Guías de práctico

Guı́as de Trabajos Prácticos
Electromagnetismo I
S. Dain, G. Raggio y O. Reula
1º cuatrimestre 2010
Guı́a 0
Tema: Repaso de Cálculo vectorial.
Los problemas con ilustran las hipótesis de algunos resultados importantes y pueden ser omitidos sin mayores
perjuicios.
Problema 1: ¿Cuales de los siguientes campos vectoriales son libres de fuentes y cuales libres de vortices?
a) A(x) = (2x1 − 2x2 , −2x1 + 4x2 − 3x3 , −3x2 + 6x3 )
b) A(x) = (a ∧ x)/r3 ; a constante y r :=k x k.
c) A(x) = a/(R + α); a y r como en b) y α > 0.
Problema 2: Describa el campo vectorial
v(x) :=
a∧x
,
(a ∧ x)(a ∧ x)
a constante ,
y calcule su divergencia y rotación. ¿En que región hay un potencial para v y cual es?
Problema 3: Verifique las relaciones: div (φu) = φ div u + u · ∇φ; rot (φu) = φrot u + (∇φ) ∧ u; div (u ∧ v) =
v·rot u−u·rot v; rot (u∧v) = v·∇u−u·∇v+(div v)u−(div u)v; y ∇(u·v) = u·∇v+v·∇u+u∧(rot v)+v∧(rot u).
Problema 4: Calcule div v y las componentes de rot v en coordenadas esféricas.
Problema 5: Determine la soluciónP
general de la ecuación de Laplace ∆ψ = 0 en R3 donde ψ es polinomial de
orden 3 o menos. O sea ψ(x, y, z) = 3j,k,ℓ=0 cj,k,ℓ xj y k z ℓ donde la suma es sobre ı́ndices j, k, ℓ con j + k + ℓ ≤ 3.
Problema 6: El campo vectorial K(x, y, z) = (4xyz, 2x2 z+2yz 2, 2x2 y+2y 2 z+4z 3) definido en R3 es irrotacional
(verifiquelo). Determine el potencial general para este campo.
Problema R7: Demuestre que si B ⊂ R3 es cerrado y acotado con borde suave ∂B entonces el volumen de B es
igual a 3−1 ∂B x · dσ.
Problema 8: Use problema anterior y la representación paramétrica del toro dada por (a > b > 0)
x := (a + b cos(τ )) cos(α) , y := (a + b cos(τ )) sin(α) , z := b sin(τ ) ,
0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ τ ≤ 2π, para calcular el volumen del toro.
Problema 9: Muestre con ejemplos que v = ∇φ, respectivamente v = rot a no son las soluciones generales
de rot v = 0, respectivamente div v = 0, si v no tiende a 0 cuando r =k x k → ∞.
Problema 10: En la región D := {x ∈ R3 : a < kxk < b} considere el campo vectorial A(x) = x/r3 ,
r := kxk. Verifique que este campo es solenoidal, i.e., div A = 0, pero no existe un campo vectorial B tal que
A = rot B.
Sugerencia: Considere la superficie esférica SR := {x ∈ D : r = R}, a < R < b, a la cual se le quita un casquete
{x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ SR : x3 ≥ h}, 0 < h < R, de modo que la superficie adquiere como borde a la circunferencia
Ch = {x ∈ SR : x3 = h}. LLamando ER,h a esta superficie bordeada y suponiendo la existencia del campo B,
use el Teorema de Stokes
Z
Z
Z
B · ds ,
(rot B) · df =
A · df =
ER,h
ER,h
Ch
y pase al lı́mite h → R. Tenga en cuenta que
Z
B · ds| ≤ máx (kB(yk) × longitud de Ch .
|
Ch
y∈Ch
Problema 11: Dado un producto escalar h· , ·i sobre un espacio vectorial real o complejo V , demuestre la
desigualdad de Cauchy-Schwarz
|hf, gi| ≤ kf k kgk , f, g ∈ V ,
y que hay igualdad si y sólo si f y g son linealmente dependientes.
Guı́a 1
Tema: Ecuaciones de Maxwell. Formulación de valores iniciales. Energı́a y momento del campo electromagnético. Simetrı́as.
Problema 1: Sea u : R3 → R. Definimos el promedio esférico de f como
Z
1
Mt (u)(x) =
u(x + tξ) dSξ .
4π |ξ|=1
(1)
Demostrar que si u es una función armónica (es decir ∆u = 0) entonces u satisface la siguiente ecuación
u(x) = Mt (u)(x),
para todo t. Este resultado se conoce como el teorema del valor medio para funciones armónicas Ayuda: utilizar
la fórmula para la derivada ∂t Mt (u) calculada en el teórico.
Problema 2: Utilice el resultado anterior para probar que si u es armónica en R3 y además u satisface la
siguiente desigualdad
C
,
(2)
|u(x)| ≤
(1 + |x|)α
en R3 , para algunas constantes positivas C y α, entonces u = 0. Notar que la desigualdad (2) implica que u → 0
cuando |x| → ∞. Comparar este resultado con el problema 5 de la Guı́a 0.
Problema 3: Demostrar la unicidad de la solución de la ecuación de ondas. Es decir, demostrar el siguiente
resultado: si u1 y u2 son soluciones de la ecuación de ondas
∂2u
− ∆u = 0,
∂t2
(3)
tal que
u1 (0, x) = u2 (0, x),
∂t u1 (0, x) = ∂t u2 (0, x),
(4)
y tal que la diferencia decae en infinito suficientemente rápido, entonces u1 = u2 . Ayuda: probar primer que la
siguiente energı́a es conservada
Z
1
(∂t u)2 + ∇u · ∇u dV
(5)
E(t) =
R3 2
Problema 4: Repita la demostración del resultado del problema anterior para la ecuación de Klein-Gordon
∂2u
− ∆u + m2 u = 0,
∂t2
donde m es una constante arbitraria. ¿Cuál es la energı́a apropiada en este caso?
(6)
Problema 5: Considere el siguiente sistema de ecuaciones
~
∂H
~ = 0,
− i∇ ∧ H
∂t
(7)
~ es un campo vectorial y i es la unidad imaginaria (i2 = −1). Demostrar que:
donde H
~ satisface la ecuación de ondas.
~
a) Y = ∂t H
~ = 0 entonces ∇ · H
~ = 0 para todo tiempo.
b) Si inicialmente tenemos ∇ · H
¿Qué sucede si en la ecuación (7) no ponemos i en el segundo término?
Problema 6: La energı́a totales de un campo electromagnético está dada por
Z
1
(E · E + B · B) d3 x.
E=
8π R3
(8)
Demuestre que si los campos decaen suficientemente rápido en infinito y además J = 0 entonces
dE
= 0.
dt
Problema 7: Considere un vector unitario e ∈ R3 y la aplicación R(e, φ) definida en R3 por
R(e, φ)r = (e · r)e + cos(φ) [r − (e · r)e] + sin(φ)e ∧ r , r ∈ R3 ,
donde φ es un real arbitrario.
(9)
Convenzase que R(e, φ) corresponde a una rotación alrededor del eje (dirigido) que contiene a e, por un
ángulo φ (en radianes) en el sentido anti-horario convencional respecto del plano ortogonal a e.
Verifique explicitamente la relación
R(e, φ1 ) ◦ R(e, φ2 ) = R(e, φ1 + φ2 )
que es geometricamente evidente.
Demuestre que
dR(e, φ)
dR(e, φ)
R(e, φ) ,
=
dφ
dφ
φ=0
y que la solución de esta ecuación diferencial es
(
R(e, φ) = exp φ
dR(e, φ)
dφ
φ=0
)
;
y por lo tanto, si escribimos R(e, φ) = exp(φL), el generador L es el operador lineal de tomar el producto
vectorial con la dirección del eje de rotacion:
Lr = e ∧ r .
Determine la matriz asociada con R(e, φ) eligiendo la base cartesiana canónica y verifique que es ortogonal.
3
Guı́a 2
Tema: Distribuciones. La delta de Dirac. Distribuciones de cargas.
Problema 1: Verifique que la función
(
0 n
fa (x) :=
−1
+
exp x+a
−1
x−a
o ,
,
si |x| ≥ |a|
si |x| < |a|
, x∈R,
es tantas veces diferenciable como se quiera y tiene soporte compacto.
Problema 2: Para x ∈ Rd , y un natural n considere la función
d/2
un (x) := (n/π)
exp{−nkxk2} ,
donde k · k denota la norma euclidea usual en Rd . Si
Z
un (x)f (x)dd x ,
ℓn (f ) :=
Rd
para funciones f infinitamente diferenciables y de soporte compacto, demuestre que lı́mn→∞ ℓn (f ) = f (0).
Problema 3: Para n natural considere
ξn (x) =
sin(nx)
, x 6= 0 ,
πx
y ξn (0) = n/π, de manera que ξn es continua. Demuestre que
Z
ξn (x)f (x)dx = f (0)
lı́m
n→∞
R
para funciones f infinitas veces diferenciables de soporte compacto.
Problema 4: Muestre la identidad (en el sentido de distribuciones)
g(x)δ(x) = g(0)δ(x)
para una función g.
Problema 5: Demostrar las siguientes indentidad
Z
Z
δ(g(x))f (g(x))|g ′ (x)|dx =
R
δ(u)f (u)du,
(10)
g(R)
donde g es una función continuamente diferenciable cuya derivada g ′ no se anula nunca. Usando esta identidad,
demostrar que
X δ(x − x0 )
,
(11)
δ(g(x)) =
|g ′ (xi )|
i
donde xi son los ceros de g(x). De esta identidad demostrar que en particular tenemos
δ(x2 − α2 ) =
1
[δ(x + α) − δ(x − α)] .
2|α|
(12)
Problema 6: La función delta de Dirac en tres dimensiones puede ser considerada como el lı́mite impropio
α → 0 tha la función Gaussiana
1
2
2
2
−3/2 −2
(13)
D(α; x, y, z) = (2π)
α exp − 2 (x + y + z ) .
2α
Considere un sustema de coordenadas ortogonal general espesificado por las superficies u = const., v = const.,
w = const., con elementos de lı́nea du/U , dv/V y dw/W en las tres direcciones perpendiculares. Probar que
δ(x − x′ ) = δ(u − u′ )δ(v − v ′ )δ(w − w) · U V W
(14)
considerando el lı́mite de la Gaussiana mencionada arriba. Notar que cuando α → 0 sólo las longitudes infinitecimales son necesarias para calcular las distancias en el exponente.
Problema 7: Utilizando la delta de Dirac en coordenadas apropiadas, exprese las siguientes distribuciones de
carga como distribuciones de carga 3-dimensionales ρ(x):
a) En coordenadas esféricas, una carga Q distribuida uniformemente en una cáscara de radio R.
b) En coordenadas cilı́ndricas, una carga λ por unidad de longitud distribuida uniformemente sobre una superficie cilı́ndrica de radio b.
c) En coordenadas cilı́ndricas, una carga Q distribuida uniformemente sobre un disco plano circular, de espesor
despreciable, de radio R.
d) Lo mismo que en la parte c) pero usando coordenadas esféricas.
Problema 8: Una carga lineal de longitud 2d con carga total Q tiene una densidad de carga que varı́a como
(d2 − z 2 ), donde z es la distancia al punto medio. Encuentre la distribución de cargas en términos de funciones
delta de Dirac en coordenadas cilı́ndricas y esféricas.
5
Guı́a 3
Tema: Electrostástica: propiedades generales, ley de Gauss, conductores.
Problema 1: Utilice el teorema de Gauss para demostrar las siguientes proposiciones:
a) Cualquier exceso de carga puesto sobre un conductor deberá estar sobre la superficie.
b) Un conductor hueco cerrado apantalla el interior de los campos debidos a cargas exteriores, pero no
apantalla el exterior de los campos debidos a cargas colocadas en su interior.
c) El campo eléctrico junto a la superficie de un conductor es normal a dicha superficie, y su módulo vale
4πσ, donde σ es la densidad de carga sobre la superficie.
Problema 2: Utilizando la identidad de Green demostrar:
Si ∆Φ = 0 en R3 y Φ → 0 en infinito entonces Φ = 0. Comparar con el problema 2 de la Guı́a 1.
Un campo electrostático que decae en infinito y que es producido por una fuente localizada de cargas tiene
necesariamente energı́a total finita.
Problema 3: El potencial electrostático de un átomo de hidrógeno en el estado fundamental está dado por
r
e−2r/a0
1+
(15)
Φ=q
r
a0
donde q es la carga elemental y a0 es el radio de Bohr. Calcule y discuta la distribución de cargas. Verifique
directamente y además con el teorema de Gauss que la carga total es nula.
Problema 4: Dos láminas planas infinitas conductoras de espesor uniforme, t1 y t2 respectivamente, se colocan
paralelamente una a la otra con sus caras adyacentes separadas por una distancia L. La primera lámina tiene
una carga total por unidad de área (suma de las densidades superficiales de carga de cada lado) igual a q1 y la
segunda igual a q2 .
i) Use argumentos de simetrı́a y la ley de Gauss para demostrar:
a) Las densidades superficiales de carga sobre las caras adyacentes son iguales y opuestas
b) Las densidades en las caras exteriores en ambas láminas son iguales.
c) Los módulos de las densidades de carga y los campos producidos son independientes de t1 , t2 y L.
ii) Obtenga las densidades y los campos para el caso en que q1 = −q2 = Q.
Problema 5: Sea una superficie conductora esférica de radio a unida por un conductor fino a otra esfera
conductora de radio b (a > b). Suponiendo que las esferas están cargadas con carga Q y suficientemente alejadas
como para despreciar la influencia de una sobre la otra, calcule:
a) El campo sobre la superficie de cada esfera.
b) La carga sobre cada una de las esferas.
Problema 6: a) Demuestre que en la superficie de un conductor cargado, la derivada normal del campo eléctrico
está dada por
1
1
1 ∂E
(16)
+
=−
E ∂n
R1
R2
donde R1 y R2 son los radios principales de curvatura de la superficie.
b) Utilice el resultado anterior para analizar el efecto de las puntas.
Problema 7: Tres esferas de radio a, una conductora, otra que posee una densidad de carga uniforme en su
volumen y otra provista de una densidad de carga con simetrı́a esférica que varı́a como rn , con n > −3, poseen
una carga total Q.
a) Use el teorema de Gauss para obtener los campos eléctricos tanto en el interior como en el exterior de cada
esfera.
b) Calcule el potencial tanto en el interior como en el exterior de cada esfera.
c) Represente gráficamente el comportamiento de los campos y el potencial en función de r para las primeras
dos esferas y para la tercera en los casos en que n = −2 y n = 2 para la tercera esfera.
Problema 8: Un condensador simple es un dispositivo constituido por dos conductores aislados colocados uno
junto a otro. Si colocamos sobre ellos cargas iguales y opuestas, habrá una cierta diferencia de potencial entre
los conductores. El cociente entre la carga de un conductor y la diferencia de potencial recibe el nombre de
capacidad. Haciendo uso de la ley de Gauss calcule la capacidad de:
a) Dos láminas planas y paralelas de gran área A separadas por una distancia d.
b) Dos esferas concéntricas conductoras de radios a y b (b > a).
c) Dos cilindros concéntricos de longitud L, donde L es grande frente a ambos radios a y b (b > a).
Problema 9: Dos conductores cilı́ndricos, muy largos, de radios a1 y a2 son paralelos y separados por una
distancia d que es grande comparadas con los radios. Demuestre que la capacidad por unidad de longitud
está dada aproximadamente por
−1
1
d
.
(17)
C≈
log √
4
a1 a2
Suponga que la densidad de carga es uniforme.
Problema 10: Un volumen V en vacı́o está limitado por una superficie S que consiste en varias superficies
conductoras Si . Un conductor es mantenido a potencial unidad y todos los otros a potencial cero.
a) Demostrar que la capacidad del conductor a potencial unidad está dada por
Z
1
C=
|∇Φ|2 d3 x.
(18)
4π V
b) Mostrar que la capacidad es siempre menor o igual que la siguiente cantidad
Z
1
|∇Ψ|2 d3 x,
C[Ψ] =
4π V
(19)
donde Ψ es cualquier función de prueba que satisface las condiciones de borde sobre los conductores. Esto
corresponde a la formulación variacional de la capacitancia.
7
Guı́a 4
Tema: Electrostática: método de las imágenes.
Problema 1: Un plano conductor infinito es mantenido a potencial nulo. Una carga puntual q se encuentra a
una distancia d del plano. Usando el método de las imágenes, determine:
a) La densidad superficial de carga inducida en el plano.
b) La fuerza entre el plano y la carga por medio de la fuerza entre la carga y la imagen.
c) El trabajo necesario para llevar la carga q desde su posición al infinito.
d) La energı́a potencial entre la carga q y la imagen (compare con el item anterior).
Problema 2: Una esfera conductora hueca de radio a y conectada a tierra encierra una carga puntual q en su
interior. Determine: el potencial en el interior de la esfera; la densidad de carga superficial inducida; y módulo
y dirección de la fuerza que actua sobre q.
Problema 3: Considere el problema del potencial en el semiespacio {r : z ≥ 0} con condiciones de contorno
de Dirichlet en el plano {r : z = 0}.
a) Determine la función de Green del problema.
b) En el cı́rculo {r : x2 + y 2 = a2 , z = 0} el potencial es V y en el resto del plano que contiene al cı́rculo el
potencial es nulo. Determine una fórmula integral para el potencial en un punto arbitrario expresado en
términos de coordenadas cilı́ndricas.
c) Demuestre que sobre el eje del cilindro, Φ(ρ, φ, z) = V (1 − z(a2 + z 2 )−1 ).
Problema 4: Considere un cubo conductor hueco de lado a en el cual dos de sus caras opuestas se mantienen
a un potencial constante V y las demas cuatro caras a potencial nulo.
a) Encuentre el potencial en el interior del cubo.
b) Determine la densidad de carga superficial en las superficies a potencial constante V .
c) Calcule numericamente el potencial en el centro del cubo con tres cifras significativas. ¿Cuantos términos
de la serie son necesarios para obtener esta precisión?
Problema 5: Un cilindro circular recto de radio a y altura L tiene sus tapas circulares a potencial cero mientras
que sobre su superficie el potencial esta dado por V (φ, z) (en coordenadas cilindricas (ρ, φ, z) donde z coincide
con el eje). Determine el potencial en el interior del cilindro.
Guı́a 5
Tema:Electrostática: problemas con condiciones de contorno.
Problema 1: Considere una cáscara conductora hueca de radio b mantenida a potencial cero, en cuyo interior
se ubica un anillo concéntrico de radio a (con a < b) con carga uniforme Q. Determine el potencial en el interior
de la cáscara utilizando la función de Green.
Problema 2: Considere un cilindro de radio a y longitud L. La tapa superior del cilindro está a potencial
V (θ, Φ) y el resto del cilindro a potencial cero. Encuentre el potencial en el interior del cilindro.
Problema 3: Considere dos esferas concéntricas de radios a y b (b > a) cada una dividida en dos hemisferios
por el mismo plano horizontal. El hemisferio superior de la esfera interna y el hemisferio inferior de la esfera
exterior están a potencial V . Los otros hemisferios están a potencial cero.
Determine el potencial en la región a ≤ r ≤ b como una serie de polinomios de Legendre. Incluya términos de
order l = 4. Verifique que la solución obtenida reproduce los resultados conocidos en los lı́mites b → ∞ y a → 0.
Problema 4: Una superficie esférica de radio R tiene carga uniformemente distribuida sobre su superficie con
una densidad de Q/4πR2, excepto por una sección esférica en el polo norte, definida por un cono de ángulo
θ = α.
a) Muestre que el potencial dentro de la superficie esférica puede ser expresado como
∞
Φ=
rl
QX 1
[Pl+1 (cos α) − Pl−1 (cos α)] l+1 Pl (cos θ),
2
2l + 1
R
(20)
l=0
donde para l = 0 definimos Pl−1 (cos α) = −1. ¿Cuánto vale el potencial afuera de la cáscara?
b) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en el origen.
c) Discuta los lı́mites del potencial (20) y el campo eléctrico encontrado en b) en los siguientes lı́mites: (i) la
sección esférica es muy pequeña, (ii) la sección esférica es muy grande, de tal manera que la región cargada es
ahora una pequeña reguión esférica rodeando el polo sur.
Problema 5: Una cáscara hueca de radio R tiene un potencial V (θ, φ) especificado en su superficie. Probar la
equivalencia de estas dos formas del potencial en el interior de la cáscara:
Z
V (θ′ , φ′ )
a(a2 − r2 )
dΩ′
(21)
Φ=
4π
(r2 + a2 − 2ar cos γ)1/2
donde cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(φ − φ′ ); y
Φ=
∞ m=l
X
X
l=0 m=−l
donde Alm =
R
Alm
r l
a
Ylm (θ, φ),
(22)
∗
dΩ′ Ylm
(θ′ , φ′ )V (θ′ , φ′ ).
Problema 6: Dos cargas puntuales q y −q están localizadas en el eje z en z = a y z = −a respectivamente.
a) Encuentre el potencial electrostático como una expansión de armónicos esféricos y potencias de r para r > a
y r < a.
b) Manteniendo el producto qa ≡ p/2 constante, tome el lı́mite a → 0 y encuentre el potencial para r 6= 0. Este
es, por definición, un dipolo ubicado a lo largo del eje z y su correspondiente potencial.
c) Suponga que el dipolo de la parte b) está rodeado por una una cáscara esférica, concéntrica con el origen,
conectada a tierra de radio b. Utilizando superposición lineal encuentre el potencial en todo punto interior a la
cáscara.
Problema 7: Tres cargas puntuales (q, −2q, q) están ubicadas en lı́nea recta a una separación a, y la carga 2q
está ubicada en el origen de una cáscara conductora conectada a tierra de radio b.
a) Escriba el potencial de las tres cargas puntuales en ausencia de la esfera conductora. Encuentre la forma
lı́mite del potencial cuando a → 0 pero manteniendo el producto qaa = Q finito. Escriba este potencial en
coordenadas esféricas.
b) La presencia de la esfera conductora de radio b altera el potencial para r < b. El potencial sumado puede ser
descripto como producido por la densidad de carga superficial inducida en la superficie interna r = b o también
como el producido por cargas imágenes ubicadas en la región r > b. Use la superposición lineal para satisfacer
las condiciones de borde y encuentre el potencial en todas partes dentro de la esfera para r < a y r > a. Muestre
que en el lı́mite a → 0 se obtiene
Q
r5
Φ(r, θ, φ) →
1 − 5 P2 (cos θ).
(23)
2πǫ0 r3
b
Problema 8: Resuelva el problema 3 usando la función de Green apropiada y verifique que se obtiene la misma
solución.
Problema 9: Una carga lineal de longitud 2d con carga total Q tiene una densidad de carga que varı́a como
(d2 − z 2 ), donde z es la distancia al punto medio. Una cáscara esférica conductora conectada a tierra de radio
b > d se ubica centrada en el punto medio de esta distribución lineal de carga.
a) Encuentre el potencial en el interior de la cáscara esférica utilizando una expansión de polinomios de Legendre.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en la cáscara.
c) Discuta las respuestas a) y b) en el lı́mite d << b.
10
Guı́a 6
Tema: Expansiones multipolares en electrostática.
Problema 1: Tomando derivadas de la función 1/r demuestre que la siguiente serie de funciones son soluciones
de la ecuación de Laplace para r 6= 0
xi
δij
3xj xi
,
−
,
(24)
r3
r3
r5
3xj δik
3xi δkj
15xj xi xk
3xk δij
−
−
+
.
(25)
5
5
5
r
r
r
r7
Calcule la función siguiente en esta serie.
Relacione este resultado con la expansión multipolar del potencial en electrostática.
Problema 2: Calcule los momentos multipolares qlm de las siguientes distribuciones de carga. Trate de obtener
resultados para los momentos no nulos para todo l, pero en todos los casos encuentre al menos los dos primeros
momentos no nulos.
c) Para la distribución de cargas b) escriba la expansion multipolar del potencial . Manteniendo sólo los términos
de menor orden en esta expansión, grafique el potencial en el plano x − y como función de la distancia al origen
para distancias mayores que a.
d) Calcule directamente de la ley de Coulomb el potencial exacto para b) en el plano x − y. Dibújelo como
función de la distancia y compare con el resultado encontrado en c).
Explicite la forma asintótica en las partes c) y d) para ver con más claridad el potencial a distancias grandes.
Problema 3: Un dipolo puntual de momento p está ubicado en el punto x0 . De las propiedades de las derivadas
de la delta de Dirac demuestre que para los cálculos del potencial Φ del dipolo o de la energı́a de un dipolo en
un campo externo, el dipolo puede ser descripto como la densidad de carga efectiva dada por
˙
ρef e (x) = −p∇δ(x
− x0 ).
(26)
Problema 4: a) Probar el siguiente teorema: para una distribución arbitraria ρ(x) los valores de los (2l + 1)
momentos del primer momento multipolar no nulo son independientes del origen de coordenadas, pero los
valores de los momentos multipolares de órdenes más altos son dependientes del origen de coordenadas. (Nota:
los distintos qlm para l fijo dependen, por supuesto, de la orientación de los ejes).
b) Una distribución de cargas tiene momentos multipolares q, p, Qij , . . . con respecto a un sistema de coordenadas
y momentos q ′ , p′ , Q′ij , . . . con respecto a otro que tiene ejes paralelos al primero pero cuyo origen está ubicado
en el punto R = (X, Y, Z) relativo al primero. Determine explı́citamente las relaciones entre el monopolo, el
dipolo y el cuadrupolo en los dos sistemas de coordenadas.
c) Si q 6= 0, ¿podemos encontrar R tal que p′ = 0?. Si q 6= 0, p 6= 0 (o, sólo p 6= 0, ¿podemos encontrar R tal
que Q′ij = 0?
Problema 5: Una densidad de carga localizada ρ(x, y, x) se ubica en un campo electrostático externo descripto
por un potencial Φ(0) (x, y, z). El potencial varı́a poco en la región donde la densidad de carga es diferente de
cero.
a) Calcule, de primeros principios, la fuerza total que actúa sobre la densidad de carga como una expansión en
momentos multipolares multiplicada por derivadas del campo eléctrico. Muestre que la fuerza está dada por


(0)

 1X
n
o
(x)
∂E
j
···
(27)
Qjk
F = qE (0) (0) + ∇(p · E (0) (x)) + ∇
 6
∂xk 
0
j,k
0
Compare esta expansion con la expansión de la energı́a W en momentos multipolares. Notar que la expansión
de la energı́a es un número, no una función de x que puede ser diferenciada. ¿Cuál es la conexión con F ?
b) Repita el cálculo de la parte a) para el torque total. Por simplicidad evalúe sólo una componente Cartesiana
del torque, digamos N1 . Muestre que esta componente está dada por





i
h
X
X
1
∂ 
∂ 
(0)
(0)
N1 = p × E (0) + 
(28)
Q2j Ej  −
Q3j Ej  · · ·
3 ∂x3
∂x
1
2
j
j
0
Problema 6: Un núcleo con momento cuadrupolar Q está ubicado en un campo eléctrico con simetrı́a cilı́ndrica
con gradiente (∂Ez /∂z)0 a lo largo del eje z en la posición del núcleo.
Muestre que la energı́a de la interacción cuadrupolar es
e
∂Ez
W =− Q
(29)
4
∂z 0
Problema 7: Una distribución localizada de cargas tiene la siguiente densidad de carga
ρ(r) =
1 2 −r 2
r e sin θ.
64π
(30)
a) Realize una expansión multipolar del potencial debida a esta densidad de carga y calcule todos los momentos
multipolares no nulos. Escriba el potencial a distancias grandes como una expansión finita de polinomios de
Legendre.
b) Determine el potencial explı́citamente en todo punto del espacio y demuestre que cerca del orı́gen está dado
por
1
1
r2
Φ(r) =
−
P2 (cos θ) .
(31)
4πǫ0 4 120
12
Guı́a 7
Tema: Dieléctricos.
Problema 1: Una cáscara cilı́ndrica muy larga de material dieléctrico con constante ǫ/ǫ0 y radio interior a y
exterior b, se ubica en un campo que era previamente constante E0 con su eje perpendicular al campo. El medio
dentro y fuera de la cáscara tiene constante dieléctrica uno.
a) Determine el potencial y el campo eléctrico en las tres regiones, despreciando el efecto de que el cilindro tiene
longitud finita.
b) Dibuje las lı́neas de fuerza para el caso tı́pico de b = 2a.
c) Discuta las formas lı́mites de la solución para un cilindro sólido dieléctrico en un campo uniforme y para una
cavidad cilı́ndrica en un dieléctrico uniforme.
Problema 2: Dos cáscaras conductoras, de radio interior a y exterior b, tienen cargas ±Q. Se llena la mitad del
espacio entre las cáscara con una cáscara dieléctrica (de constante dieléctrica ǫ/ǫ0 , como lo muestra la figura.
(a) Encuentre el campo en todas partes entre las cáscaras conductoras.
(b) Calcule la distribución superficial de carga en la cáscara conductora interior.
(c) Calcule la densidad de cargas de polarización inducida en la superficie del dieléctrico en r = a.
Problema 3: Un capacitor de placas paralelas y planas es llenado como se muestra en la figura, con dos
dieléctricos ǫ1 y ǫ2 . Para cada caso encontrar:
a) La capacidad
b) El campo eléctrico
c) Las distribucione superfiales de carga
d) La densidad de carga de polarización en la interface entre los dieléctricos.
ǫ1
ǫ1
ǫ2
ǫ2
Guı́a 8
Tema: Magnetostática: distribuciones de corriente y corrientes
Problema 1: Encuentre la distribución de corriente de un alambre circular por el que circula una corriente
constante.
Problema 2: Encuentre la distribución de corriente generada por una esfera de radio R que tiene una distribución uniforme de carga en su superficie y gira con velocidad angular constante ω
Problema 3: Encuentre la distribución de corriente generada por un disco de espesor despreciable de radio R
que tiene una distribución uniforme de carga en su superficie y gira con velocidad angular constante ω.
Problema 4: A distancias mucho mayores que el radio de la tierra, su campo magnético está bien descripto
por el campo dipolar
M∧r
B=∇∧
,
r3
donde M es constante y tiene la dirección del eje de rotación terraqueo, y r = |r|. Determine el ángulo que
forman B y la horizontal en función de la latitud.
Problema 5: Un campo magnético B es generado exclusivamente por una densidad de corriente estacionaria
j = je con e un vector constante de largo 1. Muestre que las lineas de campo están en los planos perpendiculares
al eje que contiene a e y están determinadas por una ecuación α = const. donde la función α no depende de la
coordenada a lo largo del eje mencionado.
Sugerencia: Hay un potencial vector A = αe donde α no depende de la coordenada a lo largo del eje que
contiene a e.
Problema 6: Muestre que el campo general B con simetrı́a axial puede escribirse como B = f (r, z)(∇ϕ) +
(∇ϕ) ∧ (∇ψ(r, z)) en coordenadas cilı́ndricas (r, ϕ, z).
Calcule las corrientes inducidas por este campo.
Guı́a 9
Tema: Magnetostática.
Problema 1: Se quiere obtener un campo magnético dipolar en el interior de una esfera de radio R que tiene
permeabilidad magnética del vacio. ¿Cuál debe ser la distribución de corriente sobre la superficie? Determine el
campo en el exterior de la esfera.
Problema 2: En el manto de un cilindro recto (e infinito) de radio R circula una corriente de densidad superficial
J ebϕ , con J constante (b
eϕ es el vector unidad en la dirección del ángulo asociado con coordenadas cilı́ndricas
con eje ‘z’ coincidente con el eje del cilindro).
1) Se quiere conocer la presión sobre el manto.
Para ello, considere una corriente en la región R ≤ r ≤ R + ǫ de densidad volumétrica Kb
eϕ con K constante, y:
a) Calcule el campo magnético en esta región (manto de ancho ǫ).
b) Determine la fuerza sobre un elemento de superficie ∆S del manto entre ϕ y ϕ + ∆ϕ (∆ϕ ≪ 1): ∆S =
R∆ϕ∆z, donde ∆z es la altura (longitud axial).
c) Calcule la presión y pase al lı́mite ǫ → 0, K → ∞ con J = Kǫ constante.
2) Aplique el resultado para estimar la presión sobre una espira de largo ℓ con n vueltas recorrida por una
corriente de magnitud I.
Problema 3: Considere una cáscara esférica de radio R. En el interior de la cáscara existe un campo magnático
de la forma
Bx = 2Qx, By = 2Qy, Bz = −4Qz,
(32)
donde Q es una constante y (x, y, z) son coordenadas Cartesianas centradas en el origen de la cáscara esférica.
a) Muestre que el campo magnético satisface las ecuaciones de Maxwell en el interior de la cáscara. Encuentre
el potencial magnético tal que B = −∇Φ.
b) Encuentre la distribución de corriente en la cáscara que produce este campo magnético en su interior.
Calcule el campo magnético en el exterior de la cáscara.
Problema 4: Complete los detalles de la sección 5.12 del libro de Jackson. A saber: considere una cáscara
esférica de radio interior a y radio exterior b de permeabilidad magnética µ inmersa en un campo constante y
uniforme de magnitud Bo . Determine la densidad de flujo magnético B. Analice el caso de gran permeabilidad
µ ≫ µo .
Problema 5: Un cilindro recto circular de radio a y conductor, tiene un agujero cilı́ndrico (circular y recto) de
radio b paralelo al eje del cilindro conductor a una distancia d del mismo (a > b + d). La densidad de corriente
fuera del agujero es uniforme y paralela al eje. Determine la densidad de flujo magnético en el agujero usando
la ley de Ampère y el principio de superposición.
Problema 6: Un imán permanente cilı́ndrico recto de longitud L y radio a tiene magnetización M constante
y uniforme paralela al eje de imán. Determine el campo magnético H y la inducción magnética B. Discuta el
comportamiento de las lineas de estos campos.
Problema 7: Un disco circular de radio R con carga total Q homogeneamente distribuida, rota con velocidad
angular ω alrededor de su centro. Determine el campo magnético generado:
a) Sobre el eje de rotación.
b) en general, pero aproximadamente para distancias grandes.
c) compare el resultado de a) con el de b).
Problema 8: Un cilindro circular de longitud finita L y radio a tiene N vueltas por unidad de longitud y lleva
una corriente I. Muestre que la inducción magnética en el eje del cilindro en el lı́mite N L → ∞ es
Bz =
µ0 N I
(cos θ1 + cos θ2 ),
2
(33)
donde los ángulos están definidos en la figura.
Problema 9: Un campo magnetoestático es producido completamente por una distribución localizada de
magnetización permanente.
a) Demostrar que
Z
B · H dV = 0
(34)
donde la integral es tomada en todo el espacio.
b) De la expresión para la energı́a potencial de un dipolo en un campo externo demuestre que para una
distribución continua de magnetización permanente el energı́a magnetostática puede ser escrita como
Z
Z
µ0
µ0
W =
H · H dV = −
M · H dV,
(35)
2
2
a menos de una constante aditiva, la cual es independiente de la orientación o la posición de los cuerpos
magnéticos.
Problema 10: Un cascarón esférico posee una densidad de carga uniforme σ0 . El cascarón gira alrededor del
eje z con velocidad angular constante ω. Calcule el potencial vector A y el campo magnético en todo el espacio.
16