En el espacio vectorial Pn de los polinomios en una variable con

9, 35(0,26 -25*( -8$1
ÈOJHEUD /LQHDO
En el espacio vectorial S? de los polinomios en una variable con coe¿cientes reales de grado menor o igual
que ?, ? 5 Q, se considera la aplicación lineal G S? $ S? dada por
dR E|o ' R E| n  R E|  n RE|
Se pide:
Calcular dR& E|o para R& E| ' |& , & ' fc c 2c .
Obtener la matriz de respecto de la base canónica de S? .
Calcular el núcleo y la imagen de .
Clasi¿car la aplicación.
Para ? ' , obtener la matriz de respecto de la base c | c E| 2 c E|  .
SOLUCIÓN
dRf E|o ' Rf E| n  Rf E|  n Rf E| '   n  ' .
dR& E|o ' R& E| n  R& E|  n R& E| ' E| n & E| & n |& ' &f |& n & |&3 n n
l
& & k& & & &3
& &3 &
&
E n n &3 | E
n & E n |& '
& 3 | n & f | n  |
& & & &3
n n &3&  | n && &f |& n & |&3 n &3&  | E&3 && E& n |& '
f | n  |
; &
&
&
& ? | n 2  |&3 n 2 |&3 n n 2 &3 |c & 2 R@o
= &
| n 2 & |&3 n 2 & |&3 n n 2 && c
Si ? es impar, la matriz pedida es
3

E f
E
E ..
E .
E
E .
' E ..
E .
E ..
E
E .
C ..
f
2 f  e
.
f  ..
..
.
. f ..
.. .. . .
.
. .
.. ..
. .
f f &  6R@o
?f3
2 ?32
f
...
...
...
...

f
2
f
4
F
F
? F
2 ?32 F
F
F
F
f
F
..
F
.
F
? F
2  D

Si ? es par, la matriz pedida es
3
E
E
E
E
E
E
'E
E
E
E
E
C

f
..
.
..
.
..
.
..
.
f
2 f  e
.
f  ..
..
.
. f ..
.. .. . .
.
. .
.. ..
. .
f f 2
f
?3
...
2 ?3
...
...
...

f
f? 2 ?3
f
? 2 ?3
..
.
?
2 

4
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
Para calcular el núcleo de tenemos que buscar los polinomios R E| ' @f n@ |n n@? |? 5 S? tales
que dR E|o ' f. Esto, planteado en forma matricial, es equivalente a resolver el sistema homogéneo
4 3 4
3
@f
f
E @ F E f F
F E F
E
C ... D ' C ... D @?
f
Puesto que _i| ' , dicho sistema homogéneo es compatible determinado y su única solución es
R E| ' f. Por lo tanto, !ih ' ifj Por otra parte, sabemos que _4 E4} ' _4 S? _4 E!ih ' ? n  y 4} S? , por lo que
4} ' S? .
La aplicación es inyectiva, por ser !ih ' ifj, y suprayectiva, por ser 4} ' S? . Por lo tanto, es biyectiva.
Sea ' i^f E| c ^ E| c ^2 E| c ^ E|j ' c | c E| 2 c E|  . Calculamos las imágenes por
de los vectores de y las ponemos como combinaciones lineales de los vectores de .
d^f E|o '  ' ^f E| d^ E|o ' ^ E| n  ^ E|  n ^ E| ' E| n   E|   n E|  ' 2 n E|  d^ E|o ' 2^f E| n ^ E| d^2 E|o ' ^2 E| n  ^2 E|  n ^2 E| ' E| n  2 E|  2 n E| 2 '
e E|  n E| 2 ' e^ E| n ^2 E| d^ E|o ' ^ E| n  ^ E|  n ^ E| ' E| n   E|   n E|  '
2 n S E| 2 n E|  ' 2^f E| n S^2 E| n ^ E| Por lo tanto, la matriz pedida es
3

E f
E
C f
f
2

f
f
f
e

f
4
2
f F
F
S D
