta:
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
Ejercicio Resuelto 6.7 Demuestre que si
−1
⟨G, ∗⟩ es un grupo, H es un subgrupo cíclico de nito de G tal que H es normal en G y K es un sub-grupo
propio de H , entonces K es normal en G.
74
Capítulo 6. Clases Laterales
Respuesta: Sea g ∈ G un grupo, sea H un sub-grupo cíclico nito de G, y
sea K un sub-grupo propio de H , puesto que H es cíclico y nito, entonces K
también es cíclico y nito; sea b su generador y sea m su orden. Luego, como H
es normal en G para todo g ∈ G y para todo h ∈ H se tiene que g hg ∈ H ,
en particular, b ∈ H , por lo tanto g bg ∈ H ; luego gp(g bg) es sub-grupo de
H , y como o(b) = o(g bg), se tiene que |gp(g bg)| = m; además como H es
cíclico tiene un sólo sub-grupo de orden m, luego gp(g bg) = K . Luego para
todo g ∈ G si k ∈ K , entonces k = b para algún r ∈ Z y g b g ∈ K ; esto es
para todo g ∈ G y para todo k ∈ K se tiene que g kg ∈ K , luego K es normal
en G.
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1 r
r
−1
♡
Ejercicio Resuelto 6.8
Respuesta:
♡
6.4. Ejercicios
6.4.
75
Vicente Yriarte
Ejercicios
1. Encuentre el número de clases laterales a derecha de cada uno de los
siguientes subgrupos:
a) El subgrupo ⟨12⟩ de Z .
b) El subgrupo ⟨0⟩ × ⟨1⟩ de Z × Z .
c) El subgrupo ⟨0⟩ × ⟨1⟩ × ⟨2⟩ de Z × Z × Z .
2. a) Demuestre que todo grupo nito de orden 2n, contiene algún elemento
de orden 2, esto es, algún elemento que es su propio inverso. b) Usando el
teorema de Lagrange, muestre que si n es impar, y G es un grupo abeliano
de orden 2n, entonces G contiene exactamente un elemento de orden 2.
3. Demuestre que un grupo con al menos dos elementos, pero sin subgrupos
propios no triviales, debe ser nito y de orden primo.
4. Pruebe el siguiente teorema:
Teorema: Supongamos que H y K son subgrupos de un grupo G tal que
K ≤ H ≤ G, y supongamos que (H : K) y (G : H) son ambos nitos.
Entonces (G : K) es nito, y (G : K) = (G : H)(H : K).
24
2
3
2
3
4
{ai H|i = 1, ..., r} la familia de las distintas clases laterales izquierdas
H en G y sea {bj K|j = 1, ..., s} la familia de las distintas clases laterales izquierdas
(Sugerencia: Sea
de
de
K en H . Muestre que: {(ai bj )K|i = 1, ..., r; j = 1, ..., s} es la colección de distintas
K en G ).
clases laterales izquierdas de
5. Demuestre que si H es un subgrupo de un grupo abeliano G, entonces,
toda clase lateral derecha de H es también una clase lateral izquierda de
H.
6. Muestre que si H es un subgrupo de índice 2 en grupo nito G, entonces
toda clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha de
H.
7. Muestre que si un grupo G con identidad e tiene orden nito n, entonces
para todo a ∈ G se tiene que a = e.
8. Sea H un subgrupo cíclico de G tal que H es normal en G. Demuestre que
si K es un subgrupo propio de H , entonces K es normal en G.
9. Demostrar que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo
normal.
10. Sea p el número primo más pequeño que divide al orden de un grupo G de
orden n. Demuestre que si H es un subgrupo de G de índice p, entonces
H es normal en G.
11. Demuestre que todo grupo de orden p , con p primo, contiene un subgrupo
de orden p.
n
r
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Capítulo 6. Clases Laterales
12. Demuestre que un sub-grupo H de G es normal en G si y sólo si para todo
g ∈ G, se tiene que gHg ⊆ H .
13. Demuestre que si A y B son subgrupos del grupo G y A es normal en G,
entonces A ∩ B es normal en B.
14. Un elemento c de un grupo ⟨G, ∗⟩, se llama
si y sólo si conmuta
con todos los demás elementos de G, esto es, si se tiene que ∀g ∈ G :
c ∗ g = g ∗ c. Al conjunto de los elementos centrales de G se le denomina el
de G. Demuestre que el centro de G es un subgrupo normal de G.
Denominaremos
a todo sub-grupo incluido en el centro.
Pruebe que todo sub-grupo central es normal en G.
15. Demuestre que si A es a y B son subgrupos de G y A es normal en G,
entonces A ∗ B = B ∗ A y A ∗ B es normal en G. (
A ∗ B = {a ∗ b :
a ∈ A ∧ b ∈ B}).
16. Demuestre que si un grupo nito G tiene exactamente un subgrupo H de
un orden dado, entonces H es normal en G.
17. Demuestre que si un grupo nito tiene un subgrupo de índice 2, entonces
no es simple.
18. Demuestre que S no es simple si n ≥ 3.
19. Pruebe que Z es simple si y sólo si n es primo.
20. Demuestre que si H es un subgrupo de un grupo G,
a) (∀g ∈ G)(gH = Hg ⇔ g ∈ H)
b) (∀a, b ∈ G)(aH = bH ⇔ a b ∈ H)
21. Halle el conjunto cociente Z/2Z y Z/3Z . ¾Cuál es el ídice de 2Z en Z ?
esto es, ¾Cuánto vale [Z : 2Z ]? ¾Cuánto vale [Z : 3Z]?
22. Demostrar que todo grupo de orden primo es simple.
23. Marque cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa.
a ) Si G es un grupo cíclico, es simple.
b ) Todo grupo de orden primo es simple.
c ) Todos los sub-grupos de un grupo abeliano son normales.
−1
central
centro
sub-grupo central
Aclaratoria:
n
n
−1