(1) en - Análisis Matemático 2

APUNTE TEÓRICO DE
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Profesora: Lic .Beatriz Fernández
Auxiliar docente: Guillermo Raúl Igne
Año: 2012
Apunte realizado por la Licenciada Beatriz Fernández y compilado por Guillermo
Raúl Igne.
Universidad Tecnológica Nacional
Regional Haedo
Análisis Matemático II
Ecuación Diferencial
Es una ecuación que contiene variables y sus derivadas o diferenciales.
Ej.
dy
= 2. ( x + y )
dx
y ′ = 2. ( x + y )
dy = 2( x + y ) dx
Ecuación diferencial ordinaria
Es aquella en la cual hay una única variable independiente relacionada con las
derivadas de la variable dependiente.
Ecuación diferencial de 1er orden
Expresión general: f ( x ; y ; y ′ ) = 0
Solución general: Es una relación funcional entre las variables, que contienen
un parámetro o constante arbitraria y debe satisfacer la ecuación diferencial.
ϕ ( x; y; c ) = 0
Solución particular: Se obtiene a partir de la solución general por una
determinación del parámetro
Ejemplo: Hallar todas las curvas tal que en cada punto (x ;y), la pendiente de la
tangente sea igual a la abscisa de x. Determinar la curva que pasa por el punto
(3 ;2)
Tg α = y ′ ⇒ y ′= x
Ecuación
diferencia l
⇒
x2
⇒ ∫ dy = ∫ x dx ⇒ y =
+c
Solución
general
2
9
5
x2 5
En (3;2 ) : 2 = + c ⇒ c = − ⇒ y =
− Solución
2
2
2
2
dy
=x
dx
part icular
En la gráfica vemos la familia de parábolas, donde la que más resalta
corresponde a la solución particular.
2
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Análisis Matemático II
Orden de la ecuación diferencial
Es el de la derivada de mayor orden
Ecuación diferencial de 2DO orden  exp resión
general f ( x; y; y ′; y ′′ ) = 0
 solución general ϕ ( x; y; c1 ; c 2 ) = 0
Ecuación diferencial de orden n
 exp resión general f (x; y; y ′; y ′′; y ′′′;..; y ( n ) ) =

 solución general ϕ ( x; y; c1 ; c 2 ; c 3 ;...; c n ) = 0
Formación de ecuaciones diferenciales
La ecuación ϕ ( x; y; c ) = 0 corresponde a una familia de curvas y tiene
asociada una ecuación diferencial que se obtiene derivando respecto de x, y
eliminando el parámetro entre las dos ecuaciones. Si la ecuación es
ϕ ( x; y; c1 ; c2 ; .... . c n ) se deriva n veces y se eliminan los n parámetros.
Ecuación diferencial a variables separables
Una ecuación diferencial de 1er orden la podemos expresar como f (x ;y ;y’)=0 o
f(x ;y) dx + g(x ;y) dy = 0. Pero en el caso especial en que la función f solo
depende de x, y la función g solo depende de y es decir: f(x) dx + g(y) dy =0 se
denomina a variables separadas. Pero si dichas funciones dependen de 2
variables, pero se pueden expresar como un producto de funciones que solo
dependen de una variable, entonces se denomina a variables separables, es
decir:
f1 ( x ).f2 (y ).dx + g1 ( x ).g2 (y ).dy = 0
Resolución:
f1 ( x )
g (y )
.dx = − 2
.dy
g1 ( x )
f2 (y )
f1 ( x )
g2 (y )
.
dx
+
c
=
−
∫ g1 ( x )
∫ f2 (y ) .dy
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Análisis Matemático II
Trayectorias ortogonales
Una trayectoria se dice ortogonal1 a una familia de curvas, cuando la curva que
la representa es normal a las curvas de la familia. Recordando que la condición
de perpendicularidad entre dos curvas es que las respectivas pendientes de la
tangentes en el punto de intersección sean reciprocas y opuestas.
Dada
F ( x ; y ; c ) = 0 Ecuación de la flia de curvas
↓ Derivar y eliminar el parámetro
ϕ (x; y; y ′ ) = 0 Ecuación diferencial de la flia de curvas
1
↓ Cambiar y' por y'

1
y
ϕ  x; y;-  = 0 Ecuación diferencial de tray. ortogonales a la flia de curvas

↓ Resolver la ecuación diferencial
f (x; y; c ) = 0 Ecuación de la flia de tray.ortogonales a la flia de curvas
En la gráfica vemos las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas que
pasan por el origen, estas familias son elipses con centro en el origen (Grafica
realizada con Mathematica)
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
A los 74 años Isaac Newton resolvió un problema que Leibnitz había propuesto a la comunidad matemática de Europa y
comento:”pienso constantemente en el problema y poco a poco se empiezan a aclarar las ideas”.El problema era encontrar las
trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica de curvas. Cuando Johann Bernoulli, amigo de Leibnitz, vio la solución exclamo:
“reconozco al león por su garra”
4
1
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Análisis Matemático II
Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1er orden
Son ecuaciones que pueden transformarse en ecuaciones a variables
separables mediante un cambio de variables
y
Son de la forma: y ′ = F   (1)
 x
Resolución:
z=
Se
efectúa
un
cambio
de
variables:
y
⇒ y = z. x ⇒ y ′ = z ′. x + z
x
Reemplazando en (1): z ′ . x + z = F ( z )
Se resuelve a variables separables
dz
dz
dx
dz
z ′ . x = F (z ) − z ⇒
=∫
⇒∫
+ C1 = Ln x
. x = F (z ) − z ⇒ ∫
dx
F (z ) − z
x
F (z ) − z
⇒ x =e
∫
dz
+C1
F ( z )− z
= e .e
C1
∫
dz
F ( z )− z 1
d (y / x )
∫
y
(
)
Re emplazando e = C; z = ⇒ x = C.e F y / x − y / x 1
x
C1
Ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden
Una ecuación diferencial de la forma: y ′ + y P( x ) = Q( x ) (1) en la cual la
variable dependiente y su derivada solo figuran con exponente uno se llama
lineal.
Si Q(x)=0 se denomina lineal homogénea (se resuelve a variables separables)
Si Q(x) ≠ 0 se denomina lineal no homogénea.
Resolución (Método de variación de los parámetros)
Consideramos la ecuación homogénea:
y ′ + y P( x) = 0 ⇒
dy
+ y P( x) = 0
dx
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⇒
dy
dy
= − y P (x ) ⇒
= − ∫ P ( x ) dx ⇒ Ln y = - ∫ P ( x ) dx + C1 ⇒
dx
y
− ∫ P ( x ) dx
∫ P ( x ) dx + C1
⇒ y = e1−4
.e C1
243 ⇒ y = e
Siempre
po sitivo
y = C .e − ∫ P ( x ) dx
1442443
Llamamos C = e C1 ⇒
Solucion general de la homogénea
Este método consiste en considerar variable el parámetro C, es decir proponer
la solución de la ecuación (1) de la siguiente forma:
− P( x ) x
y = v ( x ).e ∫
Llamamos u(x ) = e
⇒ y = u( x ).v ( x ) (2)
Debemos obtener v(x) sabiendo que si (2) es solución de la ecuación
diferencial debe satisfacerla. Derivamos y reemplazamos en (1):
y’=u’(x).v(x)+u(x).v’(x) entonces en (1)
u’(x).v(x)+u(x).v’(x)+P(x).u(x).v(x)=Q(x)
−∫ P ( x ) d x
Sacamos v(x) como factor común:
v(x).[u’(x)+P(x).u(x)]+u(x).v’(x)=Q(x)
Comparando el corchete con la ecuación considerada homogénea, vemos que
dicho corchete se hace cero por ser u(x) una solución particular de la
homogénea (si c=1)
Entonces nos queda:
u ( x ).v ′ ( x ) = Q ( x ) ⇒ u ( x ).
⇒
− P ( x ) dx
dv
Q (x )
= Q ( x ) ⇒ dv =
.dx pero u (x ) = e ∫
dx
u (x )
∫ P ( x ) dx dx ⇒ v (x ) = Q ( x ). e ∫ P ( x ) dx dx + C
∫
∫ dv = ∫ Q ( x ). e ∫
Reemplazando en (2)
− P ( x ) dx 
P ( x ) dx
y =e ∫
Q( x ).e ∫
dx + C


Solución general
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Ecuación de Bernoulli
Una de las ecuaciones diferenciales fácilmente reducibles a lineal es la llamada
ecuación de Jacques Bernoulli 2. Su diferencia con la lineal es que en el 2do
miembro aparece el factor: yn
Es de la forma: y ′ + y P( x ) = y n Q( x ) con n ≠ 0; n ≠ 1
Si n=0 es una lineal, si n=1 es a variables separables.
Resolución
Se divide por yn : y ′ . y − n + y 1 − n . P( x ) = Q( x ) (1)
Se utiliza el cambio de variables: z = y 1 − n ⇒ z ′ = (1 − n ).y − n .y ′
Reemplazo en (1) :
z′
+ z . P( x ) = Q( x ) lineal en z
1− n
Ecuación diferencial lineal a coeficientes constantes de 2do orden y
homogéneas
Responde a la expresión: a0 y ′ ′ + a1 y ′ + a2 y = 0 (1) con a0 ≠ 0
Propiedad: Si y1 e y2 son soluciones particulares de (1) si satisfacen la
condición W ≠ 0 , entonces: y=C1.y1+C2.y2 es la solución general de la ecuación
(1)
W: Wronskiano o determinante de Wrónski3 W=
y1
y2
y 1′
y 2′
Resolución
Ensayamos la solución y= er x y vemos si satisface la ecuación, derivamos:
y’=r.er x
; y ’’=r2 er x , reemplazamos en la ecuación
2
La familia Bernoulli, de Basilea, Suiza, produjo 8 matemáticos importantes en tres generaciones. Los dos primeros en dedicarse a la
matemática fueron los hermanos Jacob (1654-1705) y Johann(1667-1748). Eran amigos de Leibnitz y fueron promotores entusiastas de
su versión del cálculo infinitesimal. Johann fue contratado como docente por el marqués Guillaume Francois Antoine L´Hopital, quien
publico sus enseñanzas en un libro que figuraba como autor. El libro contiene una regla muy conocida como ”Regla de L’Hopital. Al morir
el marqués , Johann reivindicó su partenidad de la regla que sigue llevando el nombre del plagiario
3
Józef M. Hoene Wrónski (1776-1853) fue un matemático y filosofo polaco. También se dedico a la física y economía.
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2 rx
rx
rx
0
1
2
a r e + a r e + a e = 0 ⇒ er x (a0 r 2 + a1r + a2 ) = 0
Como er x nunca es cero, entonces debe ser 0 el paréntesis, es decir que r debe
satisfacer la ecuación cuadrática: a0 r 2 + a1 r + a2 = 0 que se denomina
ecuación característica asociada a a0 y ′ ′ + a1 y ′ + a2 y = 0 , resolviendo la
ecuación característica encontramos dos valores de r que son las raíces de la
ecuación y que las expresamos como r1 y r2. Tenemos 3 posibilidades.
1) Reales y distintas: r1 ≠ r2
Las dos soluciones serán y 1 = e r x ; y 2 = e r x , como el W ≠ 0 entonces la
solución general de (1) será :
1
2
y = C1 e r
1 x
+ C2e r
x
2
2) Reales e iguales : r1 = r2
Las dos soluciones serán iguales y 1 = y 2 = e r x ⇒ W = 0 . Proponemos
y 2 = x . e r x para que W ≠ 0 ,probamos si satisface la ecuación
1
1
y 2′ = e r1 x + r1 xe r1 x
y 2′ ′ = r1 e r1 x + r1 e r1 x + x r1 e r1 x = 2 r1 e r1 x + x r1 e r1 x
2
2
Reemplazan do en (1 ) y sacando e r1 x como factor común
(
[x (a r
)
e r1 x . 2 a 0 r1 + xa 0 r1 + a1 + a1 x r1 + a 2 x = 0
e r1 x
0 1
2
2
)
]
+ a1 r1 + a 2 + (2 a 0 r1 + a1 ) = 0
El primer paréntesis es igual a 0, pues r1 es raíz de la ecuación característica y
el segundo también es 0 por ser la derivada de una ecuación con raíces dobles,
entonces y 2 = x e r x también es solución de (1). La solución general será:
1
y = C1 e r
1
x
+ C 2 xe r
1
x
3) Complejas conjugadas: r1 = α + βi ; r2 = α − βi
En este caso las soluciones serán y 1 = e ( α + βi ) x ; y 2 = e ( α − βi ) x
(
El W ≠ 0 , entonces la solución general: y = C1 . e (α + βi ) x + C2 e
Aplicamos la formula de Euler
α − βi ) x
(1)
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e βix = Cosβ x + i Sen βx ; e - β ix = Cos βx - i Sen β x
A (1) la expresamos : y = C1 .e α x .e β x i + C2 .e α x .e − β x i
y = e α x .(C1 .e β x i + C2 .e − β x i )
Reemplazando : y = e α x .[C1 .(Cosβx + i Sen βx ) + C2 .(Cos βx - i Sen β x )]


y = e α x .Cos β x (C1 + C2 ) + Sen β x .(C1 − C2 )i 
1424
3
14243 

A
B

y = e α x ( A Cos β x + B Sen β x )
Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes de 2do orden, no
homogéneas (o inhomogéneas)
Son de la forma: a0 y ′ ′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (1) con a0 ≠ 0
Propiedad: la solución general de la ecuación no homogénea es igual a la suma
de la solución general de la ecuación considerada homogénea, mas una
solución particular de la no homogénea.
y GI = y GH + y PI
Resolución
Dada la ecuación (1) hallamos primero la solución general de la considerada
homogénea: a0 y ′ ′ + a1 y ′ + a2 y = 0
Para hallar la solución particular de la inhomogénea observamos la forma de
f(x) :
a) Si f(x) es un polinomio de grado n, se propone un polinomio del mismo grado
con coeficientes a determinar. Si se produce indeterminación, se propone un
polinomio de grado n+1.
3
3
2
Ejemplo: Si f(x)= 3 . x − 2 . x + 5 ⇒ y p = a. x + b. x + c . x + d
b) Si f(x)= m.enx
se propone yP= α .e si se produce indeterminación
nx
y p = α . x.e n.x
(observar la solución de la homogénea)
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Ejemplo: si f(x) = 3.e 2x
⇒ y p = α e 2x
c) Si f(x)= m.Sen (nx) o f(x)= r. Cos (nx) o f(x)=m. Sen(nx)+ r .Cos(nx) (con
argumentos iguales)
y p = α .Sen(n.x ) + β .Cos (n.x )
Si se produce indeterminación se multiplica por x
d) Si f(x) es una combinación lineal de las anteriores, la solución particular es la
misma combinación lineal de las respectivas soluciones particulares. Ejemplos
Si
f ( x ) = 2.e −5.x + 3.x
y P = α .e -5.x + a.x + b
Si f ( x ) = 2.Sen(3.x) − 5.Cos(2.x)
y p = α .Sen(3.x) + β .Cos(3.x) + γ .Sen(2.x) + δ.Cos(2.x)
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Hasta ahora hemos trabajado con el cálculo de funciones de una sola variable.
Sin embargo en el mundo real las cantidades físicas suelen depender de dos o
tres variables. En estas unidades pondremos atención a las funciones de varias
variables.
La temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo
momento de la altitud y la de la longitud. Podemos en pensar en T como una
función de dos variables x(altitud) e y (longitud) o como una función del par
(x,y). Indicamos esta dependencia funcional escribiendo como T= f(x,y)
Definición: Sea D ⊂ ℜ 2 . Una función de dos variables es una relación que a
cada pareja ordenada (x,y) en D(región del plano) le hace corresponder un
único numero real denotado por f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y el
rango es el conjunto de valores que toma f, es decir {f ( x , y ) / ( x , y ) ∈ D}
La notación que se puede presentar es la siguiente:
z = f(x ;y)
z = z (x ;y)
z =F(x ;y)
Dominio: Se denomina dominio o campo de existencia o campo de definición
de una función de dos variables, al conjunto de pares (x ;y) para los cuales la
variable z esta definida.
Ejemplos 1 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:
a)f ( x , y ) =
x + y +1
x −1
b )f ( x,y ) = x.Ln( y 2 − x )
a) La expresión tiene sentido si el numerador es mayor o igual a cero y el
denominador es distinto de cero.
Así que el dominio es:
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D=
{( x ; y ) / x + y + 1 ≥ 0 , x ≠ 1}
La desigualdad x + y + 1 ≥ 0 describe que
los puntos que están en la recta
y=-x-1 o encima de ella. En tanto x ≠ 1
significa que quedan excluidos del dominio
los puntos sobre la recta x=1. Su
representación gráfica es una porción de
plano por el cual la función esta definida. (En
el gráfico la zona más oscura es la solución).
b) En este ejercicio la restricción esta en que
el argumento del logaritmo es mayor que
cero. Por lo tanto el dominio es:
D=
{( x ; y ) / x < y }
2
Curvas de Nivel
Un método para representar geométricamente una función de dos variables
consiste en usar las curvas de nivel. Dichas curvas se obtienen al hacer z= cte,
es decir que las curvas de nivel son las proyecciones sobre el plano xy de las
curvas intersección entre las superficie z = f(x ;y) y los planos z = cte.
También se puede obtener las curvas de nivel haciendo x =cte o y= cte
Ejemplo: Vamos a utilizar el programa Matlab para graficar no solo la función
sino también sus curvas de nivel. La función que graficamos es: f ( x , y ) = x 2 + y 2
La figura nos muestra el gráfico de la superficie realizada con Matlab junto con
sus curvas de nivel en un mismo grafico. Debajo del grafico se ven las
circunferencias que son las curvas de nivel de la superficie
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Las curvas de nivel se utiliza en para representar mapas topográfico (Figura 1),
curvas de igual temperaturas (isotermas), líneas equipotenciales.
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Figura 1 Los mapas topográficos a menudo muestran las curvas de distinta altura. Las curvas nos brindan información, ya
que generalmente es posible obtener una buena imagen de la región.
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Límite Doble
Límite de una función de una variable
Limite es el valor al cual se acerca tanto como se quiera la función cuando
x → x0 .
Llamaremos L al limite de la función, si ∀ entorno de él, podemos obtener o
construir un entorno reducido de x0 / todos los x de este entorno, a través de la
función f(x) caen dentro del entorno del limite.
Lim x → x f ( x ) = L , si ∀ε > 0, ∃ δε / ∀x ∈ 0 < x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε
0
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Entorno de una función de dos variables
 x − x 0 < δ1
 y − y 0 < δ2
Entorno rectangular ( x ; y ) ∈ 
Entorno cuadrado
Entorno circular
 x − x 0 < δ
x
;
y
∈
( ) 
 y − y 0 < δ
( x; y) ∈ (x − x )
0
2
+ (y − y 0 ) < δ
2
Límite Doble o Simultáneo
Llamamos L al único valor al que converge la función cuando las variables
independientes tienden simultáneamente y por cualquier camino al punto
(x0;y0)
0 < x − x0 < δ
Limx→x f ( x; y) = L, si ∀ ε > 0 ∃ δε / ∀( x; y) ∈ 
⇒ f ( x; y) − L < ε
y →y
0 < y − y0 < δ
0
0
Limites reiterados o sucesivos
Queremos acercarnos al límite de la función mediante 2 pasos sucesivos.
a) 1ero) Dejando fija la variable independiente y, tendiendo al limite la variable x
(x → x )
0
Es decir para cada y= cte. obtenemos sucesivas curvas de intersección entre
los planos y la superficie al acercarse para cada y= cte, la variable ( x → x 0 ) ,
tenemos:
Límx→x0 f ( x; y) = f (x0 ; y) = ϕ (y)
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2ero) Hacemos tender y → y 0 ,o sea nos acercamos a L1, a lo largo de
ϕ (y )
Lím y → y 0 ϕ (y ) = L1
[
]
Entonces : Lím y → y Lím x → x f ( x; y ) = L1
0
0
b) 1 ero) Análogamente, dejando x= cte, tendiendo y → y 0
Limy → y f ( x ; y ) = f ( x ; y 0 ) = ϕ ( x )
0
Limx → x ϕ ( x ) = L2
0
Entonces Lim x → x [ Limy → y f ( x ; y ) ] = L2
0
0
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Propiedades o implicaciones de los límites
1) Si los límites reiterados son distintos, el límite doble no existe
Si L1 ≠ L2 ⇒ ∃/ L
2) Si existen y son iguales los límites reiterados, esto no implica que exista el
límite doble. Pero si existe, deben coincidir los tres.
Si L1 = L2 ⇒
/ ∃L
Pero si ∃ L ⇒ L1 = L2 = L
3) Puede existir límite doble y no existir uno o ninguno de los límites reiterados.
Ejemplo
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1
f ( x; y ) = y.cos  en el origen
x

 1 
L1 = Limy →0 Limx →0 y.cos  = no existe
 x 


 1 
L2 = Limx →0 Limy →0 y.cos  = 0
 x 

1
L = Limx →0 y.cos  = 0
y →0
x
La función Cos esta acotada entre -1 y 1 , el factor y tiende a cero.
Continuidad de una función de dos variables
Una función de dos variables f(x ;y) es continua en un punto (x0 ;y0) si se
cumple :
1)Si f ( x 0 ; y 0 ) esta definida
2 ) L = Lim x → x f ( x ; y ) existe y es finito
0
y → y0
3)L = f ( x0 ; y0 )
Una función es continua en todo el dominio, si lo es para cada punto del
mismo.
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Derivada de una función de una variable
Hay dos problemas que conducen al concepto de derivada, uno físico y uno
geométrico. El calculo de la velocidad instantánea y el cálculo de la pendiente
de la recta tangente a una curva en un punto. Los problemas tienden al límite
de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero.
Si en una función de una variable y=f(x) damos a la variable independiente x,
un incremento arbitrario positivo o negativo ∆x , es decir que pasamos del
valor x a x+ ∆x , entonces la función pasa de f(x) a f(x+ ∆x ) , y recibe por
consiguiente un incremento positivo , nulo o negativo que llamamos ∆y ,es
decir ∆y =f(x+ ∆x )-f(x).
Este incremento nos da una idea de la rapidez con que la función varia (crece o
decrece), pero si queremos compararla con la variación de x, tendremos que
dividirla por ∆x , formando la razón incremental variación relativa
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
∆x
∆x
Como en cada punto la variación será diferente, para determinarla en un punto
debemos hallar el límite cuando ∆x → 0
Variación instantánea Lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆y
= Lim
∆x ∆x →0
∆x
Este límite se denomina derivada de la función en el punto. Si este límite existe
y es finito se dice que la función es derivable en el punto.
Geométricamente
∆y
: Mide la pendiente de cada recta secante que pasa
∆x
por el punto para cada ∆x dado
Lim
∆x →0
→
∆y
: Mide la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
∆x
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Derivada de una función de dos variables
Sea z=f(x :y) ,fijamos un punto (x0,y0) e incrementamos arbitrariamente las
variables independientes x e y ,obtenemos un nuevo punto ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y )
Hemos determinado una dirección que es la de la recta que une los dos
puntos.. Para otro par de valores ∆x , ∆y otra seria la dirección. Es decir que el
haz de rectas que pasa por el punto (x0,y0) nos determina las infinitas
direcciones en que puede incrementarse el punto.
∆z ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + ∆x : y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
Llamando a ρ =
∆x 2 + ∆y 2
La variacion relativa sera :
La variación instantánea:
∆z
ρ
Lim
ρ →0
∆z
ρ
este límite se denomina derivada direccional.
Es decir que podemos definir infinitas derivadas en un punto, una para cada
dirección.
De las infinitas derivadas direccionales hay dos de mayor importancia, en la
dirección del eje x(a 0°) y en la dirección del eje y(a 90°). Dichas derivadas
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reciben el nombre de derivadas parciales respecto de x o respecto de y
respectivamente.
Derivada parcial respecto de x
Fijamos un punto (x0,y0), lo incrementamos en ∆x ,haciendo ∆y =0 ,como
ρ = ∆x 2 + ∆y 2 en este caso ρ = ∆x
La variación relativa será
∆z f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
=
∆x
∆x
La variación instantánea Lim∆x →0
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
∆z
= Lim ∆x →0
∆x
∆x
Que se denomina derivada parcial de la función respecto de x. Se puede
expresar:
∂f
∂ z
= f x = z x = f x′ = z x′
=
∂ x ∂ x
Geométricamente mide la pendiente de la recta tangente a la curva intersección
del plano y=y0 con la superficie en el punto (x0,y0).
22
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Análisis Matemático II
Derivada Parcial respecto de y
Ahora incrementamos respecto de y, haciendo ∆x =0, en este caso
ρ = ∆y
∴ Lim
∆y → 0
→
f ( x 0 ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 )
∆z
= Lim
∆y ∆y →0
∆y
Se denomina derivada parcial respecto de y. Se puede expresar:
∂ f
∂z
= fy′ = fy = z y′ = z y
=
∂ y ∂ y
Geométricamente mide la pendiente de la recta tangente a la curva intersección
del plano x=x0 con la superficie en el punto (x0 ;y0).
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Análisis Matemático II
Teorema del valor Medio o de los incrementos finitos o de Lagrange
Recordemos el teorema del valor medio para una función de una variable
α
x = x 0 + ∆x
∆y = f ′(α ).∆ x
o f ( x ) − f ( x 0 ) = f ′(α ).( x − x 0 )
x0
Siendo α = x 0 + φ.∆x con 0 < φ < 1
Dada z=f (x ;y), si existen y son finitas las derivadas parciales f’x y f’y en un
entorno del punto (x0 ;y0) entonces el incremento ∆z de la función se puede
expresar :
∆z = f x′(α1 ; β1 ). ∆x + fy′(α2 ; β2 ). ∆y
Siendo (α1 ; β1 ) = ( x 0 + φ1 . ∆x ; y 0 )
(α
2
; β2 ) = ( x 0 + ∆x ; y 0 + φ2 . ∆y ) con 0 < φ1 < 1
0 < φ2 < 1
24
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Análisis Matemático II
Al incrementar las variables independientes en ∆x y ∆y resulta
∆z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 )
Podemos pasar del punto (x0 ;y0) al punto incrementado por dos caminos
parciales.
1) Dejando fijo y=y0 e incrementando x en ∆x pasamos del punto (x0 ;y0) a
(x
0
+ ∆x ; y 0 )
El incremento parcial de la función será:
∆ x z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 )
2) Dejando fijo x = x 0 + ∆x e incrementando y en ∆y pasamos del punto
( x 0 + ∆x ; y 0 ) al ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y )
El incremento parcial de la función será:
∆ y z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x ; y 0 )
Sumando las dos expresiones anteriores obtenemos ∆z
* ∆z = ∆ x z + ∆y z = [f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 )] + [f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x ; y 0 )]
Aplicamos el
teorema del valor medio para una variable en cada corchete
f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 ) = f x′ ( x 0 + φ1 .∆x ; y 0 ).∆x
f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) = f y′ ( x 0 + ∆x ; y 0 + φ2 .∆y ).∆y
Reemplazando en *
∆z = f x′ (x 0 + φ1 .∆x ; y 0 ).∆x + f y′ (x 0 + ∆x ; y 0 + φ 2 .∆y ).∆y
o bien
∆z = f x′ (α 1 ; β 1 ).∆x + f y′ (α 2 ; β 2 ).∆y
25
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Análisis Matemático II
Entre las aplicaciones de este teorema, está la de encontrar una cota de error
absoluto de z, cuando se comete error al medir los incrementos de
∆x y ∆y (errores absolutos de las variables independientes).
El teorema nos asegura la igualdad cuando las derivadas se consideran en
algún punto intermedio de los respectivos intervalos. Si consideramos de
todos los valores que f‘x toma en el intervalo 1, el máximo valor f xMAX
′ ,
evidentemente f xMAX
′ ≥ f X′ (α1 ; β1 ). Con idéntico razonamiento para f’y en el
intervalo 2 resulta fyMAX
′ ≥ fy′(α2 ; β2 ).
Entonces: ∆z ≤ f xMAX . ∆x + fyMAX . ∆y
26
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Diferencial de una función de dos variables
Una función z=f(x ;y) se dice diferenciable en un punto (x0 ;y0), si el incremento
∆z de la función se puede expresar como una combinación lineal de los
incrementos de las variables independientes mas un infinitésimo de orden
superior a ρ
∆z = A.∆x + B.∆y + 0 ( ρ ) siendo → Lím
ρ →0
Haciendo ∆y = 0 ⇒ ∆z = A.∆x + 0 ( ρ )
0 (ρ )
ρ
=0
(1)
Dividiendo por ∆x, aplicando Límite cuando ∆x → 0
0 (ρ )
∆z
= Lim A + Lim
∆x → 0
∆x → 0
∆x ∆x →0
∆x
Lim
z ′x = A + 0 ⇒ A = z ′x
Analogamente si ∆x = 0, dividiendo por ∆y, aplicando límite cuando ∆y → 0
tendremos
B = z ′y
Reemplazando en 1 : ∆z = z ′x .∆x + z ′y .∆y + 0 ( ρ )
Si llamamos dz = z ′x .∆x + z ′y .∆y (2 )
Entonces
podemos decir que una función es diferenciable en un punto
cuando su incremento puede expresarse de la siguiente forma :
∆z = dz + 0 ( ρ ) *
Expresión analítica de la diferencial
Si z = x ⇒ dz = dx

 ⇒ dx = ∆x
Aplicando (2 ) ⇒ dz = 1.∆x + 0.∆y = ∆x 
Si z = y ⇒ dz = dy

 ⇒ dy = ∆y
Aplicando (2 ) ⇒ dz = 0.∆x + 1.∆y = ∆y 
Reemplazando en (2 ) : dz = z ′x .dx + z ′y .dy
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Interpretación geométrica
Dada z=f(x,y) diferenciable en (x0,y0), la diferencial representa la ecuación de un
plano.
dz = z x′ . ∆x + z y′ . ∆y
Es decir
z{
- z 0 = z x′ . ( x − x 0 ) + z y′ . (y − y 0 )
z del plano;z p
Geométricamente se caracteriza por el hecho de que en un entorno de (x0 ;y0),
las ordenadas zp del plano difieren de las zs de la superficie en un infinitésimo
de orden superior a ρ .
Si al plano lo cortamos con el plano vertical y=y0 entonces la recta intersección
entre ambos será: z-z0=z’x (x-x0) que tiene por pendiente a la derivada parcial,
por lo tanto, es la recta tangente en el punto (x0,y0,z0) a la curva intersección
entre la superficie y el plano vertical. Idéntico razonamiento podemos hacer si
cortamos x=x0. Si consideramos un plano vertical en una dirección cualquiera y
cortamos a la superficie, y al plano, las respectivas curvas y rectas
intersección difieren por lo visto en un infinitésimo de orden superior a ρ , por
lo tanto, la recta es la tangente a la curva en el punto (x0,y0,z0). Entonces el
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plano en el cual están incluidas todas las rectas tangentes, se denomina plano
tangente a la superficie en el punto (x0,y0,z0).
Propiedad 1
La condición necesaria y suficiente para que una función admita plano
tangente en un punto es que la función sea diferenciable en el punto.
Propiedad 2
Toda función diferenciable es continua y derivable. El reciproco no es cierto (lo
mostraremos con un ejemplo)
z( x ; y ) =
x.y
x +y
2
2
; z (0 ;0 ) = 0 ; en el origen
a) Continuidad
z (0 ;0 ) = 0
L = Lim
x →0
y →0
x.y
x +y
2
2
; Lim
x →0
y →0
1
1
1
+ 2
2
x
y
=0
L = z (0 ;0 ) ⇒ la funcion es continua en (0 ;0 )
b) Derivabilidad


z x′ = Lim
∆x → 0



z y′ = Lim 
∆y → 0



1
− 0 .
= Lim 0 = 0
2
 ∆x ∆x →0

(0 + ∆y ).0 − 0  . 1 = Lim 0 = 0
2
(0 + ∆y ) + 0  ∆y ∆y →0
(0 + ∆x ).0
(0 + ∆x ) + 0
Las derivadas parciales existen y son finitas ⇒ la función es derivable en (0 ;0)
c) Diferenciabilidad
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Debemos probar que
∆z =
∆z = dz + 0 ( ρ ) ⇒ ∆z − dz = 0 ( ρ ) ⇒ Lim
(0 + ∆x ).(0 + ∆y )
(0 + ∆x )2 + (0 + ∆y )2
ρ →0
−0 =
∆x .∆y
∆z − dz
=0
ρ
∆x 2 + ∆y 2
dz = 0.dx + 0.dy = 0
∆x = ρ .Cosϕ
ρ 2 .Cosϕ .Sinϕ
si 
= ρ Cosϕ .Senϕ
∆z − dz =
∆z − dz =
ρ
∆x 2 + ∆y 2 ∆y = ρ .Senϕ
∆x .∆y
Lim
ρ →0
∆z − dz
ρ Cosϕ .Senϕ
= Lím
= Cosϕ .Senϕ
ρ →0
ρ
ρ
No dió 0 ⇒ la función no es diferenciable en el origen
Derivada Direccional
Vimos que la derivada direccional es:
Dr z = Lim
ρ →0
Dr z = Lim
ρ →0
Dr z = Lim
ρ →0
Dr z = Lím
ρ →0
∆z
ρ
f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 )
ρ
f ( x 0 + ρ .Cosα ; y 0 + ρ .Cosβ ) − f ( x 0 ; y 0 )
ρ
f ( x 0 + ρ .Cosα ; y 0 + ρ .Sinα ) − f ( x 0 , y 0 )
ρ
Expresión de la derivada direccional cuando la función es diferenciable
Por ser z=f(x ;y) diferenciable en ( x 0 ; y 0 ) ⇒ ∆z = dz + 0 ( ρ )
30
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Reemplazamos en la derivada direccional:
∆z
dz − 0 ( ρ )
= Lim
ρ →0 ρ
ρ →0
ρ
z ′x .∆x + z ′y .∆y + 0 ( ρ )
Dr z = Lim
ρ →0
ρ
z ′x .ρ .Cosα + z ′y . ρ Cosβ + 0 ( ρ )
Dr z = Lim
ρ →0
ρ
Dr z = z ′x .Cosα + z ′y .Cosβ
Dr z = Lim
Dr z = z ′x .Cosα + z ′y .Senα
Gradiente
Dada una función z=f(x ;y), si existen las derivadas parciales zx y zy ,definimos
gradiente de z al vector cuyas componentes son dichas derivadas.
r
(
(
Grad z = ∇z = z ′x i + z ′y j
Relación entre el vector gradiente y la derivada direccional
Recordemos que:
v
v
Pr oy br a = a .Cos ϕ (1 )
r r
a .b
Cos ϕ = r r
a .b
r r
v a .b
∴ Pr oy br a = r (2 )
b
La derivada direccional es igual a la proyección del vector gradiente sobre la
semirrecta dirección
Dada una función u=u(x ;y ;z)
∇u = (u x′ , u y′ , u z′ )
Dr u = u x′ . Cosα + u y′ . Cosβ + u z′ . Cosγ
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)
(
(
(
Sea r = Cosα i + Cosβ j + Cosγ k el versor que caracteriza la dirección de la
semirrecta r. Aplicamos la expresión (2):
)
∇u . r
Pr oy r) ∇ u = ) = u ′x .Cos α + u y′.Cos β + u ′z .Cosγ
r
{
1
∴ Pr oy r) ∇ u = D r u
Queda demostrada la propiedad
Aplicando la expresión (1)
Dr u = ∇u .Cosω Siendo ω el ángulo entre el gradiente y la semirrecta
dirección
Propiedad 1
La dirección según la cual la derivada direccional es máxima es la del vector
gradiente (ω = 0 ⇒ Cosω = 1) .Siendo nula en la dirección normal al vector
gradiente.
Propiedad 2
El valor de la derivada direccional máxima es la del modulo del vector gradiente
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Vector Posición y vector derivado
Fijado un sistema de coordenadas de origen o; a cada punto del espacio
P(x ;y ;z) le corresponde un vector cuyo origen es o y cuyo extremo es el punto
P y tiene por componentes las coordenadas del Punto. Ese vector se denomina
vector
Posición:
v
(
(
(
OP = xi + yj + zk
v
(
(
(
Si dicho vector es de la forma r ( u ) = x ( u )i + y ( u ) j + z( u )k dando valores a u se
obtienen distintos valores de r(u) y su extremo determina una curva cuyas
ecuaciones paramétricas son :
 x = x (u )

C  y = y (u )

 z = z (u )
Si consideramos
∆ r = r (u + ∆ u ) − r (u )
r (u + ∆ u ) − r (u )
∆r
=
∆u
∆u
de la misma dirección y sentido que ∆ r
v
dr
∆r
Si ∃ Lim
Vector tangente
a la curva en el punto
=
∆u→ 0 ∆ u
du
Dicho vector tangente
se expresa :
v
dr
dx (
dy ( dz (
=
i +
l +
k
du
du
du
du
Se denomina
vector derivado
Vector
P
1) Recta tangente y plano normal a una curva
33
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Dada una curva C por sus ecuaciones paramétricas y un punto P0 de la misma
 x = x (t )
 x 0 = x (t 0 )


C  y = y (t ) P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) siendo  y 0 = y (t 0 )


 z = z(t )
 z 0 = z(t 0 )
El vector posición en P0 es
(
(
(
v
r ( t 0 ) = x ( t 0 ) i + y ( t 0 ) j + z ( t 0 )k
El vector derivado en P0 es
r ′ (t 0 ) =
dr
dt
(
(
(
= x ′ ( t 0 ) i + y ′ (t 0 ) l + z ′ ( t 0 ) k
P0
Este vector es tangente a la curva en P0
⇒ tiene la dirección de la recta tangente y
es perpendicular al plano normal.
Entonces:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
x ′ (t 0 )
y ′ (t 0 )
z ′ (t 0 )
Ecuación de la recta tangente
( x−x ).x′(t ) +( y−y ).y′(t ) +( z−z ).z′(t ) =0
0
0
0
0
0
0
Ecuación del plano normal
2) Plano tangente y recta normal a una superficie
a) Superficie dada en forma paramétrica
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 x = x (u ; v )

S  y = y (u ; v )
P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) Siendo

 z = z (u , v )
 x 0 = x (u 0 ; v 0 )

 y 0 = y (u 0 ; v 0 )

 z 0 = z (u 0 ; v 0 )
Vector posición en P0 :
(
(
(
r (u0 ; v0 ) = x(u0 ; v0 ) i + y(u0 ; v0 ) l + z(u0 ; v0 ) k
Los vectores derivados respecto de u y v son tangentes a la superficie en P0. Si
los multiplicamos vectorialmente obtenemos un vector normal a la superficie
en el punto y cuya dirección es la misma de la recta normal.
∂ r
∂ u
=
P0
r ∂ r
n=
∂u
∂ x
∂u
x
P0
Entonces:
( ∂ y
i +
∂u
P0
∂ r
∂ v
=
P0
∂
∂
∂
∂
( ∂ z
l +
∂u
P0
(
i
x
u
x
v
P0
P0
∂
∂
∂
∂
(
k
;
P0
(
l
y
u
y
v
P0
P0
∂
∂
∂
∂
∂ r
∂ v
(
k
z
u
z
v
=
P0
∂ x
∂v
( ∂ y
i +
∂v
P0
( ∂ z
l +
∂v
P0
(
k
P0
(
(
(
= n1i + n2 l + n3 k
P0
P0
x − x 0 y − y 0 z − z0
=
=
Ecuación recta normal
n1
n2
n3
n1 . ( x − x 0 ) + n2 . ( y − y 0 ) + n3 . ( z − z 0 ) = 0
Ecuación Plano Tangente
b)Superficie dada en forma implícita
S → F ( x ; y ; z ) = 0 ; P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) Sabemos que el vector gradiente es normal a
la superficie en dicho punto, entonces tiene la misma dirección de la recta
normal
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(
(
(
∇F P = Fx′ P i + Fy′ P l + Fz′ P k
0
0
0
0
x − x 0 y − y 0 z − z0
=
=
Fx′ P
Fz′ P
Fy′ P
0
Ecuación Recta Normal
0
0
Fx′ P . ( x − x 0 ) + Fy′ P . ( y − y 0 ) + Fz′ P . ( z − z 0 ) = 0 Ecuación del plano tangente
0
0
0
3) Curva dada como intersección entre dos superficies
F ( x ; y ; z )
C
G ( x ; y ; z )
P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )
El vector gradiente de la superficie F en el punto P0 es normal a la superficie en
dicho punto y también es normal a la curva C por pertenecer dicha curva a la
superficie. Lo mismo ocurre con el vector gradiente de G. Si multiplicamos
vectorialmente los dos gradientes obtendremos un vector tangente a la curva
en el punto, cuya dirección coincide con la recta tangente.
(
(
(
∇F P = Fx′ P i + Fy′ P l + Fz′ P k
(
(
∇G P = G x P i + G y P l + G z P k
r
(
(
(
t = ∇F P ∧ ∇G P = t 1 i + t 2 l + t 3 k
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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x − x 0 y − y 0 z − z0
=
=
t1
t2
t3
Ecuación recta Tangente
t 1 . ( x − x 0 ) + t 2 . ( y − y 0 ) + t 3 . ( z − z 0 ) = 0 Ecuación Plano Normal
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FUNCIONES COMPUESTAS
Son funciones que dependen de ciertas variables independientes a través de
otras variables.
1) Sea z = f ( x; y )
 x = x (t )
si 
y = y (t )
En este caso z
t (variable independiente)
x
y
Si z es diferenciable en un punto (x0 ;y0) y las variables x e y son derivables
respecto de t
∆z = z x′ . ∆x + z y′ . ∆y + o( ρ )
Dividimos por ∆t y aplicamos limite cuando ∆t → 0
(Cuando ∆t → 0 ⇒ ∆x → 0 ∆y → 0 )
Lim
∆t → 0
→
0 (ρ)
∆z
∆x
∆y
= Lim
z
+
Lim
z
+
Lim
.
.
′
′
x
y
∆t → 0
∆t → 0
∆t → 0
∆t
∆t
∆t
∆t
dz
dx
dy ∂ z dx ∂ z dy
= z x′ .
+ z y′ .
.
.
=
+
dt
dt
dt ∂ x dt ∂ y dt
2)Sea z = f ( x ; y ; u ; v )
 x = x (t )

 y = y (t )
con 
u = u (t )
v = v t
()

En este caso
z
x
y
u
v
t
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dz ∂ z dx ∂ z dy ∂ z du ∂z dv
.
.
.
.
=
+
+
+
dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ u dt ∂ v dt
 x = x (u ; v )
con 
3) Sea z=f(x ;y)
En este caso
∂
∂
∂
∂
y = y (u ; v )
z
z ∂ z ∂x ∂
.
+
=
u ∂ x ∂u ∂
z
∂ z ∂x ∂
=
.
+
v ∂ x ∂v ∂
u
v
u
v
x
y
z ∂y
.
y ∂u
z ∂y
.
y ∂ v
Funciones implícitas
En general hemos trabajado con funciones donde la variable dependiente
aparecía en forma explícita, es decir z=f(x ;y).
Hay ejemplos de funciones cuyo planteo en forma implícita es único o el más
conveniente.
Diremos que una ecuación F(x ;y ;z)=0 define implícitamente a la función
z=z(x ;y) cuando dicha función satisface a la ecuación para todo punto (x ;y) del
dominio. Es decir F(x ;y ;z(x ;y))=0.
No toda ecuación F(x ;y ;z)=0 define una función
Ejemplos
x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 No hay ningun punto que la satisfaga
Sen( x.y.z ) − 5 = 0 "
''
''
'' ''
''
''
x 2 + y 2 + z 2 = 0 Solo hay un punto que la satisface
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Veremos que condiciones se deben cumplir para que una ecuación defina
implícitamente una función, y además calcular las derivadas de dicha función
sin llevarla a la forma explícita.
Teorema de existencia de funciones implícitas
Dada la ecuación F(x ;y ;z)=0 si se cumplen las siguientes condiciones :
1) Existe un punto que satisface la ecuación
∃ P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) / F ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) = 0
2) La función F(x ;y ;z) es continua y derivable en P0 .
3) Existe la derivada en el punto y es distinta de 0
∃ Fz′ P ≠ 0
0
Entonces la ecuación F(x ;y ;z)=0 define implícitamente la función z=z(x ;y)
continua y derivable en un entorno del punto P0 .
Cálculo de las derivadas
Dada F(x ;y ;z)=0 que define implícitamente a z=z(x ;y), queremos obtener las
derivadas z’x y z’y.
Derivamos F(x ;y ;z) respecto de x como función compuesta :
Fx′ . x ′x + Fy′ .y ′x + Fz′ .z ′x = 0
↑1
↑0
Fx′ + Fz′ .z ′x = 0 ⇒ z ′x = −
F ′x
F ′z
Derivamos respecto a y
Fx′ . x y′ + Fy′. y y′ + Fy′. z y′ = 0
↑0
↑1
Fy′ + Fz′. z y′ = 0 ⇒ z y′ = −
Fy′
Fz′
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Teorema de existencia de sistemas de funciones implícitas
F ( x ; y ; u ; v ; w ) = 0

Dado un sistema de ecuaciones G( x ; y ; u ; v ; w ) = 0

H ( x ; y ; u ; v ; w ) = 0
Si se cumplen las siguientes condiciones:
1) ∃ P0 ( x 0 ; y 0 ; u0 ; v 0 ; w 0 ) / Satisface el sistema
2) Las funciones F,G,H son diferenciables en P0.
3) ∃ el Jacobiano4 j
P0
=
∂ ( F;G; H )
∂ (u; v;w )
≠0
P0
Entonces el sistema de ecuaciones define implícitamente el sistema de
u = u ( x ; y )

funciones v = v ( x ; y ) que son diferenciables en P0.

w = w ( x ; y )
F ′u F ′v F ′w
Jacobiano j= G ′u G ′v G ′w
H ′u H ′v H ′w
Cálculo de las derivadas
F ( x; y; u; v ) = 0
Sea el sistema 
que define implicitamente a
G ( x ; y ; u ; v ) = 0
u = u ( x; y )
queremos obtener las derivadas : u x′ ; u y′ ; v x′ ; v y′

v
=
v
x
;
y

( )
El nombre del determinante se debe al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) quien fue profesor en Berlín y en
Konigsberg (Hoy Kaliningrado, lugar donde nació prácticamente la teoría de grafos a raíz del problemas de los siete puentes de la
ciudad, problema que resolvió Leonhard Euler).Hizo importantes aportes a las funciones elípticas, las ecuaciones diferenciales parciales,
la mecánica, incluyendo la mecánica celeste.
41
4
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Análisis Matemático II
Derivamos respecto a x, como funciones compuestas
Fx′ . x x′ + Fy′. y x′ + Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = 0 

G x′ . x x′ + Gy′ . y x′ + Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = 0 
Fx′ + Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = 0 

G x′ + Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = 0 
Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = − Fx′ 

Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = −G x′ 
Aplicando la regla de Cramer
Fx′ Fv′
− Fx′ Fv′
Gx′ Gv′
− Gx′ Gv′
u′x =
=−
Fu′ Fv′
Fu′ Fv′
Gu′ Gv′
Gu′ Gv′
1
424
3
J
Fu′ Fx′
G′ Gx′
v ′x = − u
=
Fu′ Fv′
Gu′ Gv′
1
424
3
J
En forma análoga, derivando respecto a y, obtenemos las otras derivadas. Las
escribimos directamente
Fy′ Fv′
Gy′ Gv′
u y′ = −
Fu′ Fv′
Gu′ Gv′
1
424
3
J
Fu′ Fy′
Gu′ Gy′
v ′y = −
Fu′ Fv′
Gu′ Gv′
1
424
3
J
42
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Análisis Matemático II
Derivadas Sucesivas
Las derivadas parciales de una función z = f (x ;y) son también en general
funciones de x e y en consecuencia derivables en forma parcial.
zxxx
zxx
zxxy
zx
zxy
z=(x ;y)
zyx
zy
zyy
Nomenclatura
∂ z
z x′ =
∂ x
∂ 2z
z xx
′′ =
∂ x2
∂ 2z
z yx
′′ =
∂ y∂ x
∂ 3z
∂ 3z
z yyy
z xxy
′′′ =
′′′ =
∂ y3
∂ x2 ∂ y
Invertibilidad del orden de la derivada (Enunciado del teorema de Schwarz)
Dada una función z = f(x ;y) con derivadas parciales primeras z’x ;z’y , si existe y
es continua z’’xy entonces existe z’’yx y coincide con la anterior.
Diferenciales sucesivas
Sabiendo que dz = z’x.dx+z’y.dy
(1)
d 2 z = d (dz ) = d ( z x′ . dx + z y′ . dy ) = d ( z x′ . dx ) + d ( z y′ . dy ) =
d ( z x′ ). dx + z x′ . d (dx ) + d ( z y′ ). dy + z y′ . d (dy ) =
↑ se aplica 1
↑ se aplica 1
= ( z xx
′ ′ .dx + z xy
′ ′ .dy ).dx + z x′ .d 2 x + ( z yx
′ ′ . dx + z yy
′ ′ . dy ).dy + z y′ .d 2 y
= z xx
′ ′ . dy 2 + z y′ .d 2 y
′ ′ .dx 2 + z xy
′ ′ .dy.dx + z x′ .d 2 x + z yx
′ ′ . dx . dy + z yy
= z xx
′ ′ .dx 2 + 2.z xy
′ ′ .dy.dx + z yy
′ ′ . dy 2 + z x′ .d 2 x + z y′ .d 2 y
43
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Análisis Matemático II
1er caso :
Si
z=
f(x ;y)
siendo
e
y
variables
⇒ dx = cte ; dy = cte ⇒ d x = d y = 0 . Entonces
2
x
independientes
2
d 2 z = z xx
′ ′ . dx 2 + 2 . z xy
′ ′ . dx . dy + z yy
′ ′ . dy 2
Se puede expresar
∂
 ∂

. dx +
. dy 
d z=
∂ x

∂y
(2)
2
Además:
∂
 ∂

d z=
. dx +
. dy 
∂ x

∂y
z
(3)
3
z
d 3 z = z xxx
′ ′ ′ . dx 3 + 3 . z xxy
′ ′ ′ . dx 2 . dy + 3 . z xyy
′ ′ ′ . dx . dy 2 + z yyy
′ ′ ′ . dy 3
En general :
∂
 ∂

d z=
. dx +
. dy 
∂ x

∂y
n
( n)
z
2do caso:
Si z=f(x ;y), siendo y=y(x) ; x es la variable independiente ⇒ dx = cte ⇒ d 2 x = 0
d 2 z = z xx
′ ′ . dx 2 + 2 . z xy
′ ′ . dx . dy + z yy
′ ′ . dy 2 + z y′ . d 2 y
3er caso:
Si
z=f(x ;y),
siendo
x=x(y) ;
y
es
la
variable
independiente
⇒ dy = cte ⇒ d y = 0
2
d 2 z = z xx
′ ′ . dx 2 + 2 . z xy
′ ′ . dx . dy + z yy
′ ′ . dy 2 + z x′ . d 2 x
44
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Análisis Matemático II
Fórmula de Taylor5
En muchas ocasiones resulta conveniente aproximar una función derivable no
polinómica en un entorno del punto mediante un polinomio particularmente
elegido y precisar el error que se comete con esa aproximación. Recordemos
en una variable
x = x 0 + ∆x
x0
f ( x ) = f ( x 0 + ∆x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) . ( x − x 0
......+ f
(n)
(x − x )
( x ). n !
0
0
n
+f
( n +1 )
(x
0
(x − x )
) + f ′ ′ ( x ).
2!
+ φ .( x - x0
0
0
2
+ ....
(
x−x )
(
)). n + 1 !
(
)
n +1 )
0
Para x0=0 obtenemos la formula de Maclaurin
2
(
x)
f ( x ) = f (0 ) + f ′(0 ).( x ) + f ′′(0 ).
2!
+ .... + f
(n )
(n+1 )
n
(
(
x)
x)
(n+1 )
(0 ).
(φ .x ).
+f
(n + 1)!
n!
Formula de Taylor para una función de dos variables
Si (x0 ;y0) es un punto del dominio de la función z=f(x ;y), considerando otro
punto ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) que pertenezca al entorno de (x0 ;y0) , la formula de
Taylor permite hallar un valor aproximado de f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) conocidos los
valores de la función y sus derivadas en el punto (x0 ;y0).
Podemos pasar del punto (x0 ;y0) al punto ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) a lo largo de la
recta determinada por dichos puntos cuya ecuación paramétrica es :
 x = x 0 + t . ∆x
 y = y 0 + t . ∆y
(1) 
5 Brook Taylor, matemático ingles (1685-1731) sus trabajos también eran ya conocidos por Johann Bernoulli en 1690 y James Gregory
desde 1668 .Sus trabajos fueron publicados en su libro “Methods incrementorum directa et inversa”. Taylor no estaba enterado de los
trabajos anteriores de Gregory y Bernoulli.
45
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Análisis Matemático II
Entonces los puntos de la superficie que pertenezcan a la curva intersección
entre la superficie y el plano vertical que pasa por la recta (1), se puede
expresar;
f ( x; y ) = f ( x0 + t .∆x; y0 + t .∆y ) = ϕ (t ) (2)
Observamos que ϕ (1) es la expresión que queremos hallar, pues cuando
t=1 ⇒ ϕ (1) = f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) , desarrollamos ϕ (t ) por Maclaurin6 :
ϕ (t ) = ϕ (0 ) + ϕ ′(0 ).t + ϕ ′′(0 ).
t2
tn
(n )
+ ..... + ϕ (0 ). + ϕ
2
n!
(n+1 )
t n+1
(θ .t ) .
(n + 1)!
Haciendo
ϕ (1) = f (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) = ϕ (0 ) + ϕ ′(0 ) +
ϕ ′′(0 )
2
+ ...... +
ϕ ( n ) (0 )
n!
+
ϕ (n+1) (θ )
(n + 1)!
Calculamos cada término
ϕ (0 ) lo obtenemos reemplazando t=0 en (2)
ϕ (0 ) =f (x0 ;y0)
ϕ ′ (0 ) lo obtenemos derivando ϕ (t ) y luego haciendo t=0
ϕ ′ (t ) = f x′( x 0 + t . ∆x ; y 0 + t . ∆y ). x t′ + fy′( x 0 + t . ∆x ; y 0 + t . ∆y ). y t′
x t′ = ∆x
6
;
y t′ = ∆y
Colin Maclaurin, matemático escoses (1698-1746). Maclaurin difundió su serie en su libro “Treatise of fluxions “ en 1742
46
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Entonces
ϕ ′ (0 ) = f x′( x 0 ; y 0 ). ∆x + fy′( x 0 ; y 0 ). ∆y
ϕ ′ (0 ) = df ( x 0 ; y 0 )
Derivando sucesivamente obtenemos
ϕ ′ ′( 0 ) = d 2 f ( x 0 ; y 0 )
ϕ ′ ′ ′(0 ) = d 3f ( x 0 ; y 0 )
.
.
.
ϕ
(n)
ϕ
( n+1
(0 ) = d f ( x ; y )
)
f ( x + θ . ∆x; y
( ) = d
n
0
θ
0
n +1
0
0
+ θ . ∆y )
Reemplazando en (3):
f ( x ; y ) = f ( x 0 ; y 0 ) + df ( x 0 ; y 0 ) +
........+
d nf ( x 0 ; y 0 )
n!
+
d 2f ( x0 ; y0 )
d 3f ( x0 ; y0 )
+
2!
3!
n +1
d f ( x 0 + θ . ∆x ; y 0 + θ . ∆y )
+ .........+
(n + 1) !
Para (x0 ;y0)=(0 ;0) obtenemos la fórmula de Maclaurin
f ( x ; y ) = f (0 ;0 ) + df (0 ;0 ) +
.........+
d nf (0 ;0 )
n!
+
d 2 f (0 ;0 )
2!
n +1
d f (θ . x; θ .y )
+
d 3 f (0 ;0 )
3!
+ ...... ....
(n + 1) !
47
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Extremos de una función de dos variables independientes
(Extremos Libres)
Una función de 2 variables independientes en un punto (x0 ;y0) toma valor :
a) Máximo si:
b) Mínimo si :
f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) < 0
f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) > 0
∀( x; y ) ∈ ξ ( x 0 ; y 0 )
∀( x; y ) ∈ ξ ( x 0 ; y 0 )
Recordemos que f ( x ; y ) − f ( x 0 ; y 0 ) = ∆f ( x 0 ; y 0 )
Condición Necesaria
Si la superficie es diferenciable observamos que en el caso de extremos, el
plano tangente es horizontal y deja a la superficie por arriba o por debajo para
todo entorno del punto. Además si en (x0 ;y0) hay un máximo o un mínimo, las
derivadas parciales son nulas, pues las respectivas curvas de intersección de
la superficie con los planos x=x0 ;y=y0, presentan un máximo o un mínimo en el
punto. Sin embargo la condición f‘x=0, f ‘y=0, es necesaria pero no suficiente y
lo vemos en el ejemplo del dibujo 3, donde el plano tangente atraviesa la
superficie para cualquier entorno del punto (x0 ;y0).
(1)Punto Mínimo
(2) Punto Máximo
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( 3 )Ni Máximo ni Mínimo
Condición Suficiente
Desarrollamos por Taylor la función en un entorno del punto (x0 ;y0), con la
condición necesaria de la derivadas primeras nulas y supuestas las segundas
derivadas no simultáneamente nulas:
f (x
0
+ ∆x ; y 0
d f (x ; y )
+ ∆y ) = f ( x ; y ) + df ( x ; y ) +
+R
14243
2!
2
0
0
0
0
0
0
0
Si nos limitamos a considerar puntos muy cercanos a (x0 ;y0), R es despreciable
con respecto al termino anterior.
f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 ) =
1 2
.d f ( x0 ; y0 ) + R
2
1
∆f ( x 0 ; y 0 ) = . d 2 f ( x 0 ; y 0 ) + R
2
Debemos estudiar el signo de la diferencial segunda pues si es
> 0 ⇒ ∆f > 0 ⇒ ∃ minimo en ( x 0 ; y 0 ).
< 0 ⇒ ∆f < 0 ⇒ ∃ Maximo en ( x 0 ; y 0 ).
Consideramos coordenadas polares:
∆x = ρ .Cosϕ
∆y = ρ .Sen ϕ
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d 2 f ( x 0 ; y 0 ) = f xx′ ′( x 0 ; y 0 ). ∆x 2 + fyy′ ′( x 0 ; y 0 ). ∆y 2 + 2 . f xy′ ′( x 0 ; y 0 ). ∆x . ∆y
d 2 f ( x 0 ; y 0 ) = f xx′ ′. ρ 2 . Cos 2ϕ + fyy′ ′. ρ 2 . Sen 2 ϕ + 2.f xy′ ′. ρ 2 . Senϕ . Cosϕ
Entonces ∆f ( x 0 ; y 0 ) =
(
1
. ρ . f xx′ ′. Cos 2ϕ + fyy′ ′. Sen 2ϕ + 2.f xy′ ′. Senϕ . Cosϕ
2
2
)
Debemos estudiar la variación de la expresión del paréntesis que llamamos
F (ϕ )
(1) F (ϕ ) = f ′ ′.Cos ϕ
2
xx
+ fyy′ ′. Sen 2 ϕ + 2.f xy′ ′. Cosϕ . Senϕ
Supongamos f xx′ ′ ≠ 0 , entonces multiplicamos y dividimos por fxx’’
F (ϕ ) =
[
1
2
. f xx′′ .Cos 2 ϕ + f yy′′ .f xx′′ .Sen 2 ϕ + 2.f xy′′ .f xx′′ .Cosϕ .Senϕ
f xx′ ′
]
Sumamos y restamos f xy′′ 2 .Sen2 ϕ , y sacando factor común
F (ϕ ) =
[(
1
. f xx′ ′. Cosϕ + f xy′ ′. Senϕ
f xx′ ′
)
2
(
+ Sen 2 ϕ . fyy′ ′. f xx′ ′ − f xy′ ′
2
)]
Sen 2 ϕ
Llámanos determinante Hessiano7 de f(x ,y)
H=
′′ fxy
′′
fxx
′′ .fyy
′′ −fxy
′′ 2
= fxx
′′ fyy
′′
fyx
Entonces:
( 2 ) F (ϕ ) =
[(
1
. f xx′ ′. Cosϕ + f xy′ ′. Senϕ
f xx′ ′
)
2
+ Sen 2ϕ .H
]
Primer Caso :H>0 (caso Elíptico)
Siendo H>0 y fxy‘’2 ≥ 0 ⇒ f xx′ ′ ≠ 0 ⇒ analizamos ( 2 ) :El corchete nunca se hace
cero, pues si el Sen ϕ es 0, no lo es el Cos ϕ ,además por estar al cuadrado el
paréntesis y el Sen ϕ , el corchete es siempre positivo , entonces F ( ϕ ) tiene el
mismo signo de f ‘’xx ,entonces :
7
Se llama así por el matemático alemán Otto Hesse, que la introdujo en 1844
50
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Si f xx′ ′ > 0 ⇒ F (ϕ ) > 0 ⇒ ∆f ( x 0 ; y 0 ) > 0 ⇒ ∃ Mínimo en ( x 0 ; y 0 )
Si f xx′ ′ < 0 ⇒ F (ϕ ) < 0 ⇒ ∆f ( x 0 ; y 0 ) < 0 ⇒ ∃ Máximo en ( x 0 ; y 0 )
Segundo Caso :H<0 (Caso Hiperbólico)
1) Si f xx′ ′ ≠ 0 ⇒ analizamos (2 )
a) Para ϕ = 0 → Sen ϕ = 0
ϕ = 0 → Cosϕ = 1
F (ϕ ) =
1
2
. f xx′ ′ ⇒ F (ϕ ) = f xx′ ′ ⇒
f xx′ ′
signo F (ϕ ) = signo f xx′ ′
(a)
b) En la dirección en que se anula el binomio al cuadrado:
F (ϕ ) =
1
f xx′ ′
2
.H
{ . Sen ϕ ⇒
↓
<0
↓
> 0
Signo F (ϕ ) ≠ Signo f xx′ ′ (b)
De ( a ) y (b ) vemos que F( ϕ ) no mantiene el signo para un entorno del punto,
pues lo varia según la dirección que consideremos ⇒ No existen extremos.
2) Si f xx′ ′ = 0 y fyy′ ′ ≠ 0 se podría hacer el mismo razonamiento dividiendo a
partir de (1) por f yy′′ .
3 )Si f xx′ ′ = 0 ; f yy′ ′ = 0 ⇒ f xy′ ′ ≠ 0 pues H ≠ 0 ⇒ Analizamos (1) :
F (ϕ ) = 2.f xy′ ′ .Cos ϕ .Sen ϕ = f xy′ ′.Sen (2 ϕ ) , el signo cambia según el
ángulo ϕ que consideremos ⇒ No existen extremos.
Tercer Caso: H = 0 (Caso Parabólico)
1) Si
f xx′ ′ ≠ 0 ⇒ Analizamos (2 )
F (ϕ ) =
2
1
. (f xx′ ′. Cos ϕ + f xy′ ′. Sen ϕ )
f xx′ ′
51
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Por estar el paréntesis a cuadrado es siempre positivo, entonces el signo
F( ϕ )=signo f ‘’xx . Pero hay una dirección en que se anula el paréntesis, nada se
puede asegurar, decimos que hay casi - extremo.
′ ′ = 0 por ser H = 0 ⇒ f yy′ ′ ≠ 0
2 ) Si f xx′ ′ = 0 ⇒ f xy
(supusimos no nulas todas las derivadas ) ⇒ Analizamos (1) :
′ ′ .Sen 2 ϕ .
F (ϕ ) = f yy
El Sen 2 ϕ será siempre positivo ⇒ signo F (ϕ ) = signo fyy′ ′.
Pero hay direcciones: ϕ = 0; ϕ = π , donde se hace cero y nada se puede
asegurar ⇒ ∃ casi-extremo.
Síntesis
f xx′ ′ > 0 ⇒ ∃ Mínimo
H > 0 ⇒ ∃ extremo 
f xx′ ′ < 0 ⇒ ∃ Máximo
H < 0 ⇒ ∃/ extremo
f xx′ ′ > 0 (o f yy ′ ′> 0 ) ⇒ ∃ casi - Mínimo
H = 0 ⇒ ∃ casi - extremo 
f xx′ ′ < 0 (o f yy ′ ′< 0 ) ⇒ ∃ casi - Máximo
Extremos de una función con variables ligadas
(Extremos ligados o condicionados)
Nos interesa encontrar los extremos de una función cuyas variables no son
independientes. Es decir que queremos determinar los extremos de una
función z =f( x :y), cuando las variables x e y están ligadas por alguna ecuación
ϕ (x ;y)=0. Geométricamente significa encontrar los extremos de la curva
intersección entre la superficie z=f (x ;y) con el cilindro ϕ (x ;y)=0.
52
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Aplicando el teorema de existencia de la función implícita en ϕ (x ;y)=0, si se
cumple la condición
∂ ϕ
≠ 0 ⇒ la ecuación define la función y=y(x) que
∂y
reemplazando en la función tendremos z = f (x ;y(x)), una función que solo
depende de x, determinamos los extremos de esta función.
Condición Necesaria
Derivamos respecto de x, e igualamos a cero:
f x′ . x x′ + fy′. y x′ = 0 ⇒ f x′ + fy′. y x′ = 0
Donde y ‘x la obtenemos de ϕ (x ;y)=0, derivando como función implícita
⇒ y x′ = −
ϕ x′
ϕ y′
 ϕ ′
Re emplazando: f x′ + fy′.  − x  = 0 ⇒ f x′ . ϕ y′ − fy′. ϕ x′ = 0
 ϕ y′
Esta ecuación no basta para obtener las coordenadas x e y del punto crítico,
pero dichas coordenadas deben satisfacer también la ecuación ϕ (x ;y)=0 por
pertenecer el punto critico a la curva, entonces:
53
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f x′ . ϕ y′ − fy′. ϕ x′ = 0 
 Este sistema determina los puntos críticos
ϕ ( x; y ) = 0

Condición Suficiente
Ya vimos que el signo de ∆f estará dado por el signo de d2f entonces:
d 2 f = f xx′ ′. dx 2 + 2 . f xy′ ′. dx . dy + fyy′ ′. dy 2 + fy′. d 2 y
El último término aparece por no ser las variables independientes y dificulta el
análisis del signo de la diferencial segunda, aplicamos el siguiente método.
Método de los multiplicadores de Lagrange2
La primera ecuación del sistema f x′. ϕ y′ − fy′. ϕ x′ = 0
La escribimos de la siguiente manera
f x′ fy′
=
Estos cocientes los podemos igualar a una constante , la llamamos − λ
ϕ x′ ϕ y′
f x′ fy′
=
= −λ
ϕ x′ ϕ y′
fx′ + λ .ϕ x′ = 0
 ′
fy + λ .ϕ y′= 0
Si a este sistema le agregamos la condición de vínculo obtenemos un sistema
que define los puntos críticos
f x′ + λ . ϕ x′ = 0

(1)fy′ + λ .ϕy′ = 0

ϕ ( x; y ) = 0
Este sistema le sugiere a Lagrange la idea de considerar la función:
F ( x ; y ; λ ) = f ( x ; y ) + λ . ϕ ( x; y )
2
Los multiplicadores se llaman así en honor al matemático italo francés Joseph- Louis Lagrange (1736-1813)
54
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Condición Necesaria
Fx′ = f x′ + λ . ϕ x′ = 0

Fy′ = fy′ + λ .ϕ y′ = 0 Coincide con (1) ⇒ define los puntos críticos.

Fλ′ = ϕ ( x; y ) = 0
Condición Suficiente
Analizamos el signo de la diferencial segunda de la función de Lagrange
d 2 F = d 2 f + λ .d 2 ϕ pero ϕ (x; y ) = 0 ⇒ d ϕ = 0 ⇒ d 2 ϕ = 0
Entonces d 2 F = d 2 f
0 (Por la condicion necesaria
′ ′ .dx + 2 .F xy
′ ′ .dx .dy + F yy
′ ′ .dy +
d F = d f = F xx
2
2
2
2
6
474
8
2
F y′ .d y
)
′ ′ .dx 2 + 2 .F xy
′ ′ .dx .dy + F yy
′ ′ .dy 2
Entonces d 2 F = d 2 f = F xx
Expresión que analizada en los puntos críticos dará un Mínimo si es >0 y un
Máximo se es <0. La importancia de utilizar la función de Lagrange reside en la
d2f , cuyo signo dependerá del signo de la derivadas segundas, ya que dx2,dy2
son positivas y dy se puede expresar en función de dx mediante la ecuación
ϕ (x ;y)=0.
55
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Integral Doble
De igual modo que el cálculo del área de recintos planos condujo al concepto
de integral simple, el de volumen conduce a integral doble. Sea f(x ;y) continua
y definida sobre un dominio rectangular R ( a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d )
Si consideramos el valor
máximo y mínimo de la función
continua en el intervalo
rectangular cerrado y con
sendas alturas determinamos
el volumen de los respectivos
prismas.
Ve=fmax (b-a).(d-c)
Vd=fmin (b-a).(d-c)
El volumen que queremos
determinar esta comprendido
entre el Ve (volumen por
exceso) y el Vd (volumen por
defecto).
Aunque esta aproximación no es muy buena, nos permite pensar en construir
una sucesión de aproximaciones cada vez mejores. Si particionamos la
superficie, considerando la siguiente partición:
a=x0 ;x1 ;..............xi ;........xn=b
Llamando ∆ ix=xi+1-xi
c=y0 ;y1 ;..............yj ;........ym=d
Llamando ∆ Jy=yj+1-yj
Sobre la superficie tendremos una partición en ∆ iJS generando los respectivos
∆ iJV. Ahora aproximamos por exceso y por defecto ∆ iJVe=fiJ máx ∆ ix . ∆ J y ;
∆ iJVd=fiJ mín ∆ ix . ∆ J y
Hacemos la sumatoria
n
m
∑ ∑ f ij max . ∆ ix . ∆ j y
i = 0 ℑ= 0
;
n
m
∑ ∑ fij min ∆ ix . ∆ j y
i = 0 ℑ= 0
Esto es una partición, si consideramos sucesivas particiones (por lo menos
una subdivisión mas que la anterior) las aproximaciones serán cada vez
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mejores. De tal forma que ∆ x y ∆ y tienden a cero. Si estos límites existen,
por ser las funciones continuas, entonces coinciden.
n
m
n
m
V= Lim
∑ ∑ fiJ máx ∆ ix . ∆ J y = Lim
∑ ∑ fiJ mín ∆ ix . ∆ J y
∆x → 0
∆x → 0
∆y → 0
i = 0 ℑ= 0
∆y → 0
i = 0 ℑ= 0
A esta operación límite doble de una doble sumatoria la denominamos integral
doble:
V = ∫∫D f ( x ; y) dx dy
Cálculo de la integral doble
Consideramos una partición en el intervalo [a ;b] en x0 ;x1 ;..............xn. El área de
la cara de adelante del ∆ iV es :
d
∫ f ( x ; y ) dy
c
d
Entonces: ∆iV ≅ ∫ f ( x; y) dy. ∆i x
c

57
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Haciendo una sumatoria nos dará un volumen aproximado para cada partición.
En el límite:
d

Lim∑∆iV = Lim∑∫ f ( x; y ) dy.∆i x
∆x→0
∆x→0
i =0
i =0  c

n
V =
n
b d
∫ ∫ f ( x ; y ) dy dx
a c
b
d
a
c
= ∫ dx ∫ f ( x ; y ) dy
Análogamente para una partición en el intervalo [c ;d]
b

∆ iV ≅  ∫ f ( x ; y ) dx  . ∆ Jy
a

Haciendo la sumatoria y el límite
V =
d b
∫ ∫ f ( x ; y ) dx dy
c a
d
b
c
a
= ∫ dy ∫ f ( x ; y ) dx
Para un dominio cualquiera
Para un valor cualquiera de x
entre a y b, la variable y, varia
entre las curvas :y1(x) e y2(x)
b
y2 ( x )
a
y1 x
V =∫
∫( f) (x; y ) dy dx
Para un valor cualquiera de
y entre c y d, la variable x, varia
entre las curvas x1(y) y x2(y)
d
x2 ( y )
c
x1 y
V =∫
∫( f) (x; y ) dx dy
58
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Área plana por integral doble
b y2 ( x )
d x2 ( y )
a y1 x
c x1 y
A= ∫
dx = ∫ ∫ dxdy
∫( dy
)
( )
Área de una superficie alabeada
Hasta ahora hemos calculado áreas planas, nos proponemos calcular cualquier
área del espacio partiendo del conocimiento del cálculo de áreas planas. Sea
z= f(x ;y) una superficie definida en un dominio D.
Particionamos el dominio en
rectángulos de área ∆ i x . ∆ Jy .
Cada rectángulo se puede
considerar como la proyección de
una porción de superficie.
Para obtener una aproximación del
área ∆ iJS trazamos el plano
tangente en cualquier punto de
dicha
superficie.
Tendremos
entonces una superficie formada
por escamas (Rey Pastor).
Entonces ∆ iJ S ≅ ∆ iJ APL TG
(1)
Sabiendo
que:
la
proyección
59
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ortogonal de un polígono cualquiera sobre cualquier plano no perpendicular a
el, tiene como área la del polígono proyectado por el coseno del ángulo de la
inclinación. Entonces:
∆ i x . ∆ J y = ∆ iJ APL TG . Cos n̂k
Reemplazando en (1) : ∆ iJ S
n
m
n
m
Lim ∑ ∑ ∆ iJ S = Lim ∑ ∑
∆x → 0
∆y → 0
∆x → 0
∆y → 0
i = 0 ℑ= 0
S =
D
dx .dy
)
x ; y ) Cos n k
∫∫
(
i = 0 ℑ= 0
≅
∆i x . ∆ℑ y
)
Cos n k
∆i x . ∆ ℑ y
)
Cos n k
(2 )
La ecuación del plano tangente : dz = f x′ . dx + fy′. dy , luego para un punto
cualquiera (x0 ;y0 ;z0) será :
z − z 0 = f x′ . ( x − x 0 ) + fy′. ( y − y 0 )
Desarrollando: − f x′ . x − fy′. y + z + f x′ . x 0 + fy′. y 0 − z 0 = 0
Comparando con la ecuación general del plano: a.x+ b.y+c.z+d=0
Tendremos:
a = − f x′
b = − f y′
c =1
Recordemos de la geometría analítica que los cosenos directores, se expresan:
a
b
c
)
)
)
Cos n i =
Cos n j =
Cos n k =
a2 + b2 +c2
a2 + b2 +c2
a2 + b2 +c2
Entonces:
)
Cosn k =
1
f x′ + fy′ + 1
2
2
Reemplazando en (2):
60
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S=
∫∫
D ( x ;y )
f x′ + fy′ + 1 dx dy =
2
2
∫∫
D ( x ;y )
z x′ + z y′ + 1 dx dy
2
2
Análogamente si proyectamos sobre los otros planos coordenados
S=
S=
∫∫
f x′ + fz′ + 1 dx dz =
∫∫
fy′ + fz′ + 1 dy dz =
D ( x ;z )
D ( y ;z )
2
2
2
2
∫∫
y x′ + y z′ + 1 dx dz
∫∫
x y′ + x z′ + 1 dy dz
D ( x ;z )
D ( y ;z )
2
2
2
2
Nota: Si la superficie esta dada en forma implícita se usan las mismas fórmulas,
calculando las derivadas como se vio en el tema de funciones implícitas.
61
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Integrales Triples
Otra forma de plantear un volumen lo obtendremos utilizando una triple
integración de la siguiente forma:
Particionamos el volumen en pequeños
prismas de lados ∆ x, ∆ y, ∆ z, donde
los ∆ ix son los elementos de la
partición del intervalo [a ;b] en n partes
con i=0,1,2,......n. Los ∆ J y son del
intervalo [c ;d] con j=0,1,2,....m
Los ∆ kz corresponde al intervalo [e ;f]
con k = 0,1,2,...ñ
Entonces ∆ iJkV = ∆ ix . ∆ J y. ∆ kz
Sumando todos los ∆ iJkV tendremos :
n
m
~
n
∑∑∑
i = 0 ℑ= 0 k = 0
n
m
~
n
∆ iJkV = ∑ ∑ ∑ ∆ ix . ∆ J y .
i = 0 ℑ= 0 k = 0
∆ kz = Vaproximado
Tomando ahora las sucesivas particiones con m,n,ñ → ∞ y ∆ x, ∆ y y ∆ z → 0 .
Resulta:
Lim ∑ ∑ ∑ ∆ ix . ∆ J y . ∆ kz =
∆x → 0
→
∆y → 0
∆z → 0
∫∫∫ dx dy dz
=V
V
Expresado en sus integrales reiteradas, considerando el dominio en el plano
(x ;y) :
b y2 ( x ) z2 ( x;y )
V =∫
∫( ) (∫ dz)
a y1 x z1 x;y
d x2 ( y ) z2 ( x;y )
dy dx = ∫
∫( ) (∫ dz) dx dy
c x1 y z1 x;y
Momento estático de un cuerpo respecto a un plano
Como ya sabemos, el momento estático de un cuerpo respecto a un plano es
igual a la masa de dicho cuerpo por su distancia al plano.
Además sabemos que la masa de un cuerpo es igual a la densidad por el
volumen. Particionando el volumen, tendremos:
62
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(1)
∆ iJkm= δ iJk . ∆ iJkV
∆ iJkMzx ≅ ∆ iJkm . yJ (2)
Reemplazando (1) en (2) : ∆ iJkMzx ≅ δ iJk . yJ . ∆ iJkV
Haciendo la triple sumatoria y en el limite
M zx =
∫∫∫ y .δ . dx dy dz
V
Análogamente para los otros planos coordenados
M xy =
∫∫∫ z . δ . dx dy dz
M yz =
V
∫∫∫ x . δ . dx dy dz
V
Momento de inercia de un cuerpo respecto a un plano
Con igual razonamiento que en el caso anterior expresamos los momentos de
inercia respecto a los tres planos coordenados. Recordando que es masa por
distancia al cuadrado.
Entonces:
I xy =
∫∫∫ z . δ . dx dy dz
2
V
I xz =
∫∫∫ y . δ . dx dy dz
2
V
I yz =
∫∫∫ x . δ . dx dy dz
2
V
Nota: Si los momentos los calculamos respecto a los ejes, habrá que variar la
distancia.
Eje x → d = y 2 + z 2
Eje y → d = x 2 + z 2
Eje z → d = x 2 + y 2
Origen → d = x 2 + y 2 + z 2
63
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Un punto cualquiera → d =
(x − x )
2
0
+ (y − y 0 ) + (z − z 0 )
2
2
Centro de Gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto del cual su momento
estático es cero. Dicho de otra forma, el centro de gravedad de un cuerpo, es el
punto ( x G ; y G ; z G ) que verifica que los momentos estáticos respecto a los tres
planos paralelos a los cartesianos que pasan por el, dan cero.
Entonces:
MxGyG = MxGzG = MyGzG = 0
Si calculamos MyG zG tendremos:
My
G zG
=
∫∫∫ ( x − x ). δ . dx dy dz
G
=0 ⇒
V
dz
∫∫∫ x . δ . dx
14dy
24
3 - x ∫∫∫ δ . dx dy dz = 0
G
V
dV
V
Entonces :
xG =
∫∫∫ x .δ dx dy dz
V
∫∫∫ δ dv
V
Análogamente y G =
∫∫∫
y .δ dv
V
∫∫∫ δ
V
dv
zG =
∫∫∫
z .δ dv
V
∫∫∫
δ dv
V
64
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Cambio de coordenadas
Las líneas x e y de las coordenadas cartesianas son rectas, sin embargo en
otros sistemas no lo son, por ejemplo las polares.
Vamos a determinar como debe ser modificado el calculo de la integral doble
para un determinado dominio D, cuando los puntos del plano (x ;y) están
definidas por otro sistema de coordenadas.
 x = x (u; v )
Sea 
 y = y ( u ; v )
El Jacobiano de la transformación será:
ℑ=
∂ ( x; y ) x u′
=
∂ (u; v ) y u′
x v′
y v′
≠0
Recordemos el cálculo del área plana en coordenadas cartesianas
65
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A=
∫∫ dx dy
D ( x;y )
Considerando las nuevas coordenadas:
Si consideramos un punto
coordenadas (x ;y) o (u ;v)
P
de
(
(
r
r
O P=r = xi + yi
Si consideramos los versores tangentes
∂r
∂r
.Podríamos expresar el área
y
∂u
∂v
en forma aproximada:
∂
∂
∂
∆A ≅
∂
∆A ≅
Pero
r
.∆ u x
u
r
x
u
∂ r
x
∂u
∂ r
.∆v
∂v
∂ r
.∆u .∆v (1)
∂v
x u′
∂ r
=
x v′
∂v
y u′
= ℑ
y v′
Reemplazando en (1):
∆A ≅ ℑ ∆u . ∆v
Haciendo la sumatoria y el límite
A=
∫∫
ℑ du dv
D( u ;v )
66
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En general
∫∫ f ( x ; y ) dx dy
=
D( x ;y )
∫∫
D ( u;v )
(
f x ( u;v ) ; y ( u ;v )
) ℑ du dv
Coordenadas cilíndricas
0 ≤ ϕ < 2π
0 ≤ r ≤∞
-∞ < z< ∞
 x = r .Cos ϕ

 y = r.Sen ϕ
z = z

x r′
ℑ = y r′
zr′
x ϕ′
y ϕ′
zϕ′
r = x 2 + y 2

y

ϕ = arcTan
x

z = z

x ′z Cos ϕ
y z′ = Sen ϕ
z z′
0
- r.Sen ϕ
0
r.Cos ϕ
0 = r .Cos 2ϕ + r .Sen 2ϕ = r ⇒ ℑ = r
1
0
67
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Coordenadas esféricas
0 ≤ ϕ < 2π
0 ≤ λ ≤π
0 ≤ ρ < ∞
Como r = ρ .Sen λ
 x = ρ .Sen λ .Cos ϕ
x = r.Cos ϕ 

 ⇒  y = ρ .Sen λ .Sen ϕ
y = r. Sen ϕ 
 z = ρ .Cos λ


ρ = x 2 + y 2 + z 2

y

ϕ = arcTan
x

z

λ = arcCos x 2 + y 2 + z 2

xρ′ xϕ′ xλ′ λ
ℑ = yρ′ yϕ′
zρ′ zϕ′
Senλ.Cosλ − ρ.Senλ.Senϕ ρ.Cosλ.Cosϕ
yλ′ = Senλ.Senϕ ρ.Senλ.Cosϕ ρ.Cosλ.Senϕ =
zλ′
Cosλ
0
− ρ.Senλ
= ρ 2 .Sen3 λ .Cos2ϕ − ρ 2 .Cos2 λSen2ϕ .Senλ − ρ 2 .Cos2 λ .senλ .Cos2ϕ − ρ 2 .sen3 λ .Sen2ϕ =
[
]
= −ρ 2 .Senλ Cos2ϕ (Sen2 λ + Cos2 λ ) + Sen2ϕ (Cos2 λ + Sen2 λ ) = −ρ 2 .Senλ
ℑ = ρ 2 .Senλ
68
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Integral Curvilínea
Sea C una curva del plano que une los puntos A(a1 ;b1) y B(a2 ;b2). Sean P(x ;y) y
Q(x ;y) funciones uniformes definidas en todo punto de C. Subdividiendo C en
n partes, eligiendo (n-1) puntos de la misma : (x1 :y1) ;(x2 ;y2) ;.................(xn-1 ;yn-1)
Llamando ∆ i x = x i +1 − x i ; ∆ i y = y i +1 − y i
Siendo (a1 ;b1)=(x0 ;y0) y (a2 ;b2)=(xn;yn) y considerando puntos de C, (α i ; β )
situados entre ( x i +1 ; y i +1 ) y ( x i ; y i ) ,formamos la siguiente suma.
i
∑ {P(α ; β ) . ∆
n
i
i=0
i
i
x + Q(α i ; β i ) . ∆ i y
}
Si existe le limite de esta suma para n → ∞ , de
modo que todos los ∆ i x , ∆ i y tienden a cero, tal
limite se denomina integral curvilínea a lo largo de
C, y se escribe:
(a2 ;b2 )
∫ P(x; y ) dx + Q(x; y ) dy = ∫ P(x; y ) dx + Q(x,y )dy = ( ∫ P) (x; y ) dx + Q(x; y ) dy
)
AB
c→
a1 ;b1
En forma análoga se puede definir una integral curvilínea a lo largo de una
curva C en el espacio:
Lim ∑ P(α i ; β i ; γ i ) . ∆ i x + Q(α i ; β i ; γ i ) . ∆ i y + R (α i ; β i ; γ i ) . ∆ i z =
n→ ∞
n
→∞
i=0
∫ P( x ; y ; z ) dx
C→
+ Q( x; y; z ) dy + R ( x; y; z ) dz
Calculo de la integral curvilínea
1) Si la ecuación de la curva C del plano, viene dado como y=f(x), la integral
curvilínea se puede calcular haciendo d y =f’x dx
a2
a2
a1
a1
∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫ P( x; f ( x )) dx + ∫ Q( x ; f ( x )) . f ′ . dx
x
C→
69
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2) Si C esta dado por x=g(y), entonces dx=g’ydy
∫
C→
b2
b2
b1
b1
P ( x ; y ) dx + Q (x; y ) dy = ∫ P (g (y ); y ).g ′y dy + ∫ Q (g (y ); y ) dy
3) Si C esta dado por sus ecuaciones paramétricas
dx = ft′dt
 x = f (t )
C
⇒
 y = g (t ) dy = ft′dt
t2
t2
t1
t1
∫ P ( x ; y ) dx + Q(x; y ) dy = ∫ P (f (t ); g (t )).f ′(t ) dt +∫ Q(f (t ); g(t )).g ′(t ) dt
C→
Siendo t1,y t2 los valores de t que corresponden a los puntos A y B
Propiedades de La integral curvilínea
1) El valor de una integral curvilínea depende del arco de curva sobre el cual se
calcule, no cambia si este esta expresado por parámetros distintos.
2) La integral curvilínea relativa a un arco AB es de igual valor absoluto pero de
distinto signo a la misma integral relativa BA
∫
)
A B
=−
∫
o
)
B A
∫
C→
=-
∫
C←
3) La integral curvilínea relativa a un arco C entre A y B se puede descomponer
)
)
en la suma de 2 integrales relativas a los arcos A M y M B
de C.
∫
)
A B
=
∫
)
A M
+
∫
)
M B
Cálculo de una área por integral curvilínea
Convenimos como sentido positivo para recorrer C el
contrario al sentido de las agujas del reloj.
C1 → y = y1 ( x )
C
C2 → y = y 2 ( x )
70
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Análisis Matemático II
b
b
a
a
A = ∫ y2 ( x ) dx - ∫ y1 ( x ) dx (1)
Por análisis 1 sabemos
Calculamos la siguiente integral curvilínea:
∫
y dx =
C→
∫
∫
y dx +
C1 →
b
C2 →
b
∫ y ( x ) dx - ∫ y ( x ) dx
1
2
a
b
a
a
b
y dx = ∫ y1 ( x ) dx + ∫ y 2 ( x ) dx
(2)
a
De (1) y ( 2 ) : A = - ∫ y dx
(I)
C→
Análogamente proyectando en y
C1 → x = x1 ( y )
C
C2 → x = x 2 ( y )
Por análisis 1 :
d
d
c
c
A = ∫ x 2 ( y ) dy - ∫ x1 ( y ) dy ( 3 )
Calculamos la siguiente integral curvilínea
∫
C→
x dy =
∫
De (3) y (4):
∫
x dy +
C1 →
C2 →
c
d
d
d
d
c
c
c
x dy = ∫ x1 ( y ) dy + ∫ x 2 ( y ) dy = - ∫ x1 ( y ) dy + ∫ x 2 ( y ) dy (4)
∫ x dy (II )
A=
C→
Sumando (I) y (II): 2. A = ∫ x dy - y dx
C→
Entonces: A =
1
2
∫
x dy - y dx
C→
71
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Teorema de Green8 en el plano
Si P(x ;y) y Q(x ;y) son funciones continuas, lo mismo que Py′ y Q x′ sobre un
recinto R, limitado por una curva C rectificable, resulta :
∫ P ( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy
=
C→
∫∫ (Q ′
x
R
- Py′) dx dy
Demostración
Dividamos a la curva C en dos arcos C1 y C2 definidos en [a ;b]
C1 → y = y1 ( x )
C
C2 → y = y 2 ( x )
Considerando el 2do término del 2do miembro:
∫∫ P ′ dx dy
y
R
=
b
= ∫ dx
a
y2 ( x )
∫
y1 ( x )
b
Py′ dy = ∫ P ( x; y )
a
y2 ( x )
dx =
y1 ( x )
∫ [ P ( x ; y ( x ) ) − P ( x ; y ( x ) )] dx = - ∫ P ( x ; y ) dx b
2
1
a
C2 →
∫ P ( x ; y ) dx = - ∫ P ( x; y ) dx
C1 →
Entonces: ∫ P ( x ; y ) dx = - ∫∫ Py′ dx dy
C→
C→
(1)
R
Análogamente en el intervalo [c ;d]
Este teorema se llama así en honor a George Green (1793-1841). Green fue un autodidacta ya que era panadero y aprendió
matemáticas por si mismo yendo a una biblioteca. En 1829 publica una obra titulada “ An easy on the application of mathematical análisis
to the theories of electricity and magnetismo” ,de la cual solo se publican 100 copias. En ese libro figuro el teorema y ese libro sirvió de
base para muchos hallazgos de Stokes, Maxwell, Thomson y Rayleigh
72
8
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Análisis Matemático II
C1 → x = x1 ( y )
C
C2 → x = x 2 ( y )
Considerando el 1er termino del 2DO miembro:
d
∫∫ Q x′ dx dy = ∫ dy
R
=
c
x2 ( y )
∫
( )
x1 ( y )
d
∫ [ Q( x ( y ) ; y ) − Q( x ( y ) ; y )] dy = ∫ Q( x ; y ) dy +
d
2
∫
C1 →
1
C2 →
Q ( x ; y ) dy =
Entonces: ∫ Q( x ; y ) dy = ∫∫ Q x′ dx dy
C→
1
c
c
+
x2 ( y )
Q x′ dx = ∫ Q( x; y ) x ( y ) dy =
(2 )
∫ Q( x; y ) dy
C→
R
Sumando (1) y (2):
∫ P ( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy
C→
=
∫∫ (Q ′ − P ′) dx dy
x
y
R
Función Potencial
Cuando trabajamos con funciones de una variable independiente y=f(x)
continua en un dominio, vimos que siempre ∃ función primitiva F(x) /
F(x)= ∫ f ( x ) dx o F’x =f(x) o dF(x)=f (x) dx.
Para el caso de funciones de dos variables independientes nos preguntamos
si dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y) , ∃ U(x ;y) (función potencial o función
primitiva) / U’x =P y U’y =Q o bien
dU(x ;y)=P(x ;y) dx +Q(x ;y) dy o U ( x , y ) = ∫ P ( x , y )dx + Q( x , y )dy
C
Propiedades
1) Si dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y)
a) Si ∃/ U(x ;y) / U’x =P y U’y = Q entonces :
73
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P(x ;y) dx + Q(x ;y) dy se denomina expresión diferencial
b) Si ∃ U(x ;y) / U’x =P y U’y =Q
entonces
P(x ;y) dx + Q(x ;y) dy =dU(x ;y) se denomina expresión diferencial total o
exacta
2) La integral curvilínea de una expresión diferencial depende de la curva C a lo
largo de la cual se calcula
3) La integral curvilínea de una expresión diferencial total o exacta es
independiente del camino
∫ P( x ; y ) dx
+ Q( x; y ) dy =
C
( x 1 ; y1 )
∫
( x0 ; y0 )
dU ( x; y ) = U ( x ; y )
( x1 ; y1 )
( x0 ;y0 )
= U( x1 ; y 1 ) − U( x 0 ; y 0 )
Vemos que no depende de la curva, solo depende de los extremos. Como
consecuencia de esta propiedad podremos asegurar que si la curva es cerrada,
la integral curvilínea será igual a cero.
( x ; y) dx + Q( x; y) dy = 0
∫C P
14444244443
Expresion diferencial total o exacta
Teorema de existencia de función potencial
Dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y) definidas para todos los puntos de un
dominio D de contorno C, con derivadas parciales P’y y Q’x continuas, la
condición necesaria y suficiente par que exista función potencial es que la s
derivadas sean iguales : P’y=Q’x
1) Condición necesaria: Si ∃ función potencial ⇒ Py′ = Qx′
74
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2) Condición suficiente: Si P’y=Q’x ⇒ ∃ función potencial
Demostración
1) ∃ función potencial U(x ;y) / U’x =P
respecto de y, y la 2da respecto de x :
y U’y =Q. Derivamos la 1era igualdad
U xy
′ ′ = Py′ 
eros
 Por Schwarz los 1 miembros son iguales entonces: Py′ = Q x′
U yx
′ ′ = Q x′ 
2) Si P’y=Q’x , Aplicamos el Teorema de Green el el plano
∫ P ( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy
C
=
Q ′ − P ′) dx dy
∫∫ (1
424
3
x
y
D
0
Significa que la integral a lo largo de una curva cerrada es igual a cero.
Consideremos dos puntos del dominio
Por ser
∫
= 0 entonces
C
= 0


∫C + C∫ = 0 

∫ + C∫ = 0  ⇒ C∫
C

. . . . . . . . . . . . . .

+
=
0

∫ C∫
C

∫
+
∫
C1
C2
1
3
1
4
1
n
2
=
∫
C3
=
∫
C4
=.......=
∫
Cn
Esto implica que no depende del camino ⇒ ∃ función potencial.
75
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Análisis Matemático II
Cálculo de la función potencial
Elegimos entre el punto del dominio (a ;b) y otro
genérico (x ;y) el camino mas simple es decir
paralelo a los ejes
C 1 {y = b → dy = 0
C
C 2 {dx = 0
x
y
a
b
U ( x ; y ) = ∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫ P( x; b) dx + ∫ Q( x; y ) dy + C
C
x
y
a
b
U ( x ; y ) = ∫ P( x ; b) dx + ∫ Q( x; y ) dy + C
Si (0 ;0) ∈ al dominio
elegimos : (a ;b)=(0 ;0)
76
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Análisis Matemático II
Función potencial en tres variables
Dadas tres funciones P(x ;y ;z) ,Q(x,y,z) y R(x ;y ;z) definidas en un recinto
simplemente conexo, la condición necesaria y suficiente para que exista
función potencial es que las derivadas cruzadas sean iguales.
Py′ = Q x′
U x′ = P


∋ U ( x; y; z ) / U y′ = Q ⇔ Pz′ = R x′
U ′ = R
Q ′ = R ′
y
 z
 z
Cálculo de la función potencial
y = b → dy = 0
C1 
z = c → dz = 0
dx = 0
C2 
z = c → dz = 0
dx = 0
C3 
dy = 0
U ( x ; y ; z ) = ∫ P ( x ; y ; z ) dx + Q ( x; y; z ) dy + R ( x; y; z ) dz
C
x
y
z
a
b
c
U ( x ; y ; z ) = ∫ P ( x ; b ; c ) dx + ∫ Q( x; y; c ) dy + ∫ R ( x; y; z ) dz + C
77
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Análisis Matemático II
Ecuación diferencial exacta
Es de la forma: P(x ;y). dx + Q(x ;y) .dy =0 con P’y=Q’x
Resolución: Recordemos función potencial
dU(x ;y)= P(x ;y). dx + Q(x ;y) .dy
Entonces la solución de la ecuación diferencial exacta será U(x ;y)=C
Es decir: U ( x ; y ) = ∫a P ( x ; b)dx + ∫b Q( x ; y )dy = C
x
y
Factor integrante
Dada una ecuación diferencial
P(x ;y).dx+Q(x ;y).dy=0 con P ′y ≠ Q ′x
Queremos transformarla en exacta, para ello debemos encontrar una función
u(x) (factor integrante) tal que:
(1) u(x).P(x ;y) dx+u(x).Q(x ;y) dy =0 sea exacta
Si llamamos p(x ;y) = u(x).P(x ;y) ; q(x ;y)= u(x).Q(x ;y)
Se debe cumplir que p’y=q’x (2)
p ′ y = u . P ′y

 u . P ′y = u ′ x . Q + u . Q ′ x
q ′x = u ′x . Q + u . Q ′ x 
esta es una ecuación diferencial
a variables separables, la resolvemos :
u . ( P ′y − Q ′ x ) = u ′x . Q
P ′y − Q ′x du
=
Q
dx
du
P ′y − Q ′ x
dx
∫ u =∫
Q
P ′y − Q ′x
P ′y - Q ′ x
∫ Q dx
Ln u = ∫
dx → u = e
Q
u.
78
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Análisis Matemático II
Si el integrando que nos queda expresado es una función de x, podemos hallar
el factor integrante u(x), luego la reemplazamos en (1) y resolvemos la ecuación
diferencial exacta.
Si el integrando no es una función de x debemos proponer otro factor
integrante u(y) y resolver en forma análoga a la anterior.
u(y).P(x ;y)dx+u(y).Q(x ;y)dy=0 (3)
Llamamos: p(x ;y)=u(y) . P(x ;y) ;
Se debe cumplir p’y=q’x
q(x ;y)=u(y).Q(x ;y)
p ′ y = u ′ y . P + u . P ′y 
 u ′y . P + u . P ′y = u . Q ′ x
q ′x = u . Q ′ x

u ′y . P = u . (Q ′ x − P ′y )
du
Q ′ x − P ′y
= u.
dy
P
du
Q ′ x − P ′y
dy
∫ u =∫
P
Q ′x − P ′y
dy
∫
Q ′ x − P ′y
dy → u = e P
Ln x = ∫
P
Si el integrando es una función de y podemos hallar u(y), la reemplazamos en
(3) y resolvemos la ecuación diferencial exacta.
79
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Análisis Matemático II
Campos escalares y vectoriales
Dada una región del espacio, cuyos puntos están determinados por sus
coordenadas (x ;y ;z) respecto de un sistema cartesiano ortogonal. Una función
ϕ = ( x; y; z ) que cada punto le hace corresponde un escalar que es un valor
que toma la función en cada punto, se denomina función de punto o función
escalar y se dice que define un campo escalar. Ej. : Densidad del aire, presión,
temperatura, etc. Si la función es independiente del tiempo, diremos que el
campo es estacionario or permanente.
(
(
(
Si tomamos un vector: A = A1 ( x; y; z) i + A2 ( x;y;z) I + A3 ( x;y;z) k que aplicada a
cada punto de la región, determina un campo vectorial.
Ej. : La ley de Newton de la gravitación enuncia que la magnitud de la fuerza
gravitacional entre dos objetos, con masa m y M es:
F(x; y; z) = −
(
m. M .G
x +y +z
2
2
2
)
3
(x; y; z)
El campo gravitacional se muestra en la figura de
la derecha
Otros ejemplos: Campo de fuerzas, velocidades, aceleraciones
Gradiente
Dada una función ϕ (x; y; z ) , se denomina gradiente de la función al
(
(
(
vector: ∇ ϕ = ϕ x′ i + ϕ x′ I + ϕ x′ k .Este vector gradiente nos indica la variación
de la función en una dirección determinada.
Propiedades
1) La dirección del vector gradiente de una función ϕ es aquella según la cual
dicha función varía más rápidamente (Recordar derivada direccional)
2) El vector gradiente es en cada punto normal a la superficie de nivel que
pasa por dicho punto. Si consideramos la función escalar u= ϕ (x ;y ;z) la
superficie de nivel estarán dadas por la ecuación ϕ (x ;y ;z)=cte. Consideramos
80
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Análisis Matemático II
unv
desplazamiento cualquiera sobre una superficie
(
(
(
dP = dx i + dy I + dz k , el diferencial de la función será :
de
nivel:
d ϕ = ϕ x′ dx + ϕ y′ dy + ϕ z′ dz = 0 ⇒ d ϕ = ∇ ϕ . dP = 0
Por ser el producto escalar cero, estos vectores son perpendiculares.
Nota: Si ϕ (x,y,z) es una función potencial, las superficie de nivel se denomina
superficie equipotencial.
En la figura de la derecha, se graficado los vectores gradientes en un intervalo
determinado. Como se puede los vectores gradientes son perpendiculares a las
curvas de nivel y a las superficies de nivel apreciar es perpendicular a la
superficie de nivel (ver figura inferior).
En las curvas de nivel de la figura de la izquierda vemos los “vectorcitos “gradientes perpendiculares a dichas curvas. La
figura de la derecha vemos los vectores gradientes perpendiculares a una superficie de nivel. En la figura de abajo los
gradientes perpendiculares a la superficie del cráneo (¿ Recordas la propaganda?
81
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Análisis Matemático II
Circulación
(
(
(
Dado un campo vectorial v = v1 ( x , y , z ) i + v2 ( x , y , z ) I + v3 ( x , y , z ) k
Consideramos una curva C en dicho campo, tendremos un vector del campo
aplicado a cada uno de los puntos de C. Calculamos la integral curvilínea de la
expresión diferencial : v1dx + v 2 dy + v 3 dz , es decir :
v
∫ v dx + v dy + v
1
2
3
dz (1)
c
r
(
(
(
Si consideramos una diferencial de arco : ds = dx i + dy I + dz k , la integral (1)
v r
la podemos expresar : ∫ v . ds ,esta integral se denomina circulación del vector
C
r
v a lo largo de la curva C :
r r
Circul = ∫ v . ds = ∫ v1dx + v 2 dy + v 3dz
C
r C
v
Ejemplo: si
es un campo de fuerzas, la
circulación es el trabajo que realiza una
partícula que se desplaza a lo largo de C. El
gráfico de muestra el campo de Fuerzas
(
(
F ( x , y ) = x 2 i + xy I a lo largo de la curva
(
(
r(t)= Cos t i + Sen t I entre 0 ≤ t ≤ π / 2
El trabajo es negativo, debido a que el campo
obstruye el movimiento a lo largo de la curva.
En general el cálculo de la circulación depende del camino, pero si la expresión
diferencial es exacta, ∃ función potencial, entonces:
U x′

∫C v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz = U ( x , y , z ) / U y′
U ′
 z
= v1
r
v
= v 2 ⇒ v = Grad U
= v3
En este caso el campo se denomina conservativo y la función potencial
determina perfectamente el campo. Esto es muy importante pues generalmente
82
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Análisis Matemático II
no se conoce el camino cuando se quiere hallar la circulación de un campo
vectorial entre dos puntos.
Divergencia
r
(
(
(
Dado un campo vectorial v = v1 ( x , y , z ) i + v 2 ( x , y , z ) I + v 3 ( x , y , z ) k
r
Se llama divergencia de v , a la función escalar:
r ∂ v1 ( x , y , z ) ∂ v 2 ( x , y , z ) ∂ v 3 ( x , y , z )
div v =
+
+
∂ x
∂ y
∂ z
Interpretación física
Consideramos un fluido en movimiento y su respectivo campo vectorial
determinado por el vector velocidad el fluido en cada punto de la región
Campo de velocidades:
(
(
(
r
v = v ( x , y , z ) i + v2 ( x , y , z ) I + v 3 ( x , y , z ) k
1
Consideramos un punto P y un paralelepípedo de lados ∆x , ∆y , ∆z paralelos a
los ejes, sumergido en el fluido. Calcularemos la cantidad de fluido que entra
por cada cara por unidad de tiempo y sale
por la opuesta. Según la dirección del eje x,
la cantidad que entra es el producto de la
componente del campo según esa dirección
por el área de la sección. Es decir:
v 1 ( x , y , z ) . ∆y . ∆z y la que sale por la cara
opuesta es : v 1 ( x + ∆x , y , z ) . ∆y . ∆z
Su diferencia multiplicada y dividida por
∆x es:
∂ v1
v 1 ( x + ∆x , y , z ) − v 1 ( x , y , z )
∆x .∆y .∆z .En el límite
∆x . ∆y . ∆z
∂x
∆x
Análogamente según el eje y es:
y sobre el eje z’ :
∂ v3
∆x . ∆y . ∆z
∂z
∂ v2
∆x . ∆y . ∆z
∂y
83
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Análisis Matemático II
Luego el fluido que se ha creado o consumido en el prisma por unidad de
tiempo es:
v
 ∂ v1 ∂ v 2 ∂ v 3 
+
+

 . ∆x . ∆y . ∆z = div v. ∆v
∂ x ∂ y
∂ z
r cantidad de fluido creado o consumido
Entonces: div v =
∆v
r
La divergencia del vector v en un punto es el cociente entre la cantidad de
fluido que se crea o consume por unidad de tiempo en el volumen elemental y
el mismo volumen cuando este tiende a reducirse a un punto.
Divergencia negativa ⇒ en el prisma se consume fluido, hay un desagüe o
sumidero
Divergencia positiva ⇒ en el prisma se crea fluido, hay una fuente.
Divergencia =0 ⇒ la cantidad que entra es igual a la que sale.
Un campo vectorial cuya divergencia es cero en todo punto se denomina
solenoidal.
Nota: La divergencia de un vector admite diferentes significados físicos según
la que represente el vector.
Rotor
(
(
(
Dado un campo vectorial v = v1 ( x , y , z ) i + v 2 ( x , y , z ) I + v 3 ( x , y , z ) k se
v
denomina rotor de v:
v
v  ∂ v 3 ∂ v 2  (  ∂ v1 ∂ v 3  (  ∂ v 2 ∂ v1  (
rot v = 
−
−
−
 I +
 i +
 k
 ∂z
 ∂y
 ∂x
∂z
∂x
∂y
Que se puede representar por un determinante simbólico:
(
i
(
I
(
k
v
∂
rot v =
∂ x
∂
∂y
∂
∂z
v1
v2
v3
84
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Análisis Matemático II
Interpretación física
Así como la circulación en un campo de fuerzas resulta ser el trabajo, la
circulación en un campo de velocidades de un fluido en movimiento, por
ejemplo, se puede interpretar como la cantidad de fluido que circula alrededor
del camino elegido ya sea abierto o cerrado.. Si tomamos un camino cerrado y
la circulación del campo de velocidades no es nula, ello indica que en una
superficie limitada por la curva, el movimiento tiene un carácter rotatorio. Por
tal razón cuando la circulación se anula sobre todo una curva cerrada, el
movimiento y también el campo se llama irrotacional, pero esa condición
equivale a que exista función potencial, es decir que el campo vectorial sea
conservativo.
Definición
En una región R, consideramos una curva C alrededor del punto P, queremos
definir la rotación en P. Lo logramos a partir de la circulación alrededor de P. La
circulación tendera a cero a medida que
C se contraiga hacia P, pues la curva se
reducirá a un punto y también tendera a
cero el área que dicha curva encierra.
Sin embargo si consideramos el
cociente relativo de esa circulación y el
área que encierra la curva , cuando C
tiende a P, este cociente no tiende
necesariamente a cero y nos dará una medida de la rotación en P. El limite de
este cociente depende de la dirección de la normal a la superficie en el punto,
v
puesto que en el limite la circulación de v a lo largo de C esta en el plano
v
tangente a la superficie en P, plano que esa dirigido por un vector normal n .
Luego ese vector llamado circulación en el punto P o rotor del campo en el
punto P, la definimos a través de su componente normal:
r
r
∫ v . ds
(rot v )n = rot nvv = rot v . n = Lim A→0 C
r
r r
C →P
A
85
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Análisis Matemático II
Operador Nabla : ∇
Se define como ∇ =
∂ ( ∂ ( ∂ (
i +
I +
k , mediante este operador puede
∂x
∂y
∂z
expresarse : gradiente, divergencia y rotor.
Este operador aplicado:
1) A un escalar u = u (x,y,z) resulta el gradiente
 ∂ ( ∂ ( ∂ (
∂ u( ∂u( ∂ u (
∇u = 
i+
I+
k u =
i+
I+
k
∂y
∂z 
∂ x
∂y
∂z
∂ x
2) Escalarmente a un vector , resulta la divergencia
(
)
(
(
( ∂ v1 ∂ v2 ∂ v 3
r  ∂ (
∂ ( ∂ (
∇ . v = 
i +
I +
k . v 1 i + v 2 I + v 3 k =
+
+
∂ y
∂ z 
∂ x
∂ y
∂ z
∂ x
3) Vectorialmente a un vector, resulta el rotor
(
i
v
∂
∇x v =
(
I
(
k
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
v1
v2
v3
Orientación de superficies
Para una curva en el plano fijamos una orientación según las agujas del reloj.
Si la curva es cerrada, al área que encierra le asignamos el signo + cuando al
recorrer su contorno, el interior queda a la izquierda y - cuando queda a la
derecha.
86
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Análisis Matemático II
Si consideramos superficies en el espacio, la convención anterior no sirve
pues varia según se mire desde arriba o desde abajo. Si bien no podemos
asignar un signo al área, si podemos distinguir dos caras, una positiva y una
negativa.
Estas superficies con dos caras se denominan orientables y se definen como
aquellas que para todo punto P de la misma, girando con continuidad e un
mismo sentido sobre la superficie, no puede llegarse a ningún punto de la
misma(o al mismo punto) con sentido contrario. A cada superficie orientable le
corresponde dos superficies o caras orientadas. En cada punto P de estas
v
superficies podemos considerar el vector normal n orientado de modo que
desde su extremo se vea recorrer una curva C alrededor de P dejando su
interior por ejemplo a la izquierda y a esta cara la llamamos positiva S+ y a la
otra S-. Un ejemplo de una superficie no orientable o de una sola cara es la
cinta de Moebius9(se obtiene uniendo los extremos de una cinta o banda
después de girar uno de los extremos 180°)
En el año 1996 se realizo una película argentina, realizada por estudiantes de cine (donde uno de los protagonistas es un actor muy
conocido, Roberto Carnaghi) que se llamo “Moebius”. La misma trataba sobre la perdida de una formación de subte, en el espacio y el
tiempo, en una red donde tenia precisamente un nodo con la forma de la cinta .Se basó en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway
Named Moebius (1950).
87
9
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Análisis Matemático II
Integral de una superficie
Sea S una superficie orientable, u= u (x,y,z) una función definida para todos los
puntos
de
S.
Tomamos
una
partición
de
la
superficie ; ∆ 1 s ; ∆ 2 s ; ....... ∆ n S .Definamos la integral de la función u=u(x,y,z)
sobre una cara de la superficie al :
Limδ →0 ∑ u (α k ; β k ; γ
k
)∆
k
S=
∫∫ u ( x ; y ; z ) dS
S
Donde δ es la norma de la partición; (α k ; β k ; γ k ) es un punto cualquiera de ∆ k S;
con ∆ k S > 0 cuando se considera la cara positiva y ∆ k S < 0 cuando se
considera la cara negativa.
∫∫ u ( x ; y ; z ) dS = - ∫∫ u ( x ; y ; z ) dS
S+
S-
Calculo de la integral de superficie10
Si la superficie esta dada como z=f(x ;y) proyectamos sobre el plano xy
dx dy
∫∫ u ( x ; y ; z ) dS = ∫∫ u ( x ; y ; f ( x ; y ) ) cos n)k pues en área alabeada ya vimos
( )
S
D ( x;y )
dx dy
) con la salvedad para el caso de considerar superficies
cos n k
r
orientadas, que el sentido de n variara según se tome la cara positiva o
)
negativa y de ello dependerá el signo del cos n k .
que dS =
10
Las integrales de superficie se utilizan mucho para calcular en forma numérica los intercambios de calor de tipo radiativos entre
superficies que, por ejemplo, están sometidas a un tratamiento térmico como pueden ser templado y revenido de un producto de acero en
un horno industrial. Esos valores nos permiten luego calcular los flujos de calor en esos productos de acero como ser barras ,
planchones etc.
88
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Análisis Matemático II
Flujo
r
Dado un campo vectorial v , definamos el flujo generado por él, a través de una
superficie A.
r
• Si consideramos un campo v uniforme y un área plana normal a la dirección
r
del campo. Definimos flujo de v sobre A, al producto del área por el modulo
r
del vector : Φ = v . A
• Un campo uniforme y un área no perpendicular a la
r
dirección del campo, definamos al flujo de v sobre A
por su componente normal al área.
r
r (
)
Φ = v n .A = A. v . cos n v = A (v .n )
r
(
(
(
• Un campo vectorial variable v = v1 ( x; y; z) i +v2 ( x; y; z) I +v3 ( x,y,z) k y una
superficie cualquiera. Definamos el flujo elemental correspondiente a un
elemento de superficie ∆S como vn. ∆S , donde vn es la componente normal
r
r
de v al elemento de área ∆S . La suma en el limite definirá el flujo total de v
a través de la superficie S, como :
Φ =
∫∫ v n ds =
S
r
(
v
∫∫ . n ) dS
r
S
Figura: Flujo del campo vectorial F a través de las superficies
89
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Análisis Matemático II
Teorema de Gauss- Ostrogradsky11
r
La divergencia de v en un recinto en el espacio es igual al flujo
r
total de v a través de la superficie que limita el recinto.
r
r (
∫∫∫divV dV = ∫∫(v . n) dS
S
V
D) Sea S una superficie que limita un
volumen V, que puede expresarse como 2
superficies uniformes z1(x ;y) y z2(x ;y)
definidas en un dominio D.
Sea
(
(
(
r
v = v1 ( x , y , z) i + v 2 ( x ; y ; z) I + v 3 ( x ; y ; z) k
un campo vectorial definido en todo V y
sobre S / v1,v2,v3 tienen derivadas continuas
en la región.
1er miembro:
v
 ∂ v1 ∂ v2 ∂ v3 
div
v
dV
=
∫∫∫V
∫∫∫V  ∂ x + ∂ y + ∂ z  dx dy dz
Consideramos el 3er término
∂ v3
dx dy dz = ∫∫ v3 ( x, y, z)
∫∫∫
V ∂x
D
z2 ( x ,y )
z1 ( x ,y )
dx dy =
∫∫ [ v ( x, y, z ( x, y) ) − v [ x, y, z ( x, y) ]dx dy] (1)
3
1
3
2
D
(
(
(
(
(
)
(
(
)
(
)
(
v
.
n
dS
=
v
cos
n
i
+
v
cos
n
j
+
v
cos
n
k)) dS
2
3
∫∫
∫∫ 1
r
S
S
Consideramos el 3ER término
∫∫ v
S
3
(
cos n k dS =
∫∫ v ( x , y , z ) cos
3
S2
(
(
n 2 k dS2 + ∫∫ v 3 ( x , y , z ) cos n1 k dS1
S1
11 El teorema de la divergencia se conoce como el teorema de Gauss, en honor al matemática alemán Carl Friederich Gauss(17771855), quien lo descubrió durante su investigación de la electrostática, En la Europa Oriental, a este teorema se lo conoce como el
teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Mikail Ostrogradsky(1801-1862) quien publico este resultado en 1826
90
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=
∫∫ v ( x, y, z ) dx
3
2
dy -
D
∫∫ v ( x, y, z ) dx
3
1
dy (2 )
D
dx dy

 dS 2 = cos n (k

2
el signo - aparece pues 
 dS = − dx dy(
 1
cos n 1 k
De (1 ) y (2 ) :
∂ v3
∫∫∫ ∂
V
z
.dx dy dz =
∫∫ v
3
π
(
(
n 1 k > ⇒ cos n 1 k < 0
2
(
cos n k dS
S
Análogamente proyectando sobre los otros planos
∂ v1
)
dx
dy
dz
=
v
cos
n
i dS
1
∫∫∫
∫∫
∂x
V
S
∂ v2
)
dx
dy
dz
=
v
cos
n
j dS
2
∫∫∫
∫∫
∂
y
V
S
Sumando miembro a miembro, tendremos la tesis.
Teorema de Stokes 12o del rotor
r
La circulación de un campo vectorial v a lo largo de una curva C, es igual al
r
flujo del rotor de v a través de cualquiera superficie que la tenga por borde.
r r
r (
(
v
.
d
s
=
rot
v
. n) dS
∫
∫∫
C
S
Demostración
El teorema se llama asi en honor al matemático irlandés George Stokes(1819-1903). Stokes fue profesor de la Universidad de
Cambridge, y fue especialmente famoso por sus estudios sobre flujo de fluidos y de la luz. Aunque en realidad el teorema fue descubierto
por William Thomson (1824-1907), Stokes supo de este teorema por una carta de el en 1850 y en 1854 se los dio a los alumnos de la
universidad para que lo demostraran. Se desconoce si alguien lo logro
91
12
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Análisis Matemático II
(
r
(
(
Sea un campo vectorial v = v 1 ( x , y , z ) i + v 2 ( x ; y ; z ) I + v 3 ( x ; y ; z ) k , una
superficie S, bordeada por una curva C. Particionamos la superficie S en ∆ k S
y sus respectivos contornos Ck , fijando el sentido de la circulación y de la
(
normal n según la terna con que se trabaje. Consideramos un punto Pk en cada
∆ k S , aplicamos la definición de rotor por su componente normal (ver
definición de página 84):
r
1 v r
v . ds + ∈k ←infinitésimo∈ ←0 si ∆ S→0
n
∆k S C∫
Despejando la circulación:
r r
r
∫ v . ds = (rot nv ) .∆ k S − ∈k .∆ k S
(rot v )
=
Pk
k
k
k
Ck
Realizando la sumatoria: ∑
Pk
r r
r
∫ v . ds = ∑ (rot nv ) .∆ k S − ∑ ∈k .∆ k S
Ck
Pk
La suma de las circulaciones sobre las Ck nos
dará la circulación a lo largo de la curva C,
pues las correspondientes a las curvas
interiores se anulan al ser recorridas en uno y
otro sentido.
Entonces:
r r
r
∫ v . ds = ∑ (rot nv ) .∆ k S − ∑ ∈k .∆ k S
Ck
Pk
Aplicando límite cuando ∆ k S → 0
r r
r
r (
∫ v . ds = ∫∫ rot nv dS = ∫∫ (rot v . n ) dS
C
S
S
La foto nos muestra un cuadro del tornado de Oklahoma, en 1981. El tornado esta en la dirección del campo rotor
F, donde F es la velocidad del aire (Comentario obtenido de Oliver Knill, profesor de Universidad de Harvard).
92
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Análisis Matemático II
ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO13
Con frecuencia se desea describir el comportamiento e algún sistema o
fenómeno de la vida real en términos matemáticos, dicho sistema puede se
físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un
sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos
objetivos en mente.
La formalización de un modelo matemático e un sistema se inicia:
1) Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema.
Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el
comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del sistema.
2) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que
tratamos describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas
aplicables al sistema.
Aplicaciones
Ley de newton del enfriamiento
Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se
enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del
medio que lo rodea, que es la temperatura ambiente. Si T (t ) representa la
temperatura del objeto en el momento t, Tm es la temperatura constante del
medio que lo rodea y
dT
es la rapidez con que se enfría el objeto. La ley de
dt
Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático:
dT
dT
∝ T - Tm entonces
= k . (T − Tm )
dt
dt
En donde k es una constante de proporcionalidad llamado coeficiente de
transferencia de calor por convección. Como supimos que el objeto se enfría,
se debe cumplir que T >Tm ; en consecuencia lo lógico es que k < 0.
Si la temperatura del objeto es T0 en el momento t0; entonces el modelo del
enfriamiento del objeto puede escribirse de la siguiente forma:
13
Este apunte también los podes bajar de la pagina de la cátedra de dirección www.analisis2.webs.com que figura como “Apunte de
modelado”
93
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Análisis Matemático II
 dT
= k . (T − T m

 dt
T ( t 0 ) = T 0

)
Segunda ley de newton del movimiento
Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de
un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de
Newton. Recordemos de física, que la segunda ley de Newton establece que si
sobre un cuerpo actúan fuerzas externas, este quedara en reposo o se
continuara moviendo con velocidad constante. La segunda ley de Newton
indica que la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza
sobre el e inversamente proporcional a su masa. En forma de ecuación
podemos enunciar la 2da ley de Newton
como:
r
∑F
r
= m. a
La 2da ley de Newton puede enunciarse, rigurosamente, como sigue:
La derivada de la cantidad de movimiento de una partícula, con respecto al
tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre ella.
Cabe aclarar que la cantidad de movimiento (p)
de una partícula se define como
v
r
r
dr
(la derivada del vector posición
p = m. ν (masa por velocidad) y que ν =
dt
r
r dν
respecto del tiempo es igual a la velocidad) y a =
(la derivada de la
dt
velocidad respecto del tiempo es igual a la aceleración).
En consecuencia sean el enunciado tenemos
que:
r
r
r
r
d r v
d
dm r
dν
p=F ⇒
m
.
ν
=
F
.
ν
+
m.
=
F
⇒
( )
(1)
dt
dt
dt
dt
si
la
masar
de
la
partícula
v r
dm
dν
= 0 ∴ m.
= m. a = F ( Ley de Newton)
dt
dt
es
constante,
entonces
Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba desde la terraza de un
edificio ¿Cual es la posición en el momento t ?.Como se ve en la figura,
consideramos que su posición respecto del suelo es s(t).La aceleración de la
piedra es la segunda derivada respecto de la posición , es decir
d 2 s (t )
dt 2
94
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Análisis Matemático II
Para armar el modelo,
siguientes hipótesis:
introduzcamos
las
1) Prescindimos de trabajar vectorialmente.
2) Consideramos a la piedra como una partícula de
masa constante m
3) No hay otra fuerza más que el propio peso
actuando sobre la piedra (se desprecia la
resistencia del aire)
4) La aceleración de la gravedad es constante
Ubiquemos el origen del eje s en el suelo tal como muestra la figura anterior.
La altura del edificio es s0 y la velocidad inicial de la piedra es v0.
El peso de la piedra es P=m.g
d2s
La aceleración de la piedra es la segunda derivada 2 .Si suponemos que la
dt
dirección hacia arriba es positiva, que la masa de la piedra es m y que no hay
otra fuerza, además de la gravedad (g) ,actuando sobre la piedra, la segunda
ley de Newton establece que
d2s
m 2 = − m . g o sea
dt
d2 s
= −g
dt 2
Por lo tanto, la posición de la piedra queda determinada mediante
d 2s
 dt 2 = − g

 s (0 ) = s 0

 s ′ (0 ) = ν 0

Esta ecuación, con condiciones iniciales o de frontera, se pueden resolver
integrando dos veces con respecto a t o bien como una ecuación diferencial
de segundo orden, Las condiciones de frontera determinan las dos constantes
de integración.
95
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Análisis Matemático II
CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento
demográfico humano lo hizo en el año 1798 el economista ingles Thomas
Malthus (1766-1834).
EL modelo de Malthus, en esencia, es la hipótesis de que la tasa de crecimiento
de la población de un país crece en forma proporcional a la población total,
P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras mas
personas haya en el momento t, mas habrá en el futuro.
En términos matemáticos esta hipótesis se puede expresar como
d P (t )
d P (t )
∝ P ⇒
= k.P
dt
dt
Donde k es la constante proporcionalidad que depende del índice de natalidad
y mortalidad.
A pesar de este modelo sencillo no tiene en cuenta muchos factores (por ej.
migración, inmigración) que pueden influir en las poblaciones humanas,
haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de
los Estados Unidos desde 1790 hasta 1860.
Como puede observarse, de las diferentes aplicaciones una ecuación
diferencial sirve para modelar muchos fenómenos distintos
Practica
11b) Solución
Aplicando el modelo de Newton del enfriamiento, se tiene:
 dT
= k . (T − 5 )

 dt
T (1 ) = 12

Resolviendo la ecuación, se tiene:
∫
dT
=
dt
∫ k . dt
⇒ Ln (T − 5 ) = k .T + C ⇒ T = 5 + C . e k .t como T (1 ) = 12 ,
7 = C.e e
12 - 5 = 7 = C.e k y como T ( 5 ) = 6 , 6 - 5 = 1 = C.e 5.k ,es decir 
5 .k
1 = C . e
96
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Análisis Matemático II
De la prim era ,C = 7.C. e k ; reem plazando en la s egunda ,1 = 7. e 4.k ⇒
1
7
 1
 1
Ln   = 4 . k ⇒ k = . Ln   ≅ − 0 .4865 . Luego C = - 0.4865 ≅ 11 .39
7
7
4
e
Por lo tan to la solucion del problem a de ν alor inicial es
T = 5 + 11.39. e -0.4865.t
Para saber cual es la tem peratura el recinto interior, e ν aluam os en T en t = 0
⇒ T = 5 + 11.39 = 16.39
Esta claro que damos por supuesto que cuando t=0, el termómetro se
encuentra en el recinto interior y de inmediato, se lo traslada al ambiente
exterior.
11)d) Solución
El modelo que vamos a resolver es el modelo Malthusiano de población. Para
determinar la constante k, sabemos que P(1800)=5.308
∫
dP
=
dt
∫ k . dt
⇒ Ln P = k. t + C ⇒ P = C . e k..t
Si ubicamos el eje t, e manera que t=0 coincide con 1790. Entonces P(0)=3,929
y P(10)=5,308. Entonces nos queda
 5 ,308  1
C = 3 ,929 ⇒ 5,308 = 3,929.e k.10 ⇒ Ln 
= k ⇒ k ≅ 0 .0301
.
 3 ,929  10
P = 3 ,929 . e k .t
97
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Análisis Matemático II
Año
t
población(P)
Población
(PD)
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
3.929
5.308
7,40
9.638
12,866
17,069
23,192
31,433
38,558
50.136
62,948
75,996
91,972
105,711
122,775
131,669
150,697
3.929
5,308
7,171
9,688
13,088
17,682
23.888
32,272
43,599
58,901
79,574
107,503
145,234
196,208
265,074
358,109
483,798
Predicha Error
P-PD
0
0
0,069
-0.050
-0.222
-0.613
-0.696
-0,839
-5,041
-8,745
-16,626
-31,507
-53,262
-90,497
-142,29
-226,44
-333,10
Error relativo
(P-PD)/P(en
%)
0
0
1
-1
-2
-4
-3
-3
-13
-17
-26
-41
-58
-86
-116
-172
-221
Puede observarse que el modelo se ajusta hasta el año 1860.Probablemente
algún hecho histórico haya ocurrió a partir de ese año, ya que la velocidad de
crecimiento poblacional (derivada) cae considerablemente.
12) Solución
98
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Análisis Matemático II
k1
dA
1
dA
= K1 − A. (k1 + k2 ) ⇒
.
=
−A
dt
k1 + k2 dt k1 + k2
⇒∫
⇒
dA
k1
−A
k1 + k2
 k1

= ∫ (k1 + k2 ).dt ⇒ −Ln
− A = (k1 + k2 ).t + C
 k1 + k2

k1
k1
− A = e −( k +k ) .t .C siendo A( 0) = 0 ⇒ C =
∴
k1 + k2
k1 + k2
A=
1
(
2
k1
. 1 − e −( k +k ) .t
k1 + k2
Si t → ∞ A =
1
2
)
k1
; para que A=1 (toda la lista memorizada) el individuo no
k1 + k 2
debe olvidarse de nada, esto equivale a que k2 =0. Si, por el contrario,
suponemos que el individuo a medida que memoriza se va olvidando, k2 >0;
Por lo tanto, nunca memorizaría la lista completa.
99
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Análisis Matemático II
Actividades pendientes14
10) Un ciclista sube la montaña modelizada por la ecuación
2π ( x 2 + y 2 ) + z = 2π (la superficie es un paraboloide) a lo
largo de una curva intersección de esa superficie
helicoidal, dada por:
x = r Cos(t); y = r Sin(t);z = t / 2 ( 0 ≤ r ≤ 1;0 ≤ t ≤ 4 π )
¿Que trabajo realza el ciclista al dar vueltas desde A hasta
B si la fuerza es
r
F = (k . z ; 3 y 2 ; 2 . x )
1
0.5
0
-0.5
-1
6
4
2
¿Para que valor de k el campo es conservativo? .Es decir
la integral depende solo de los limites de integración y no
del camino
0
1
0.5
0
-0.5
-1
Para calcular el trabajo debemos recurrir al cálculo de la integral curvilínea
T = ∫ F .dS
C
T = ∫ (kz ,3 y 2 ,2 x ).(dx , dy , dz ) =
AB


2

T = ∫ kz
, 3{
y , 2{x .(dx , dy , dz ) = ∫ kzdx + 3 y 2 dy + 2 xdz (1)
{
 F

AB
AB
F
F


1
2
3
Realizando el reemplazo de cada componente de F por las componentes en
forma paramétrica de la superficie helicoidal, nos queda, poniendo las
componentes en función del parámetro t de la siguiente forma:
t
F 1 = kz ; F 1 = k . ; x =
2
14

1

4π
1.Cos(t); dx = 
Cos ( t ) −

4π
t
2 14π

t


1−
Sin ( t )  dt

4π


t
Algunos ejercicios de este apunte “Ejercicios pendientes” también los podes descargar de la página de la cátedra
100
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Análisis Matemático II
t

F 2 = 3 y 2 → F 2 = 3 r 2 Sin 2 ( t ) = 3  1 −
4π


1
 −
t
4π
.Sin ( t ) + 1 −
.Cos
dy = 

4π
t
 2 1−
4π

F 3 = 2 x = 2 r Cos(t) = 2 1 -
t
4π

2
 Sin ( t ) ; siendo



( t )  dt



Cos(t) siendo z =
y =
1-
t
4π
Sin(t)
t
1
→ dz = dt
2
2
La superficie en coordenadas cilíndricas queda expresada como:
z = 2π − 2π r 2
Como debemos expresar lo todo en función de t y luego reemplazarlo en (1)
La expresión queda:
t
t
= 2π − 2π r 2 → despejando r → r = 1 −
2
4π
En (1) la integral queda:
r r
4π
T = ∫ F .ds → T = ∫0 F1 .dx + F2 .dy + F3 .dz
AB
Haciendo los reemplazos en el integrando, la integral a resolver nos queda
 
  Cos(t)
4π  t
T = ∫0 k. −
−
t
2
  8π 1 −
4π
 


  t  2  Sin(t)
t
1 − Sin(t ) + 3.1 − .Sin (t )−
+
t
4π
4
π

 
 8π 1 −


4π


t
1 − Cos(t ) +
4π




t
1 − Cos(t)dt =
4π


T =-0,0685839 .(k-2)
No intentes resolverla a pulmón, se resolvió con el Matemática.
Si se resuelve en función de r, la integral queda de la siguiente forma:
101
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Análisis Matemático II
2
2
2
2
x = r Cos(4π (1− r )) → dx = (Cos(4π (1− r )) + 8π r Sin(4π (1− r )))dr

C = y = r Sin(4π (1− r 2 )) → dy = Sin(4π (1− r 2 )) − 8π r 2Cos(4π (1− r 2 ))dr
z = 2π (1− r 2 ) → dz = −4π r dr

r
F = (kz,3y 2 ,2x ) = (2kπ (1− r 2 ),3r 2Sin2 (4π (1− r 2 )),2rCos(4π (1− r 2 ))
T = ∫0{k 2π (1− r 2 ).[Cos(4π (1− r 2 ))] + 8π r 2Sin(4π (1− r 2 ))] + 3r 2Sin2 (4π (1− r 2 ))
1
[Sin(4π (1− r 2 )) − 8π r 2Cos(4π (1− r 2 ))] + 2r Cos[4π (1− r 2 )).(−4π r )]}dr
Para que la integral solo dependa de los extremos y no del camino, debe
cumplirse las condiciones de simetría en las derivadas parciales de las
componentes del campo. Como estuvimos trabajando con
F1 , F2 , F3 , recorda que T = (P, Q, R )
Px = Q y
Px = 0, Q y = 0 → Px = Q y




y 2 , 2{x  → Q z = 0, R y = 0 → Q z = R y
Q z = R y T =  kz
{ , 3{

P = R
P = k , R = 2 k = 2
F F F 
→
 z
 z
x
x
1
2
3
102
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Figura 1: Un camino “por rectas” más sencillo
Para k=2, F es un gradiente, es decir existe función potencial, por lo tanto es
conservativo.
Si el campo es conservativo, podemos optar por caminos “mas sencillos’’por
ejemplo que coincidan con los ejes o bien un camino que una el punto A con el
B, por ejemplo una recta (ver figura 1).
 z = 2π − 2πx
C
1 ≥ x ≥ 0
T = ∫ kz.dx + 3y 2 .dy + 2x.dz → ∫1 k.zdx + 2x.dz → −∫1 (2πk − 2πkx ).dx +
0
0
AB
2x.(− 2π ).dx → (− 2π .k.x + π .k.x 2 )1 = −2π .k + π .k + 2π − π .k + 2π = π (2 − k )
0
103
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Análisis Matemático II
Ej12)
superficie de un montaña responde a la ecuación
x + y + z = 4 R 2 (S).Sobre una de sus laderas se construya un restaurante
cilíndrico, de radio R, según se muestra en la figura de la siguiente pagina. La
temperatura que irradia la superficie del terreno viene dada por:
2
La
2
T ( x , y , z ) = 3 x 2 + ( y − R ) + 16 z 2
2
v
Se define V a través dev la función densidad de
flujo de calor, como V = − k∇T 15, donde k es
una constante.
v
Calcula el flujo de V a través la superficie de
contacto entre el restaurante y la montaña.
En primer lugar determinamos el gradiente de
T(x,y,z)
∇T ( x , y , z ) = (6 x ,2( y − R ) ,32 z )
v
Luego
reemplazamos
e
n
V
= − k∇T
v
V = − k (6 x ,2 ( y − R ) ,32 z )
Calculamos el gradiente de S
∇S = (2 x ,2 y , z )
El modulo de S es:
∇S = 4 x 2 + 4 y 2 + z 2
Por lo tanto el versor es:
(
n=
(2 x ,2 y ,1)
4 x 2 + 4y 2 + 1
Ahora nos falta dS, que como el Dominio es sobre el plano xy
15
Si aceptamos que el flujo de calor es una cantidad vectorial, esta ecuación no es otra cosa que la ley de
Fourier donde T(x,y,z) es el campo escalar de temperatura . La constante K se denomina conductividad térmica
y se mide en Watt/(m K).La unidad del flujo de calor se mide en Watt/m2.
104
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Análisis Matemático II
dS =
dxdy
(
cos( n z )
dS =
 (2x,2y,1) 

z

dS = 
.
0
,
0
,
1
=
(
)
2
2
2
4x + 4y 2 + 1
 4x + 4y + 1 

4x 2 + 4y 2 + 1
dx dy
1
Ahora
v ( 
 2 x ,2y , z  
12 x 2 + 4y( y − R ) + 32z 


V . n →  − k(6 x ,2( y − R) ,32z ).
 = −k 

4 x 2 4y 2 + 1
 4 x 2 4y 2 + 1  



v (
12 x 2 + 4y( y − R ) + 32z  4 x 2 4y 2 + 1
F = ∫∫ V . n dS → F = ∫∫ − k 
dx dy
.
1
4 x 2 4y 2 + 1


12 x 2 + 4y( y − R ) + 32z 
2
F = ∫∫ − k 
 .dx dy → F = -k ∫∫ (12 x + 4y( y − R ) + 32z )dx dy
144444444244444444
3
1


1
La ecuación del cilindro es x 2 + ( y − R ) = R 2 . Fíjate entonces que el dominio
sobre xy es una circunferencia de desplazada en y.
Es conveniente aplicar las coordenadas polares.
2
La ecuación, al desarrollarla, queda:
x 2 + y 2 − 2 Ry − R 2 = R 2 → x 2 + y 2 = −2 Ry
Sabemos por coordenadas polares que
r 2 = x 2 + y 2 ; y = r Sin(ϕ ) , por lo tanto ,la
ecuacion queda: r = 2R Sin(ϕ )
0 ≤ r ≤ 2 R Sin(ϕ )
Los límites de integración son 
0 ≤ ϕ ≤ π
La expresión (1) nos queda, expresada en coordenadas polares de la siguiente
manera:
105
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F = -k ∫∫ (12 x 2 + 4 y ( y − R ) + 32 z )dx dy
144444444244444444
3
1
π 2 R Sin ( ϕ )
F = −K ∫
0
∫ (12 r
0
2
)
Cos 2 (ϕ ) + 4 rSin(ϕ ) ( y − R ) + 32 ( 4 R 2 − r 2 ) . r{ dr dϕ
ℑ
La integral, con mucha paciencia.....sale, pero en realidad esta ejercicio esta
preparado para plantearlo y “meter” el cálculo en un programa, con
Mathematica, la resolución es:
Si bien el ejercicio no lo pedía, es un buen ejercicio calcular el volumen, por
integral múltiple, del restaurante cilíndrico y el área de dicho recinto
v=
3
π R4 ; A = 3 π R3
2
106