El Conjunto de los Números Reales

Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
El Conjunto de los Números Reales
Carlos A. Rivera-Morales
Precálculo I
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Tabla de Contenido
Objetivos
1
Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números naturales (N)
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números naturales (N)
números cardinales (C)
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números naturales (N)
números cardinales (C)
números enteros (Z)
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
irracionales (I)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
irracionales (I)
reales (R)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
irracionales (I)
reales (R)
relaciones entre los conjuntos anteriores
Rivera-Morales, Carlos A.
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Contenido
Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
irracionales (I)
reales (R)
relaciones entre los conjuntos anteriores
la recta numérica real
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
algunos conjuntos numéricos de importancia para la
Precálculo I
números
números
números
números
números
números
naturales (N)
cardinales (C)
enteros (Z)
racionales (Q)
irracionales (I)
reales (R)
relaciones entre los conjuntos anteriores
la recta numérica real
propiedades de cuerpo de los números reales
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
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Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
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Relaciones entre conjuntos numéricos
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Algunos conjuntos numéricos de importancia para el
curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros no negativos o Números Cardinales
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curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros no negativos o Números Cardinales
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curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros no negativos o Números Cardinales
C = {0, 1, 2, 3, ...}
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curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros no negativos o Números Cardinales
C = {0, 1, 2, 3, ...}
Números Enteros
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curso Precálculo I:
Números Enteros Positivos o Números Naturales o
Números de Conteo.
N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros no negativos o Números Cardinales
C = {0, 1, 2, 3, ...}
Números Enteros
Z ={... ,-3,-2,-1,0,1, 2,3,...}
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curso Precálculo I:(Continuación)
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curso Precálculo I:(Continuación)
Números Reales
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
Números Racionales
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
Números Racionales
Q = {x|x es un número real que se puede expresar de la
p
forma , donde p y q son números enteros, con q 6= 0}
q
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
Números Racionales
Q = {x|x es un número real que se puede expresar de la
p
forma , donde p y q son números enteros, con q 6= 0}
q
p
Q = { | p y q son enteros con q 6= 0}
q
Rivera-Morales, Carlos A.
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
Números Racionales
Q = {x|x es un número real que se puede expresar de la
p
forma , donde p y q son números enteros, con q 6= 0}
q
p
Q = { | p y q son enteros con q 6= 0}
q
Números Irracionales
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Números Reales
R = {x|x se puede escribir como un número decimal}
Números Racionales
Q = {x|x es un número real que se puede expresar de la
p
forma , donde p y q son números enteros, con q 6= 0}
q
p
Q = { | p y q son enteros con q 6= 0}
q
Números Irracionales
I = {x|x es un número real que no se puede escribir como
el cociente de dos números enteros (esto es, como una
fracción común)}
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
Rivera-Morales, Carlos A.
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Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
1
= 0.3333 · · ·
3
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
1
= 0.3333 · · ·
3
3.1416
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
1
= 0.3333 · · ·
3
3.1416
0 = 0.0
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
1
= 0.3333 · · ·
3
3.1416
0 = 0.0
3.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Notas:
Todo número racional tiene una forma decimal que termina
o es repetitiva. Además, todo decimal que termina o es
repetitivo representa un número racional.Veamos algunos
ejemplos:
√
4 = 2 = 2.0
1
= 0.3333 · · ·
3
3.1416
0 = 0.0
3.121212 · · · (Decimal repetitivo o periodico.)
−3.232332333233332
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
2
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
π ≈ 3.1416
Rivera-Morales, Carlos A.
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Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
π ≈ 3.1416
e (Número de Euler)(Base natural de exponentes)
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
π ≈ 3.1416
e (Número de Euler)(Base natural de exponentes)
e ≈ 2.71828
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
π ≈ 3.1416
e (Número de Euler)(Base natural de exponentes)
e ≈√
2.71828
6− 7
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Un número decimal que no termina y tampoco es
repetitivo se denomina número irracional. Un número
irracional no se puede expresar como una fracción.Veamos
algunos ejemplos de números irracionales:
√
√2
5
π ≈ 3.1416
e (Número de Euler)(Base natural de exponentes)
e ≈√
2.71828
6− 7
−3.232332333233332...(Suponga que el patrón continúa.)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
Relación entre los conjuntos anteriores
Números Reales
Por lo tanto, N ⊆ C ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R . Además, R = Q ∪ I .
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades de los Números Reales
Relación entre los conjuntos anteriores
Números Reales
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Propiedades de los Números Reales
Relación entre los conjuntos anteriores
Números Reales
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El Conjunto de los Números Reales
Nota: Un número real cualquiera acepta diferentes
clasificaciones.
Rivera-Morales, Carlos A.
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El Conjunto de los Números Reales
Nota: Un número real cualquiera acepta diferentes
clasificaciones.
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Ejercicio: Coloque correctamente los siguientes números en el
diagrama.
√
3, −7, 4.5, 7.333..., 7π,
√
64, 0,
Rivera-Morales, Carlos A.
√
3
6,
√
3
64,
√
−4
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Ejercicio: Clasifique los siguientes enunciados en Cierto o
Falso. Si contesta Falso, explique por qué.
1
-7 es un número racional.
2
0 es un número entero.
√
16 representa un número racional.
3
5
−5.333... es un número entero.
√
2 es un número racional.
6
18 es un número cardinal.
7
2.434334333 es un número racional.
8
2.434334333433334... es un número racional.
9
Todo número irracional es un número real.
4
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real:
Definición: La recta numérica real es una correspondencia
uno a uno o biunı́voca entre el conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una lı́nea o recta.
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real:
Definición: La recta numérica real es una correspondencia
uno a uno o biunı́voca entre el conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una lı́nea o recta.
A cada número real le corresponde un punto único de la
recta.
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real:
Definición: La recta numérica real es una correspondencia
uno a uno o biunı́voca entre el conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una lı́nea o recta.
A cada número real le corresponde un punto único de la
recta.
A cada punto de la recta le corresponde un número real
único.
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real:
Definición: La recta numérica real es una correspondencia
uno a uno o biunı́voca entre el conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una lı́nea o recta.
A cada número real le corresponde un punto único de la
recta.
A cada punto de la recta le corresponde un número real
único.
El punto es la gráfica del número real.
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real:
Definición: La recta numérica real es una correspondencia
uno a uno o biunı́voca entre el conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una lı́nea o recta.
A cada número real le corresponde un punto único de la
recta.
A cada punto de la recta le corresponde un número real
único.
El punto es la gráfica del número real.
El número real es la coordenada del punto.
Rivera-Morales, Carlos A.
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La Recta Numérica Real
Ejemplo: Indique la localización aproximada de cada uno de
los siguientes números reales.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Indique la localización aproximada de cada uno de
los siguientes números reales.
−3,
10
3 ,
1.2,
√
1
4
, π, 17, −
5
5
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Indique la localización aproximada de cada uno de
los siguientes números reales.
−3,
10
3 ,
1.2,
√
1
4
, π, 17, −
5
5
Rivera-Morales, Carlos A.
Los Números Reales
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Algunos conjuntos numéricos importantes
Relaciones entre conjuntos numéricos
La Recta Numérica Real
Propiedades de los Números Reales
La Recta Numérica Real
Ejemplo: Indique la localización aproximada de cada uno de
los siguientes números reales.
−3,
10
3 ,
1.2,
√
1
4
, π, 17, −
5
5
Solución:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientes
números de menor a mayor.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientes
números de menor a mayor.
2π,
√
20
37, 6,
, 5.9, 6.4 × 100
3
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientes
números de menor a mayor.
2π,
√
20
37, 6,
, 5.9, 6.4 × 100
3
El orden correcto es:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo: Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientes
números de menor a mayor.
2π,
√
20
37, 6,
, 5.9, 6.4 × 100
3
El orden correcto es:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejercicios:
A. Indique la localización aproximada de cada uno de los
siguientes números reales.
B. Sin hacer uso de la calculadora, ordene los siguientes
números de menor a mayor.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Contestaciones:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejercicios Sugeridos para Práctica:
Pág. A - 11 y siguientes: 1 al 72 (impares).
Rivera-Morales, Carlos A.
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