Taller # 7 - Números reales

Universidad de Antioquia
Introducción al Cálculo CNM-107
Taller # 7 - Números reales
Introducción al Cálculo
Departamento de Matemáticas
Intervalos, desigualdades y Valor absoluto
1) Marque sobre la recta real cada uno de los siguientes conjuntos y mediante notación para intervalo
represente el conjunto
a) {x : 2 ≤ x < 3} ∪ {x : x < 0}
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.............................................................................................
b) {x : x ≥ 2} ∩ {x : x < 6}
.............................................................................................
.............................................................................................
c) {x : x < 1} \ {x < −2}
.............................................................................................
.............................................................................................
d) R \ {x : x > 1} ∪ {x : x < −1}
.............................................................................................
.............................................................................................
2) Utilice desigualdades para describir el intervalo (o intervalos) de números reales.
a) -5
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
b) -5
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
c) -5
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
3) Por medio de gráficas y desigualdades describir los intervalos de números reales.
a) [−4, 0)
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b) (−∞, 3]
c) (0, 5)
1
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Valor absoluto:
(
x
si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
I. |x| ≥ 0
II. |xy| = |x||y|
III. | − x| = |x|
IV. |x + y| ≤ |x| + |y|
x |x|
, x 6= 0
V. =
y
|y|
4) Reescriba la expresión sin utilizar valor absoluto y simplifique el resultado
√
si 3 > x
a) | − 5| + 5
c) | 5 − 5/2|
e) |3−x|
3−x
b)
−x
si x > 0
| − x|
g) |2 − π|
√
f) | 3 − 3|
d) |x2 |
h) | − z 2 − 1|
Ecuaciones
5) Resuelva las siguientes ecuaciones
√
e) y 2 + 2y = 4
a) x x − (1 − x) + x = 1 − x
b)
x+1
3
c)
1
x
f) 4x4 − 37x2 + 9 = 0
+
x
2
=
−
1
2
=
1
4
1
x
g)
√
x+1+
√
d) 1 +
1
x
=x+1
h)
√
x+1+
√
x+2
6
−
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2
4
2
i) x 3 − 6x 3 + 8 = 0
g) x6 − 19x3 − 216 = 0
√
z+1=
√
1−x=1
j)
z
1−x=1
k) x3 − 9x 2 + 8 = 0
3
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6) Resolver empleando las propiedades de las raı́ces.
a) 4 y −7 son raı́ces de x2 + 3x − 28 = 0
............................... ............................... ...............................
b)
y − 34 son raı́ces de 8x2 − 2x − 3 = 0
.............................................................................................
.............................................................................................
1
2
c) Hallar la cuadrática con raı́ces 3 y −6
.............................................................................................
.............................................................................................
√
√
d) Hallar la cuadrática con raı́ces 1 + 2 y 1 − 2
.............................................................................................
.............................................................................................
7) Resuelva de ser posible las siguientes ecuaciones
p
x−1 c) |3x − 1| = (1 − x)2
a) x+1 = 1
b) |x + 4| = |1 − 2x|
d) |1 − x| + |2x − 1| = x
e) 2|x − 1| + |x| = 2
f) |2x − 1| = x + 1
8) Resolver los siguientes problemas
a) Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye
en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números.
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.............................................................................................
.............................................................................................
b) Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números.
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3
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c) Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 3, y 10 veces el menor se
divide por el mayor, el cociente es 3 y el residuo 19. Hallar los números.
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.............................................................................................
.............................................................................................
d) Determinar un número entre 300 y 400 sabiendo que la suma de sus cifras es 6 y que leı́do al
41
revés es 107
del número original.
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.............................................................................................
.............................................................................................
e) La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el menor de los números es 184.
Hallar los números.
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f) La edad de Juan hace 6 años era la raı́z cuadrada de la edad que tendrá en 6 años. Hallar la
edad actual de Juan.
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Inecuaciones
9) Resuelva las siguientes inecuciones
a) 2x −
b)
x+1
3
5
3
<
>
x
3
+ 10
2x−1
2
c) (x+3)(x−1) < (x−1)2 +3x
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d)
x−1
x+2
<
x+1
x−2
e) (x − 1)(x + 2) < (x − 4)
f)
2x+1
3x−1
>
2x+5
3x+2
4
g)
5
3x+1
−
20
9x2 −1
h)
1
x2 +x
>
1
x2 −x
i)
x+5
5
−
4
x+2
>
<
−
2
3x−1
1
x2 −1
x
5
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10) Resuelva las siguientes inecuaciones
a) |7x − 1| > 1
d) |2x − 1| > 0
b) |x − 3| ≤ 2x + 1
e)
|x+2|
|x−3|
c) |x| − 2|x − 1| > 2
f)
p
(x − 7)2 + |x − 1| > 2
11) Muestre que para cada x, y ∈ R
<1
g)
|x−2|+|x+3|
|x2 −5|
h)
1+|2x−3|
|x+5|
i)
1
|x|
≥5
<1
> |x − 1|
|x| − |y| ≤ |x − y|
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5
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