1 TERNAS PITAGÓRICAS Una terna pitagórica la forman tres

TERNAS PITAGÓRICAS
Una terna pitagórica la forman tres números naturales que son las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y, por tanto, cumplen el
Teorema de Pitágoras.
Así pues, los números a , b , c forman una terna pitagórica si a 2 + b 2 = c 2 .
Por ejemplo: 3 , 4 , 5 forman una terna pitagórica porque 3 2 + 4 2 = 5 2 .
Construyendo ternas pitagóricas.
Empezaremos completando la tabla de los 30 primeros cuadrados. Búscalos
razonadamente sin usar la calculadora:
256
144
784
36
169
400
529
576
841
196
289
49
16
484
121
729
225
1
625
676
64
361
25
441
81
4
9
900
324
100
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
112
122
132
142
152
162
172
182
192
202
212
222
232
242
252
262
272
282
292
302
Terna pitagórica de Mesopotamia (entre 1900 y 1600 a. C.):
( p > q) a = p 2 − q 2
b = 2 pq
c = p2 + q2
a2 + b2 = c2
Terna pitagórica de Pitágoras (griego, siglo VI a.C.):
( n ≠ 0) a = 2n + 1
b = 2 n 2 + 2n
c = 2n 2 + 2 n + 1
a2 + b2 = c2
Terna pitagórica de Platón (griego, siglo IV a. C.)
( n > 1) a = 2n
b = n2 − 1
c = n2 + 1
Ternas pitagóricas. Estalmat – Madrid
a2 + b2 = c2
1
Problemas sobre Ternas Pitagóricas
1. Construye dos ternas pitagóricas de cada tipo y a continuación completa esta tabla:
Tipo de terna
2.
p = 2 q =1
Mesopotamia
p=
q=
Pitágoras
Pitágoras
Platón
Platón
Mesopotamia
n=
n=
n=
n=
p=
q=
Demuestra que si
b
c
a2 + b2 = c2
3
4
5
32 + 4 2 = 5 2
27
200
19
20
31
84
36
9999
180
99
480
1763
45
10001
181
101
481
1765
forman una terna pitagórica porque…
Mesopotamia
a
27 2 + 36 2 = 45 2
a, b, c es una terna pitagórica, entonces cualquier múltiplo de ella
ka, kb, kc es también una terna pitagórica.
3. Demuestra que no existe ninguna terna pitagórica cuyos tres números sean impares.
4. Demuestra que la construcción mesopotámica de ternas pitagóricas es correcta.
5. Demuestra que la construcción pitagórica de ternas pitagóricas es correcta.
6. Demuestra que la construcción platónica de ternas pitagóricas es correcta.
7. Encuentra una terna pitagórica en la que el número menor sea 2006.
8. Encuentra una terna pitagórica en la que el número menor sea 2007.
9. Encuentra una terna pitagórica en la que el número mayor sea 2005.
10. Encuentra dos enteros
m y n tales que m 2 + n 2 = 626 .
11. Joaquín me dice: elige cualquier número impar ( a ); elévalo al cuadrado; escribe este
último cuadrado como la suma de dos números naturales b y c , (siendo b < c ) lo más
próximos posible entre ellos; ¡¡fantástico!!, acabas de encontrar una terna pitagórica:
a 2 + b 2 = c 2 . Comprueba que es cierto el método de Joaquín con dos ejemplos. ¿Sabrías
detectar de qué tipo es la terna encontrada?
12. Demuestra que no existe ninguna terna pitagórica con dos números iguales.
13. ¿Hay algún triángulo rectángulo de longitudes enteras cuyos catetos sean de la forma
a = 10n + 2 y b = 10m + 3 ?
14. ¿Puedes hallar tres números naturales
Ternas pitagóricas. Estalmat – Madrid
a, b, c tales que a 3 + b 3 = c 3 ?
2