Universidad Nacional Abierta Probabilidad (Cód. 747)

Segunda Prueba Parcial
Lapso 2015-2
747 – 1/3
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Probabilidad (Cód. 747)
Cód. Carrera: 508
Fecha: 23-01-2016
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 4 y 5
OBJ 4 PTA 1 De una bolsa que contiene diez (10) bolas, de las cuales cuatro (04) son blancas y seis
(06) son negras, se extrae una muestra de cuatro (04) bolas. Considere los eventos A : “la primera bola
es blanca” y B : “la tercera bola es blanca”.
(a) ¿Son independientes los eventos A y B? ¿Por qué?
(b) ¿Qué sucede con estos eventos si el muestreo se hace sin reposición?
SOLUCIÓN:
El espacio muestral viene dado por,
Ω = {bbbb, bbbn, bbnb, bnbb, nbbb, bbnn, nbbn, nnbb, bnbn, nbnb, bnnb, bnnn, nbnn, nnbn, nnnb, nnnn},
y los eventos
A = {la primera bola es blanca} = {b∗∗∗ :
∗
∈ {b, n}},
∗
B = {la tercera bola es blanca} = {bbb , nbb∗ , bnb∗ , nnb∗ :
∗
∗
A ∩ B = {la primera y tercera bola son blancas} = {bbb , bnb :
∗
∗
∈ {b, n}},
∈ {b, n}}.
Si el muestreo se realiza con reposición tenemos que,
4
,
10
6 4
4
·
= ,
10 10
10
6 4
16
·
=
.
10 10
100
P (A) =
P (B) =
4 4 4
4 6 4
6
·
·
+
·
·
+
10 10 10 10 10 10 10
4
P (A ∩ B) =
10
4
10
4
·
10
·
4
6
+
·
10 10
4
4
·
+
·
10 10
·
Por lo cual,
16
4 4
=
·
= P (A) · P (B),
100
10 10
los eventos A y B son independientes. Si el muestreo se realiza sin reposición tenemos que,
P (A ∩ B) =
4
,
10
4 3 2
4 6 3
6 4 3
6 5 4
4
P (B) =
· · +
· · +
· · +
· · = ,
10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8
10
4 6 3
2
4 3 2
· · +
· · = .
P (A ∩ B) =
10 9 8 10 9 8
15
P (A) =
Por lo cual,
P (A ∩ B) =
2
4 4
̸=
·
= P (A) · P (B),
15
10 10
los eventos A y B no son independientes.
Especialista: Prof. Federico J. Hernández Maggi
Área de Matemática
Validador: Profa. Carla De Pinho
Evaluadora: Profa. Florymar Robles
Segunda Prueba Parcial
OBJ 5 PTA 2
Lapso 2015-2
747 – 2/3
Sea X una variable aleatoria discreta, cuya función de probabilidad P esta dada por,
−5 −4
−3
−2 −1
0
1
2
k−2
4
6k 18k
P (X)
35 35
35
35 42 210
(a) Determine el valor de la constante k, y gráfique la función
X
1
2
3
1
k
4k
35 35 35
de probabilidad
5
1
35
P.
(b) Determine y gráfique la función de distribución de probabilidad de X.
SOLUCIÓN:
(a) Como P es una función de probabilidad, entonces
1=
5
∑
i=−5
P (X = i) =
1
2
k−2
4
6k 18k
1
k
4k
1
7 + 6k 6k 18k
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
35 35
35
35 42 210 35 35 35 35
35
42 210
=
84k + 42
,
210
de donde k = 2. Entonces,
X
P (X)
−5
1
35
−4
2
35
−3
0
−2
4
35
−1
10
35
0
6
35
1
1
35
2
2
35
3
8
35
5
1
35
(b) La función de distribución de probabilidad de X viene dada por,


0, si t < −5





1/35, si t ∈ [−5, −4)





3/35, si t ∈ [−4, −2)





7/35, si t ∈ [−2, −1)



17/35, si t ∈ [−1, 0)
.
FX (t) = P (X ≤ t) =

23/35,
si
t
∈
[0,
1)





24/35, si t ∈ [1, 2)





26/35, si t ∈ [2, 3)





34/35, si t ∈ [3, 5)




1, si t ≥ 5
Especialista: Prof. Federico J. Hernández Maggi
Área de Matemática
Validador: Profa. Carla De Pinho
Evaluadora: Profa. Florymar Robles
Segunda Prueba Parcial
Lapso 2015-2
747 – 3/3
OBJ 5 PTA 3 Al realizar un estudio sobre el gasto mensual promedio (Bs.) en material de oficina que
tienen las agencias del Banco Nuevo Latino, se observó que el mismo sigue a una distribución normal de
media de Bs. 41245,00 y desviación estándar de Bs. 5100,00.
(a) Si se asigna para cada agencia en el presupuesto del año 2016, una partida de Bs. 53995,00 mensuales
para material de oficina, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto mensual real no sobrepase lo
asignado en el presupuesto?
(b) ¿De cuanto debe ser la partida que se debe asignar en el presupuesto con el fin de que la probabilidad
de no sobrepasar el gasto mensual en material de oficina sea de solo 0,90?
SOLUCIÓN: Sea X el gasto mensual promedio (Bs.) en material de oficina que tienen las agencias del
Banco Nuevo Latino, entonces
X ∼ N (µ = 41245; σ = 5100).
(a)
(
P (X ≤ 53995) = P
X −µ
53995 − 41245
≤
σ
5100
(b) Como
(
0,90 = P (X ≤ x) = P
entonces
X −µ
x − 41245
≤
σ
5100
x − 41245
= 1,28
5100
=⇒
)
)
= P (Z ≤ 2,50) = 0,9938.
(
)
x − 41245
=P Z≤
,
51000
x = 47773,00.
FIN DEL MODELO.
Especialista: Prof. Federico J. Hernández Maggi
Área de Matemática
Validador: Profa. Carla De Pinho
Evaluadora: Profa. Florymar Robles