b Ф

TRABAJO PRÁCTICO Nº3
DIVISIBILIDAD
Ejercicio 1
Demostrar ∀ a, b, c ∈ Z
a) Todo número se divide a si mismo
b) ab ⇔ |a||b|
c) ab ⇒ ab.c
d) ab ∧ ba ⇒ |a| = |b|
e) ab ∧ bc ⇒ ac
f) ± 1a
g) ab ∧ b ≠ 0 ⇒ |a| ≤ |b|
h) b > 0 ∧ b = a.c ∧ a ≠ c ⇒ a < b ∨ c <
i) ab ∧ ac ⇒ a (b.x + c.y) , ∀ x, y ∈ Z
j) ab ⇒ a.cb.c
b
Ejercicio 2
Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, en caso de ser
verdadera demostrarla y en caso de ser falsa enunciar un contraejemplo:
a) Si un número es divisible por 10, entonces es divisible por 5
b) Si un número es divisible por 10, entonces no es divisible por 15
c) Si un número no es divisible por 10, entonces no es divisible por 5
d) Si un número es divisible por 5, entonces es divisible por 10
e) Si un número no es divisible por 10, entonces no es divisible ni por 2 ni
por 5
f) Un número es par si, y sólo si, su cuadrado es par
g) Un número es par si, y sólo si, es divisible por 4
h) Si la suma de dos números es par, entonces alguno de ellos es par
i) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares
j) La suma de dos números es par si, y sólo si, tienen la misma paridad
k) Si el producto de dos números es par, entonces alguno de ellos es par
l) Si el producto de dos números es un cuadrado, entonces alguno es un
cuadrado
m) 8a ⇒ 2a
n) 7 a ⇒ 11 /a
o) 2a . (a + 1)
a b
,c ≠ 0
p) ab ⇒ 
c c
q) ab ⇒ a2b2
r) a2b ⇒ b / a
s) ab.c + d ∧ ab⇒ ab ∨ ac
Ejercicio 3
a) (a + b)n = k.a + bn para algún k entero
b) Demostrar: ab2 ∧ ab3 ∧ ... ∧ abn ∧ a(b1 + b2 + ... + bn) ⇒ ab1
c) Utilice el desarrollo decimal de los números decimales para deducir las
reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 8
d) Demuestre que todo número puede ser escrito como la suma de sus cifras
más un múltiplo de 9, y utilice este resultado para justificar la regla de
divisibilidad por 3.
Ejercicio 4
Sea a, b, c ∈ Z, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
Demuestre las que sean verdaderas. Halle un contraejemplo para las que sean
falsas y, en el caso de ser posible, agregue las hipótesis necesarias para
hacerlas verdaderas.
a) ab + c ⇒ ab ∨ ac
b) ab ∧ cb ⇒ a.cb
c) 3a ∧ 3b ⇒ 3(a2 + b2)
d) ∀ n ∈ N: abn ⇒ ab
e) ∀ n ∈ N: ab ⇒ abn
f) ab.c ⇒ ab ∨ ac
g) a2b3 ⇒ ab
Ejercicio 5
Pruebe que para todo n y m natural, y para todo a y b enteros:
a) 3.52n + 1 + 23n + 1 es divisible por 17
b) 22n-1.3n+2 es múltiplo de 11
c) 732n+1 + 2n+2
d) mn ⇒ am - 1an - 1
n
es par ⇒ am + 1an - 1
e)
m
Ejercicio 6
Indicar la paridad de los siguientes enteros para todo n natural:
a) n.(n+1)
b) 3.n2 + 5
c) (n + 1).(n - 2)
d) n2 + 3.n
e) n3 – 7.n + 9 (demuestre además que no tiene raíces enteras)
Ejercicio 7
Pruebe que para todo n natural:
a n − b n = (a − b).(a n −1 .b 0 + a n− 2 .b1 + ... + a 0 .b n −1 )
Ejercicio 8
a) Demostrar que 3, 5 y 7 son primos
b) ¿Cuáles de los siguientes enteros son primos?: 31, 57, 91, 133, 181, 327,
221, 289, 701, 1003, 2011
c) Pruebe que solo hay un natural primo par
d) Pruebe que solo hay dos enteros primos pares.
e) Dé ejemplos de un número que tenga solo dos divisores positivos menores
o iguales que m . ¿Cuántos divisores tiene tal m?
f) Probar que dados cinco números compuestos menores que 100, hay al
menos dos que no son coprimos
Ejercicio 9
Demuestre:
a) La suma de dos cuadrados impares nunca es un cuadrado.**
b) El producto de dos números consecutivos es par.
c) Todo número primo impar puede escribirse como diferencia de dos
cuadrados consecutivos.
d) La suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4.
e) Un número entero es impar si, y sólo si, es de la forma 2k + 1.
f) La suma de tres números impares consecutivos es divisible por 3 pero
no por 6.
g) El producto de dos pares consecutivos es múltiplo de 8.
h) El producto de dos números que difieren en dos, aumentado en uno, es
un cuadrado perfecto.
Ejercicio 10
La sucesión de Fibonacci se construye del siguiente modo:
u0 = 0 y u1 = 1 y luego en virtud de la fórmula recursiva un+2 = un+1 + un
a) Halle la fórmula del término general
b) Probar que los números de Fibonacci cumplen mn ⇒ umun
Ejercicio 11
a) Sea n ∈ N: probar que (n!)2(2n)!
b) Calcular a y b sabiendo que (a + b)2 = 2304 y a2 + b2 = 1250
c) Sea k = 100.a + b un número natural, probar que 7k ⇔ 72.a + b
d) Para qué valores de n:
i. n - 22n
ii.
nn – 1
iii. n - 1n + 1
iv. n2 - 1n – 1
v. nn + 3
vi. n - 2n + 2
vii.
n n2 – 4