Proyecto Ecuaciones Diferenciales

Proyecto
Ecuaciones Diferenciales
Ing. Rodrigo Alejandro Gutiérrez Arenas
Semestre 2010-II
Instrucciones
El proyecto consiste de dos problemas con varios incisos. Se debe de entregar un reporte detallado
de las respuestas de cada pregunta. El formato del reporte es el siguiente: resumen o introducción
(breve, no más de una cuartilla), desarrollo matemático (hipótesis, modelos matemáticos, consideraciones, etc.), resultados, conclusiones y bibliografı́a (el formato de la bibliografı́a debe ser revisado,
se penalizará aquel trabajo que entregue bibliografı́a inexistente o mal presentada). Todas las gráficas, tablas y figuras deberán de llevar numeración ası́ como una leyenda que indique su contenido,
en cuanto a las gráficas se debe de nombrar todos los ejes y curvas. Todas las fórmulas y modelos
matemáticos deberán de ir numerados. El reporte se entrega en equipos de 4 personas o menos. Para
la evaluación final del proyecto se tomará en cuenta la calificación del reporte y la calificación de un
interrogatorio al azar de un miembro del equipo. Dicho interrogatorio se realizará la clase siguiente
a la entrega del reporte. En caso de no encontrarse la persona que se elija para el interrogatorio
se nombrará otro miembro del equipo (la persona que no se encuentre presente tendrá cero en el
proyecto). Existen tres revisiones previas a la entrega final del reporte escrito, dichas revisiones son
obligatorias.
Advertencia: Todos los proyectos copiados serán penalizados severamente.
Fechas de entrega
12 de febrero de 2010: Presentación del proyecto por parte del profesor y formación de equipos.
10 de marzo de 2010: Primera entrega del reporte del proyecto (Avances del Primer Problema y
del Segundo Problema).
9 de abril de 2010: Segunda entrega del reporte del proyecto (Primer Problema y avances del
Segundo Problema).
12 de mayo de 2010: Tercera entrega del reporte del proyecto (Primer y Segundo Problemas).
26 de mayo de 2010: Entrega final del reporte del proyecto (Todo el proyecto).
28 de mayo de 2010: Interrogatorio final y fin del curso (Todo el proyecto).
Notas
El proyecto cuenta el 50 % de la calificación final.
Todas las entregas son obligatorias. Al no presentar una entrega, pierden el derecho de presentar
las siguientes y por consecuencia el interrogatorio.
Se presentan ejemplos del formato requerido en la página del curso:
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/rodrigoga
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Ecuaciones Diferenciales: Proyecto
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Problema 1
Ecuaciones diferenciales en coordenadas polares
El objetivo de esta parte del proyecto es transformar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
en coordenadas rectangulares a EDO equivalentes en coordenadas polares.
La EDO de primer orden en términos de las variables en coordenadas rectangulares x y y se
escribe como:
dy
= f (x, y) .
(1)
dx
La ecuación anterior (1) puede ser transformada a coordenadas polares r y θ mediante las relaciones mostradas en la figura 1. Las coordenadas polares son útiles en el caso de encontrarse con
curvas solución de tipo elı́pticas o espirales.
Suponga que y = g (x) es una solución de 1; en coordenadas polares dicha relación se convierte
en:
r sin θ = g (r cos θ) ,
(2)
la expresión anterior, define, implı́citamente, que r es una función de θ. Derivando la expresión 2
con respecto a θ y utilizando la regla de cadena se tiene
dg dx
dr
sin θ + r cos θ =
dθ
dx dθ
dr
sin θ + r cos θ
dθ
dr
sin θ + r cos θ
dθ
dr
sin θ + r cos θ
dθ
=
=
=
dr
cos θ − r sin θ
dθ
dr
f (x, y)
cos θ − r sin θ
dθ
dr
f (r cos θ, r sin θ)
cos θ − r sin θ .
dθ
dg
dx
(3)
La ecuación 3 es una EDO de primer orden con variables r y θ que es equivalente a 1. De primera
vista la ecuación 3 puede ser más complicada que la ecuación 1, sin embargo para ciertas funciones
puede ser más sencilla, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1 Aplicando la expresión 3 a la EDO
y−x
dy
=
dx
y+x
se tiene
dr
r sin θ − r cos θ
sin θ + r cos θ =
dθ
r sin θ + r cos θ
(4)
dr
cos θ − r sin θ
dθ
(5)
y simplificando resulta:
dr
= −r,
dθ
resolviendo la ecuación anterior, mediante separación de variables:
dr
r
ln r
(6)
= −dθ
= −θ + c
= ce−θ
r
(7)
donde c es una constante no negativa. Regresando la expresión anterior a coordenadas cartesianas:
x2 + y 2
cuya gráfica se observa en la figura 2.
21
y
= ce− arctan( x )
Ecuaciones Diferenciales: Proyecto
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Figura 1: Coordenadas polares y rectángulares.
Para el caso de un sistema de EDO se sigue un procedimiento similar. Suponemos que (x (t) , y (t))
resuelven el sistema autónomo
x0
=
f (x, y)
0
=
g (x, y) .
y
(8)
Entonces el punto (x (t) , y (t)) en la órbita de la ecuación anterior puede ser representado en coordenadas polares (r (t) , θ (t)), donde x (t) = r (t) cos θ (t) y y (t) = r (t) sin θ (t). Derivando las relaciones
anteriores con respecto a t, utilizando la regla de la cadena y resolviendo para r0 y θ0 se tiene el
sistema equivalente
r0
θ0
=
cos θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ)
1
=
[− sin θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ)] .
r
(9)
Trayectorias ortogonales
Los sistemas coordenados en dos dimensiones más utilizados son los sistemas coordenados ortogonales. Los sistemas más conocidos son el sistema de coordenadas Cartesiano (rectangular) y el
sistema de coordenadas polares. Ambos tienen la propiedad de que al establecer una variable igual a
una constante, produce una familia de curvas (en ocasiones, rectas) que resultan perpendicular a la
familia obtenida al definir la otra variable igual a una constante. En el sistema de coordenadas rectangular las rectas perpendiculares son ejemplos de trayectorias ortogonales (e.g. : y = 3 y x = 2).
Esta situación también puede ocurrir para rectas no horizontales ni verticales o para familias de
curvas.
Las trayectorias ortogonales se explican a partir de las siguientes definiciones:
Definición 2 Se dice que una familia de curvas está parametrizada por λ si la familia está dada
por una relación f (x, y, λ) = 0, donde λ es un parámetro que puede tomar distintos valores.
Definición 3 Supongamos una familia de curvas dada por f (x, y, λ) = 0. Las trayectorias ortogonales a f son una familia de curvas, g (x, y, γ), que intersectan a f en ángulos rectos en todos sus
puntos.
Al hacer uso de la definición 2, es necesario recordar que si dos curvas se intersectan en ángulos
rectos, es decir, son ortogonales, sus tangentes en el punto de intersección son perpendiculares.
Ecuaciones Diferenciales: Proyecto
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Figura 2: Curvas solución del ejemplo 1.
Ejemplo 4 El sistema de coordenadas polares.
Se considera primero la familia de rectas que cruzan el origen parametrizadas por su pendiente,
λ,
y = λx.
(10)
Aquı́ λ es un parámetro que da la pendiente de una recta particular. Se sabe que esta familia de
rectas y la familia de cı́rculos, centrada en (0, 0), forman el sistema de coordenadas polares y que
estas dos familias son ortogonales. Dicha afirmación se puede comprobar de la siguiente forma, en
primer termino se resuelve 10 para λ, resultando
y
λ=
(11)
x
para x 6= 0. Derivando 11 con respecto a x, se tiene (regla de la cadena)
1
dy
0= 2 x
−y
x
dx
o
y
(12)
y0 = .
x
La expresión 12 es la ecuación diferencial para la familia de curvas 10, además cabe mencionar
que es independiente del parámetro λ y que para cada punto (x, y), la pendiente de la recta tangente
de cualquier miembro de la familia de curvas es y/x.
Ahora, dos rectas son ortogonales si el producto de sus pendientes, m1 y m2 es igual a −1,
i.e. : m1 m2 = −1. De este modo, se sabe que si la pendiente de la recta tangente a una curva es m1 ,
entonces la pendiente de la recta tangente a la curva ortogonal a ella será m2 = −1/m1 .
Como consecuencia la pendiente de las rectas tangentes a las curvas ortogonales de 10 será
x
y0 = −
(13)
y
para y 6= 0. La expresión 13 es la ecuación diferencial para la familia de curvas ortogonal a 10. La
ecuación 13 es una ecuación diferencial de primer orden con variable independiente x y variable
dependiente y. Separando las variables e integrando
Z
Z
ydy = − xdx
y2
x2
= − + γ,
(14)
2
2
donde γ es una constante arbitraria. Finalmente se puede concluir que la ecuación 14 es la familia
de curvas ortogonal a la familia de rectas denotada por 10. Esto se ilustra en la figura 3.
Ecuaciones Diferenciales: Proyecto
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Figura 3: Trayectorias ortogonales y = λx y x2 + y 2 = 2γ.
Fluidos (Actividades)
Las lı́neas de flujo para un fluido no comprimible e irrotacional en la región delimitada por dos
rectas perpendiculares, suponga el eje x positivo y el eje y positivo, están dadas por la familia de
hipérbolas
xy = b.
(15)
La situación anterior representa el flujo dentro de una esquina recta. Las trayectorias ortogonales
a las lı́neas de flujo son las lı́neas de potencial de velocidad constante.
1. Demuestre que las lı́neas de velocidad constante también son hipérbolas.
El flujo dentro de una cuña bidimensional de ángulo α : 0◦ ≤ α ≤ 90◦ , tiene lı́neas de flujo en
coordenadas polares, dadas por
π
θπ
α
r sin
= λ,
(16)
d
donde d es una constante de escala y λ es un parámetro.
2. Obtenga el potencial de velocidades asociado para esta situación. Grafique.
3. Ahora haga que α =
π
2
y compare con los resultados del ejercicio 1.
Problema 2
Un oscilador no lineal
Un circuito RLC en serie, es aquel que contiene una fuente de voltaje que produce E (t) Volts,
una resistencia de R Ohms, un inductor de L Henrys y un capacitor de C Farads. Dicho circuito se
muestra en la figura 4.
Para propósito de este problema, se asume que la fuente de voltaje es una baterı́a, i.e., E (t) es
constante. Cabe mencionar que el circuito tiene un interruptor (qué no se muestra en la figura 4)
que determina cuando las mediciones comienzan. Cuando el interruptor es cerrado, la corriente I (t),
medida en Amperes, comienza a fluir. Dicha corriente, también es la tasa de cambio de la carga
eléctrica, Q (t), medida en Coulombs, en el capacitor. De acuerdo a la ley de Kirchhoff de voltaje,
la corriente del circuito está modelada por la ecuación
L
1
dI
+ RI + Q = E.
dt
c
(17)
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Figura 4: Circuito RLC.
Si se deriva la ecuación 17, se tienen una ecuación diferencial lineal de segundo orden y de
coeficientes constantes para la corriente eléctrica:
L
dI
1
d2 I
+R
+ I = 0.
2
dt
dt
C
(18)
La ecuación 18 es una ecuación diferencial homogénea que representa a un oscilador armónico
amortiguado. Considerando que
Q (t)
V = V (t) =
(19)
C
representa la caı́da de voltaje del capacitor, la ecuación 17 se puede representar como un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden:
dI R
E I
− L − L1
dt
L
.
(20)
=
+
1
dV
V
0
0
C
dt
Ahora se considera un circuito diferente, utilizado en los receptores de radio en la de década de
1920 y analizado por Balthazar van der Pol. Este circuito es una malla RLC, pero con reemplazando el
resistor pasivo, R, por un elemento activo. Dicho elemento activo, es un semiconductor, en especı́fico
un diodo de túnel o un diodo Gunn. El circuito en cuestión se muestra en la figura 5. A diferencia
de una resistencia pasiva, que disipa energı́a, un semiconductor opera como si estuviese inyectando
energı́a al circuito a bajas corrientes, pero absorbiendo energı́a a altas corrientes. El intercambio
entra la absorción e inyección de energı́a resulta en una oscilación periódica de voltajes y corrientes.
Si suponemos que una fuente de voltaje se conecta al circuito como se muestra en la figura 5, y el
circuito es energizado, entonces al tiempo t = 0, la fuente externa está apagada, es decir, E (t) = 0.
La caı́da de voltaje en el semiconductor, en lugar de ser una función lineal de I (t), es la función no
lineal
I I2 − a ,
(21)
donde a es un parámetro positivo. Note que la función es negativa para valores pequeños (pero
positivos) de I y positivo para valores grandes. Además, dado que la corriente puede fluir en ambas
direcciones del circuito, todos los cambios de signo de la expresión cúbica 20.
Por conveniencia, se asumirá que las unidades son tales que L y C son igual a 1. En particular,
esto significa que la caı́da de voltaje del capacitor es V = Q y la corriente es I = dv/dt. Tomando
en cuenta las consideraciones anteriores la ecuación 17 presenta la siguiente forma:
dI
+ I I 2 − a + V = 0.
dt
(22)
La expresión 22 es un ecuación diferencial no lineal y es conocida como la ecuación de van der
Pol.
Ecuaciones Diferenciales: Proyecto
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Figura 5: Circuito RLC modificado con una resistencia activa (semiconductor).
1. Escriba la ecuación 22 y la relación entre I y V , como un sistema de ecuaciones diferenciales
de primer orden no lineal para variables dependientes V e I, y variable independiente t. Este
sistema es conocido como el sistema de van der Pol.
Nota: Ver sistema 20.
2. Encuentre el único punto de equilibrio del sistema. Ahora, dicho punto, ¿es estable o inestable?
3. Dependiendo del valor de a, ¿cuáles son los posibles comportamientos del espacio fase cerca
de la solución de equilibrio?
4. Considere a = 0,5. Grafique suficientes órbitas para obtener un espacio fase completo.
5. Describa el comportamiento a largo plazo del sistema para a = 0,5.
Nota: Se debe observar algo que no es posible en un sistema lineal. Este fenómeno es conocido
como ciclo lı́mite (limit cycle).
6. Grafique las curvas solución, I (t) y V (t), con respecto al tiempo.
7. Repita los pasos 4, 5 y 6 para a = 1,0, 1,5, 2,0, 2,5. Describa que cambia en la solución conforme
a incrementa.
8. ¿Qué se puede concluir acerca del punto de equilibrio del sistema de van der Pol?
9. ¿Qué se puede concluir acerca de las soluciones con valores iniciales grandes tanto para la
corriente como para el voltaje?
10. ¿Qué sucede con las soluciones que se encuentran en equilibrio?
11. ¿Cómo cambia el ciclo lı́mite conforme cambia el parámetro a?
12. Para valores grandes de a, el ciclo lı́mite tiene una forma distintiva. Describa las consecuencias
de dicha forma en términos de la corriente y el voltaje del circuito.