I. Intervalos. Desigualdades. Valor Absoluto

Taller de Matemáticas
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I. Intervalos. Desigualdades. Valor Absoluto
El Cálculo Infinitesimal se basa en el sistema de NÚMEROS REALES, IR.
Los números reales se pueden representar en una RECTA. Se elige un punto arbitrario como ORIGEN
que corresponde al 0, los números positivos se representan a la derecha de dicho origen y los negativos a su
izquierda.
Los números reales están ORDENADOS:
a es MENOR que b, a < b, si geométricamente a está a la izquierda de b en la RECTA REAL.
a ≤ b ⇐⇒ a < b ó a = b
Los INTERVALOS son conjuntos de números reales que se corresponden geométricamente con segmentos
de recta o semirrectas:
(a, b) = {x ∈ IR /a < x < b} Intervalo ABIERTO
[a, b] = {x ∈ IR /a ≤ x ≤ b} Intervalo CERRADO
(a, +∞) = {x ∈ IR /x > a}
[a, +∞) = {x ∈ IR /x ≥ a}
(−∞, b) = {x ∈ IR /x < b}
(−∞, b] = {x ∈ IR /x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ IR /a < x ≤ b} Intervalo SEMIABIERTO
[a, b) = {x ∈ IR /a ≤ x < b} Intervalo SEMIABIERTO
(−∞, +∞) = IR
Recta Real
RESOLVER UNA DESIGUALDAD es determinar el conjunto de números reales que satisface dicha
desigualdad, es decir, encontrar el conjunto SOLUCIÓN. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:
1. Si
a < b =⇒ a + c < b + c ∀c ∈ IR
2. Si
a < b y c < d =⇒ a + c < b + d
3. Si
a < b y c > 0 =⇒ ac < bc
4. Si
a < b y c < 0 =⇒ ac > bc
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Ejemplo 1 Resolver
3
1 + x < 7x + 5
2
4
1 + x < 7x + 5 =⇒ x < 7x + 4 =⇒ −6x < 4 =⇒ x > − = −
6
3
Ejemplo 2 Resolver
x2 − 5x + 6 ≤ 0
x2 − 5x + 6 ≤ 0 =⇒ (x − 2)(x − 3) ≤ 0 =⇒ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3} =⇒ x ∈ [2, 3]
Valor absoluto
Definimos el VALOR ABSOLUTO de a, |a|, como la distancia de a al origen en la recta real, es decir
|a| =


 a

 −a

si a ≥ 0 


si a < 0 
√
= + a2
Para resolver ecuaciones o desigualdades que contienen valores absolutos, es muy útil usar las siguientes
propiedades:
1. |ab| = |a||b| ∀a, b ∈ IR
2. Si a > 0, |x| = a ⇐⇒ x = ±a
3. Si a > 0, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
4. Si a > 0, |x| > a ⇐⇒ x > a
Ejemplo Resolver
ó
x < −a
|x − 5| ≤ 2
|x − 5| ≤ 2 =⇒ −2 ≤ x − 5 ≤ 2 =⇒ 3 ≤ x ≤ 7 =⇒ x ∈ [3, 7]