Práctica2 (1) Determine cuales de los siguientes conjuntos, con las

Práctica2
(1) Determine cuales de los siguientes conjuntos, con las operaciones binarias ∗ definidas,
tiene estructura de grupo.
(a) Z, a ∗ b = ab.
(b) Z, a ∗ b = a − b.
(c) R+ , a ∗ b = ab.
(d) Q, a ∗ b = ab.
(2) Si G es un grupo abeliano, probar que (a ∗ b)n = an ∗ bn para todo a, b ∈ G y n ∈ Z.
(3) Si G es un grupo en el cual a ∗ a = e para todo a ∈ G, demuestre que G es abeliano.
(4) Si G es cualquier grupo y a, b, c ∈ G, demostrar que si a ∗ b = a ∗ c, entonces b = c,
y si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c.
(5) Si G es un grupo y a, b ∈ G, demuestre que las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b
tienen soluciones únicas en G.
(6) Demuestre que un grupo G en el cual a = a−1 para todo a ∈ G debe ser abeliano.
(7) Si G es un grupo finito de orden par, demuestre que debe existir un elemento a ̸= e
tal que, a = a−1 .
(8) Sea G un grupo y x ∈ G. Demuestre que:
(a) xm xn = xm+n , para todo m, n ∈ Z.
(b) (xm )n = xmn , para todo m, n ∈ Z.
(9) Sea G un grupo. Se dice que G es cı́clico, si existe x ∈ G tal que, G = ⟨x⟩. En este
caso al elemento x se le llama generador de G. Demuestre:
(a) Todo grupo cı́clico es abeliano.
(b) (Z, +) es un grupo cı́clico teniendo a 1 y −1 como generadores.
(c) (Zp , +) con p primo, es un grupo cı́clico, teniendo a 1, ..., p − 1 como generadores.
(10) Cuáles de los siguientes subconjuntos G de Z13 = {0, 1, ..., 12}, son grupos con la
restricción de la operación producto definida en Z13 .
(a) G = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(b) G = Z13 .
(c) G = {1, 3, 5, 8, 9}
1
2
(11) Sea G un grupo y sean a, b, c ∈ G. Demuestre que la ecuación x ∗ a ∗ x ∗ b = x ∗ c
tiene solución única en G.
(12) Sea G un grupo y x ∈ G. Se define el centralizador de x en G, al cual denotaremos
por CG (x), como el conjunto
CG (x) = {y ∈ G : yx = xy}
Demuestre que CG (x) es un subgrupo de G.
(13) Sea G un grupo. Se define el centro del grupo G, al cual denotaremos por Z(G),
como el conjunto
Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G}
Demuestre que Z(G) es un subgrupo abeliano de G.
(14) Sean H1 , H2 , ..., Hn subgrupos de un grupo G, demuestre que
H=
n
∩
Hi
i=1
es un subgrupo de G.
(15) Sean H y K subgrupos de un grupo abeliano G. Si S = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
¿Será S un subgrupo de G?.
(16) Demuestre que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces el conjunto
{x ∈ G : x ∗ x = e} es un subgrupo de G.
(17) Si H es un subconjunto finito no vacı́o de un grupo G y H es cerrado respecto al
producto, entonces H es un subgrupo de G.
(18) Si G es un grupo cı́clico, demuestre que todo subgrupo de G es cı́clico.
(19) Sea G un grupo. Si G no tiene subgrupos propios, demuestre que G es cı́clico.
(20) Si G es un grupo y H un subconjunto no vacı́o de G tal que, dados a, b ∈ H, entonces
a ∗ b−1 ∈ H, demuestre que H es un subgrupo de G.
(21) Sea G un grupo y a ∈ G. Demuestre que el conjunto
H = {an : n ∈ Z}
es un subgrupo de G, más aún es el menor subgrupo de G que contiene a a.