Ejercicio Reto Propiedades de las potencias de

ENCUENTRO # 8
TEMA: Radicales.Propiedades.
CONTENIDOS:
1. Propiedades de las potencias de exponente racional.
2. Radicales.Propiedades.
3. Simplificación de radicales.
4. Operaciones con radicales.
DESARROLLO
Ejercicio Reto
1. ¿En cuál de las siguientes operaciones es incorrecto el resultado de la operación?
30 + 30 + 30
A)
=3
30
0
0
0
3 +3 +3
B)
= 30
3
30 + 30
C)
= 30
30
3+3+3
= 32
D)
30
3+3+3
E) 0
= 2 + 30
0
0
3 +3 +3
2. Al calcular la expresión
B)9 · 102014
A)1
1.8 · 102015
2 · 82014 ·
( )2014 el resultado es
5
4
C)3.6 · 102015
E)9 · 102015
D)9
Propiedades de las potencias de exponente racional
Sea {a; b ∈ R/a > 0 ∧ b > 0} y {m, n, p, q ∈ Z/n > 1 ∧ q > 1}, entonces se cumple que:
m
p
m
m
m
p
1. a n · a q = a n + q
m
m
2. a n · b n = (ab) n
p
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m
m
p
( )m
a
b
n
m p
5. (a n ) q = a n · q
m
p
3. a n ÷ a q = a n − q
m
m
4. a n ÷ b n = (a ÷ b) n =
6. a− n =
m
1
1
m
an
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Ejercicios propuestos
1. Aplica las propiedades de las potencias y simplifica en los casos posibles.
1
1
(a) a 3 · a 2
(e) (x5 )
[
(b) a− 4 · a 6 · a 3
1
4
1
2
2
3
(f) a 2
1
(c) x 3 · x 6 · x 2
− 12
]4
9
3
(g) (2a4 b6 ) 2
1
(h) a− 2 · b− 2
1
(d) (x6 ) 2
1
Radicales
Definición 1. Radicación
Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica
el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de
radicando. Para lo anterior se define:
√
m
n
m = a n , donde a es el radicando(cantidad subradical),m exponente del radicando y
n índice de la raíz.
Ejemplo 2.1.
2
Expresa la siguiente potencia como radical x 3
Solución
La base de la potencia x es la cantidad subradical, su exponente es 2 y el índice de la
raíz es 3.
√
2
3
x 3 = x2
Ejemplo 2.2.
4
Convierte a radical la siguiente expresión 3 5
Solución
La base de la potencia 3 es la cantidad subradical, su exponente es 4 y el índice de la
raíz es 5.
√
√
4
5
5
3 5 = 34 = 81
Ejemplo 2.3.
√
7
Expresa el siguiente radical 23 como una potencia.
Solución
La cantidad subradical es la base de la potencia y su exponente es la división del exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz o sea 37 .
√
3
7
23 = 2 7
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2
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Ejercicios Propuestos
1. Convierte de potencia a radical o viceversa según el caso.
(a)
√
12
√
(e) 6 64
√
4
27
(d)
4
(b) 7 3
1
(g)
√
3
8x6
1
(h) (25y 4 ) 4
1
(c) 81 5
(f) 100 2
Propiedades de los radicales
1
1
1
a n · b n = (a · b) n ⇒
1
1
1
a n ÷ b n = (a ÷ b) n =
(
(
)
1 m
an
)1
1
an
( )1
n
⇒
m
n
⇒
a
b
=a
1
= a n·m ⇒
m
km
a kn = a n ⇒
m
√
√
n
b= na·b
√
√
√
√
n
a ÷ n b = n a ÷ b = n ab
√ m √
( n a) = n am
√ 1
√
( n a) m = n·m a
√
√
kn
akm = n am
√
n
a·
Simplificación de radicales
Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplificar un radical, el exponente de radicando debe ser mayor que el índice del radical.
Ejemplo 3.1.
√
Simplifica 8
Solución
Se descompone el radicando en factores primos.
√
√
8 = 23
El 23 se expresa como 22 · 2 y se aplica la propiedad de los radicales
√
√
√
√
√
√
8 = 23 = 22 · 2 = 22 · 2 = 2 2
√
√ √
n
a·b= na· nb
Ejemplo 3.2.
√
Simplifica 45
Solución
Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar propiedades.
√
√
√
√
√
45 = 33 · 5 32 · 5 = 3 5
√
√
Por tanto 45 = 3 5
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3
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Ejemplo 3.3.
√
Simplifica 3 72
Solución
Se descompone el radicando en factores primos y se simplifica la expresión.
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
72 = 23 · 32 = 23 · 32 = 2 9
Ejemplo 3.4.
√
Simplifica 12 5 96
Solución
Se simplifica el radical y el resultado se multiplica por la fracción para obtener el resultados de la operación.
√
√
√
1√
1√
1
1√
5
5
5
5
5
5
96 =
25 · 3 =
25 · 3 = · 2 · 3 = 3
2
2
2
2
Ejercicios propuesto
1. Simplifica las siguientes expresiones.
√
20
√
(b) 72
√
(c) 3 16
(a)
(d)
(e)
(f)
√
3
√
3
√
180
√
(h) 2 4 405
√
(i) 27 3 648
135
(g)
250
√
162
√
540
√
(k) 25 4 1250
√√
(l) 13
3600
(j)
1
3
Operaciones con radicales
Adición y sustracción
Estas operaciones se puede efectuar si y solo si el índice del radical y el radicando son
iguales(radicales semejantes)
√
√
√
√
n
n
n
n
a d + b d − c d = (a + b − c) d
Ejemplo 4.1.
√
√
Efectúa 2 3 5 + 11 3 5
Solución
Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números que
les antecedes(coeficientes del radica).
√
√
√
√
3
3
3
3
2 5 + 11 5 = (2 + 11) 5 = 13 5
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4
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Ejemplo 4.2.
√
√
√
¿Cuál es el resultado de la operación 2 2 + 7 2 − 4 2?
Solución
Al ser semejantes los radicales solo efectuamos las operaciones con los coeficientes.
√
√
√
√
√
2 2 + 7 2 − 4 2 = (2 + 7 − 4) 2 = 5 2
Ejemplo 4.3.
√
√
Efectúa 34 6 − 16 6
Solución
Se realizan las operaciones con las fracciones y se obtiene el resultado.
(
)
1√
3 1 √
7√
3√
6−
6=
−
6=
6
4
6
4 6
12
NOTA: Si los radicales son no semejantes, no se puede sumar o restar los radicales de
primer instancia, entonces se simplifican si es posible y si resultan semejantes se efectúa
las operaciones, de los contrario se dejan indicadas las operaciones.
Ejemplo 4.4.
√
√
√
¿Cuál es el resultado de 20 + 45 − 80?
Solución
Se simplifica los radicales y se realizan las operaciones.
√
√
√
√
√
√
20 + 45 − 80 = 22 · 5 + 32 · 5 − 24 · 5
√
√
√
√
√
= 2 5 + 3 5 − 22 5 = (2 + 3 − 4) 5 = 5
Ejemplo 4.5.
√
√
Efectúa 3 189 + 3 56
Solución
Se simplifican los radicales, se realizan las operaciones y se obtiene el resultado.
√
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
3
3
189 + 56 = 33 · 7 + 23 · 7 = 3 7 + 2 7(3 + 2) 7
Ejercicios propuestos
1. Realiza las siguientes operaciones.
√
√
3
9 + 16 3 9
√
√
(e) 53 4 7 − 12 4 7
√
√
(f) 8 + 18
√
√
(a) 5 2 − 7 2
√
√
√
(b) 3 + 2 3 + 4 3
√
√
(c) 3 5 + 14 5
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(d)
5
1
3
√
3
9+
1
2
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(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
√
√
12 + 3
√
√
2 5 + 80
√
√
√
4 32 − 7 8 − 3 18
√
√
√
27 + 48 − 45
√
√
√
√
3 12 − 2 5 − 7 3 + 125
√
√
√
√
200 + 50 − 98 − 338
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
√
√
√
192 − 25 75 + 17 147
√
√
√
√
3
2
1
1
176
−
45
+
320
+
275
4
3
8
5
√
√
√
√
3
24 − 3 82 − 3 250 + 3 192
√
√
√
2 3 16 − 2 3 54 + 15 3 375
√
√
√
2 3
250 + 34 3 128 − 13 3 54
5
1
4
Multiplicación
Multiplicación de radicales con índices iguales
Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser
posible se simplifica el resultados
√
√
√
√
n
n
n
a· b· nc= a·b·c
Ejemplo 4.6.
√ √
Efectúa 3 · 5
Solución
Se multiplican los radicandos
√
3·
√
5=
√
√
3 · 5 = 15
Ejemplo 4.7.
√ √ √
¿Cuál es el resultado del producto 6 · 3 · 2?
Solución
Se realiza el producto y se simplifica el resultado.
√ √
√
√
3 · 5 = 6 · 2 · 3 = 36 = 6
Ejemplo
4.8.
( √ )( √ )
Realiza 2 3 4 3 3 10 .
Solución
Se multiplica y simplifica el resultado.
( √ )( √ )
√
√
2 3 4 3 3 10 = (2 · 3) 3 4 · 10 = 6 3 40
√
√
√
3
3
= 6 23 · 5 = 6 23 3 5
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6
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Multiplicación de radicales con índices diferentes
Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta
del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de mínimo
común índice
Ejemplo 4.9.
√ √
¿Cuál es el resultado de 3 2 · 5?
Solución
El mínimo común
es 6, entonces losÒndices de los radicales se convierten a dicho
√ índice√
√
√
√
6
6
3
3·2
2
(2) = 22
5 = 2·3 (5)3 = 53
índice. 2 =
Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación.
√
√
√
√
√
√
√
6
6
6
6
5
3
2 · 5 = 22 · 53 = 22 · 53 = 4 · 125 = 500
Ejemplo 4.10.
√ √
Efectúa 2 · 4 8
Solución
Se descompone el 8 en factores primos y el √
mínimo común índice es 4, por tanto, al
√
√
√
√
4
4
4
2·2
(2)2 = 22
8 = 23
transformar los radicales se obtiene. 2 =
Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado.
√
2·
√
4
√
√
√
√
√
√
√
4
4
4
4
4
4
4
2
3
5
2
8 = 2 · 2 = 2 = 2 · 2 = 24 · 2 = 2 2
Ejercicios propuestos
1. Realiza las siguientes multiplicaciones.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√ √
2· 8
√
√
3
5 · 3 25
√ √
7· 3
√
√ √
15 · 5 · 27
√
√ √
(2 2)(5 6)( 12)
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(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
√
3
√
15 · 3 9
√ √
3· 32
√
√
5
96 · 3 3
√ √
√
2· 32· 42
√
√ √
3
54 · 2 · 4 4
7
√
√
(k) (3 3 4)(2 4 5)
( √ )( √ )
(l) 32 6 62 6 12
( √ )( √ )
(m) 12 6 6 14 3 2
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División de radicales
4.0.1
División de radicales con índices iguales
Se realiza de forma análoga a la multiplicación de radicales con indices iguales.
Ejemplo
4.11.
√
10
Realiza √2
Solución
Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos.
√
√
10
10 √
√ =
= 5
2
2
Ejemplo 4.12.
√
28
¿Cuál es el resultado de 6√63
?
Solución
Se simplifican los radicales y se realiza la operación.
√
√
√
√
7
6 28
6 22 · 7
6 22 · 6·2
√
√ =
= √
= √
=4
3
63
32 · 7
32 · 7
División de radicales con índices diferentes
Se transforman los radicales a una índice común y después se realiza la división.
Ejemplo 4.13.
√
4
8
Halla el cociente de √
3 .
4
Solución
Se transforman los índices de los radicales a 12 y se efectúa la operación.
√
√
√
√
4·3
12
4
9
√
(23 )3
8
29
12 2
12
√
√
√
=
=
=
=
2
12
3
3·4
28
4
29
(22 )4
Ejemplo 4.14.
√
√
3
6
√
¿Cuál es el resultado de 6 12+2
?
2 3
Solución
Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene:
√
√
√
√
√
√
√
3·2
6
√
(2 · 3)2
6 12 + 2 3 6
6 12 2 3 6
12
22 · 32
√
√
√
+
= √ + √ =3
=
3
4
+
2·3
6
3
3
2 3
2 3
2 3 √
33
√3
2
2
4
6 2 · 3
= 3(2) +
=6+ 6
3
3
3
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Ejercicios popuestos
1. Realiza las siguientes operaciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
√
√72
2
√
10
√
5
√
5 √120
6 40
√
3
48
√
3
3
(e)
(f)
(g)
(h)
√
5
16
√
3
4
√
6
√
3
2
√
7
√6
14
3
√
√
200−
√ 50
2
(i)
√
3
√
√
3
2+
2
√
4
2
√
√
√
2+ 3√4− 5 16
8
(j)
(k)
√
6
3−
√ 6
2
Introducir una cantidad a un radical
Para introducir una cantidad en un radical esta se debe elevar a un exponente igual al
índice del radical.
Ejemplo 4.15.
√
Introduce el elemento en el radical 248 .
Solución
√
El divisor se expresa como 2 = 22 y se realiza la operación para obtener el resultado.
√
√
√
√
√
√
√
48
48
48 √
2·3 =
12
=
2
22 · 3 = 2 3
= √ =
=
2
2
2
22
Ejemplo 4.16.
Introduce el factor en el radical.
√
5
a · b 3 c2
Solución
√
5
Se expresa a como a = a5 y luego se multiplican los radicales.
√
√
√
√
5
5
5
5
a · b3 c2 = a5 · b3 c2 · 55 b3 c2
Ejercicios propuestos
1. Introduce el factor en el radical
√
3
6a
√
(f) (a + b) 3 a − b (a > b, b ≥ 0)
√
1
(g) a−b
a2 − b2 (a > b > 0)
√
(a) 5 3
√
(b) x2 y 3 z
√
(c) 2x 3 4y
√
(d) a 6
3x
a2
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(e)
1
x
3
√
(x ≥ 0, a ̸= 0)
(h) (x + y)
9
x−y
x+y
(x > 0, y > 0, x > y)
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Racionalización
Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el
numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente.
Racionalización del denominador
Dada una expresión de la forma
c
√
n m,
a
se racionaliza de la siguiente manera:
√
√
√
√
n
c
an−m
c · n an−m
c · n an−m
c
c · n an−m
√
√
= √
· √
= √
=
=
n
n
n
n
a
am
am n an−m
an
am+n−m
Ejemplo 5.1.
Transforma √13 en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denominador.
Solución
√
√
La fracción √13 se multiplica por 32−1 = 3 tanto denominador como numerador.
√
√
1
1
3
3
√ =√ ·√ =
3
3
3
3
Ejemplo 5.2.
√
Racionaliza la expresión 25 .
Solución
√
√
Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por 52−1 = 5 tanto numerador
como denominador, para obtener el resultado.
√
√
√ √
2
2
5
10
=√ ·√ =
5
5
5
5
Racionalización de un denominador binomio
Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio (a ± b) y alguno o
ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio
(a ∓ b).
c
a∓b
c(a ∓ b)
c
=
·
= 2
a±b
a±b a∓b
a − b2
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Ejemplo 5.3.
Racionaliza la expresión
1
√ .
1+ 2
Solución
√
Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por 1 − 2 que es el
√
conjugado del denominador 1 + 2.
√
√
√
√
√
1
1− 2
3(1 − 2)
3−3 2
3−3 2
√ ·
√ =
√
2−3
=
=
=
3
1−2
−1
1+ 2 1− 2
(1)2 − ( 2)2
Ejemplo 5.4.
7
√ .
Racionaliza la expresión √
5− 3
Solución
Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el resultado.
√
√
√
√
√
√
√
√
7
5+ 3
7( 5 + 3)
7 5+7 3
7
7 5+7 3
√ =√
√ ·√
√ = √
√
√
=
==
5−3
2
5− 3
5− 3
5+ 3
( 5)2 − ( 3)2
Ejemplo 5.5.√
√
3 3−2 2
√ .
Racionaliza √
2 3− 2
Solución
√ √
Se multiplica al numerador y denominador por 2 3+ 2, y se efectúa la simplificación.
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
3 3−2 2
3 3−2 2 2 3+ 2
6( 3)2 + 3 6 − 4 6 − 2( 2)2
√
√ = √
√ · √
√ =
(√ )2
( √ )2
2 3− 2
2 3− 2 2 3+ 2
2
2 3 −
√
√
18 − 6 − 4
14 − 6
=
=
12 − 2
10
Ejercicios propuestos
1. Racionaliza los siguientes denominadores:
2.
√2
5
7.
√
√2
3
12.
3.
√3
3
8.
√
√3
20
13.
4.
5
√
3
3
9.
6
√
3
4
5.
2
√
4
8
10.
√10
20
6.
12
√
6
11.
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√
√
20−
√ 30
5
√
√
45−
√ 20
5
17.
2√
3+ 2
8√
3+ 7
18.
1√
1− 7
14.
√4
6+2
19.
√
15.
√
2+√3
1− 3
20.
√1 √
1+ 2− 3
16.
√
3+√5
2− 5
21.
√2 √
1+ 3+ 5
11
√
5√
2− 5
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