Distribución de ternas pitagóricas sobre

Una terna pitagórica consiste en una tupla de tres enteros positivos a, b, c que cumplen
que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que en
cualquier triángulo rectángulo, se cumple que x² + y² = z² (siendo x e y las longitudes enteras
de sus catetos y z la de la hipotenusa). En sentido contrario también se cumple, o sea,
cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de dos catetos y una
hipotenusa, formando un triángulo rectángulo.
Las ternas pitagóricas suelen representarse como (a,b,c). Las ternas cuyos tres números
son coprimos reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas. Las 16 primeras ternas
pitagóricas primitivas, conc ≤ 100 son:
(3,4,5)
( 5, 12, 13)
( 7, 24, 25)
( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)
(11, 60, 61)
(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 21, 29)
(28, 45, 53)
(33, 56, 65)
(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(48, 55, 73)
(65, 72, 97)

;
Pitágoras llegó a alcanzar las infinitas soluciones

Generación y características[editar]
para el parámetro k, entero positivo. 1
Distribución de ternas pitagóricas sobre
. Los puntos rojos representan aquellas ternas que
sonprimitivas. Los puntos azules son ternas proporcionales a una terna primitiva.
Las ternas pitagóricas pueden clasificarse de dos maneras, primitivas o no primitivas. Una
terna pitagórica primitiva es aquella en la que el máximo común divisor de a, b y c es 1. Si
(a, b, c) es una terna pitagórica primitiva, se pueden construir infinitas ternas pitagóricas no
primitivas (da, db, dc), donde d es un entero positivo. Los triángulos que se construyen con
una terna pitagórica no primitiva son siempre proporcionales a otro triángulo cuyos lados
forman una terna pitagórica primitiva.
Si m > n son enteros positivos, entonces:
a = m² − n²,
b = 2mn,
c = m² + n²
es una terna pitagórica. Es primitiva si y sólo si m y n son coprimos y solamente
uno de ellos es par (si ambos n y m son impares, entonces a, b y c serán pares, y
la terna no será una terna pitagórica primitiva). No todas las ternas pitagóricas
pueden ser generadas con las expresiones anteriores, pero todas las
ternas primitivas surgen de este modo de un único par de números
coprimos m > n. Así pues, existe un número infinito de ternas pitagóricas
primitivas.
Si representamos en un plano los puntos que cumplen las condiciones para ser
una terna pitagórica, obtenemos el siguiente patrón de puntos (véase imagen de
la derecha). Los puntos rojos representan las ternas primitivas y los puntos azules
aquellas ternas que no lo son. Como se observa la imagen tiene un eje de
simetría debido a que es posible intercambiar a por b y viceversa y obtendremos
de nuevo otra terna pictagórica.
Es interesante hacer notar que existe más de una terna primitiva con el mismo
número entero menor. El primer ejemplo de esto es el 20, el cual es el menor
entero de dos ternas primitivas: (20, 21, 29) y (20, 99, 101).

Cualquier número entero n > 2 puede ser miembro de una terna pitagórica,
valga el ejemplo, para
2
El último teorema de Fermat, postulado por Pierre de Fermat alrededor de 1637,
plantea que no existen ternas no triviales (como a = b = c = 0 o a = 1, b = 0, c = 1)
análogas a las ternas pitagóricas con números naturales, generalizando para
exponentes mayores que dos. En notación moderna:
La ecuación
no tiene solución si n>2 con x, y, z, n naturales.
Sin demostración durante más de 300 años, Andrew Wiles consiguió
demostrarlo en 1995, utilizando para ello, herramientas matemáticas muy
avanzadas de diversas ramas.
Es posible expresar un cuadrado perfecto como la suma de tres
cuadrados perfectos.
, simplmente hay que usar la siguiente fórmula
. 3 Puede ser usada para hallar la diagonal de un paralelepípedo
rectangular de dimensiones, dadas en números enteros.