H.8 Vectores en el Espacio

Materia: Matemática de 5to
Tema: Vectores en el Espacio
Marco Teórico
El sistema de coordenadas rectangular (o cartesiano) se utiliza para describir un plano
dividido en cuatro cuadrantes, como se muestra abajo a la izquierda. (Tenga en
cuenta, los cuadrados de colores se utilizan para ayudar a visualizar el espacio,
recuerde que los planos de coordenadas en realidad se extienden hacia fuera, hacia el
infinito.)
El uso del sistema de coordenadas cartesianas para describir el espacio tridimensional
se compone de un origen y seis ejes abiertos que son perpendiculares. Estos ejes
definen tres planos que dividen el espacio en ocho piezas de datos conocidos
como octantes, como se muestra arriba a la derecha. Piense en estos planos como
cortar el espacio de tres maneras: de izquierda a derecha y de arriba a abajo y de
adelante hacia atrás.
Por convención, numeramos los cuatro cuadrantes del plano xy de esta manera: puntos
en el cuadrante 1 tienen + x + y coordenadas, los de cuadrante 2 tienen -x y + y,
aquellos en el cuadrante 3 tienen -x y -y, y los que en el cuadrante 4 tienen + x y y. Actualmente no hay ningún sistema de numeración estandarizado para los octantes
en el espacio de tres dimensiones, aunque la mayoría de la gente se identifica la región
con + x, + y, y + z como el primer octante. El método utilizado para identificar los
octantes es indicar verbalmente la porción de espacio que ocupan. Por ejemplo, el
primer octante también podría ser identificado como (superior, frontal, a la derecha).
Vectores de posición en el espacio 3D todavía están representados por flechas que
comienzan en el origen y final en el punto en cuestión. El diagrama de arriba muestra
un punto, P, situado en la parte delantera, inferior, derecho octante. Los tres
componentes del vector de posición (P x, Py, y P z ) se muestran en el diagrama. De
acuerdo con el teorema de Pitágoras, la magnitud del vector de posición viene dada
por:
Ejemplo
Zeke está disfrutando de una tarde en el skate-park local. El siguiente diagrama
muestra la posición inicial y su posición final en el punto más alto de la nueva colina.
Elija dos sistemas diferentes de coordenadas que podrían describir este
sistema. Encuentra vectores de posición inicial y final de Zeke en cada uno de los dos
sistemas de coordenadas. Luego identificar el vector de desplazamiento desde su
posición inicial a su posición final en la cima de la
colina.
Solución
Un posible origen de coordenadas se encuentra en la posición de partida de Zeke. En
este caso, el vector de posición inicial está dada por
final viene dada por
diferencia entre estos dos vectores,
y su posición
. El Desplazamiento de Zeke es la
Otro posible origen de coordenadas está en el punto marcado O en el siguiente
diagrama. En este caso su posición original está dada por
su posición final viene dada por.
la diferencia entre estos dos
vectores,
y
El Desplazamiento de Zeke es
Tenga en cuenta que los vectores de posición que representan este movimiento
dependen de la elección del sistema de coordenadas, pero el vector de desplazamiento
es independiente del sistema de coordenadas.
Palabras Clave
Un cuadrante es una de las cuatro "esquinas" de la norma cartesiano rectangular de 2
dimensiones del sistema de coordenadas.
Un octante es una de las ocho "esquinas" de la rectangular de 3 dimensiones del
sistema de coordenadas.
Ejercicios Resueltos
Preguntas
1) Identificar el punto medio entre los puntos P = (3,7, 8,4, -2,1) y Q = (5,5, -1,9, -8,6).
2) Identificar el punto medio entre los puntos A = (4,2, -13,6, 4,2) y B = (1,2, 3,9, -2,7).
3) Dibuje las tres dimensiones del vector
4) Dibuje las tres dimensiones del vector
Soluciones
1) Para encontrar el punto medio entre dos puntos, determinar el promedio de las dos
posiciones.
2) Para encontrar el punto medio entre los puntos A = (4,2, -13,6, 4,2) y B = (1,2, 3,9, 2,7), determinar el promedio de las dos posiciones.
3) i, j y k son vectores unitarios, respectivamente, en la dirección positiva de los ejes x,
y, z.
4) i, j y k son vectores unitarios, respectivamente, en la dirección negativa de los ejes x,
y, z.
Ejercicios
Teniendo en cuenta: la posición inicial y final de los vectores en el sistema de
coordenadas. Identificar el vector de desplazamiento o punto medio de la posición
inicial a la final.
1. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
2. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
3. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
4. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
5. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
6. ¿Cuál es el desplazamiento o la diferencia entre estos dos vectores? El vector de
posición inicial
y el vector de posición final
.
Identificar el punto medio entre los puntos A y B
7. A =
yB=
8. A =
yB=
9. A =
yB=
10. A =
yB=
11. A =
yB=
12. A =
yB=
Dibuje las tres dimensiones del vector
13.
14.
15.
16.
17.