Triangulos oblicuangulos - Matias Puello

Triángulos oblicuángulos
Curso 10◦
Escuela Normal Superior la Hacienda
Matı́as Enrique Puello Chamorro
www.matiaspuello.wordpress.com
21 de agosto de 2015
Triángulos oblicuángulos
Curso 10◦
Escuela Normal Superior la Hacienda
Matı́as Enrique Puello Chamorro
www.matiaspuello.wordpress.com
21 de agosto de 2015
Índice
1
Introducción
Índice
1
Introducción
2
Triángulos Oblicuángulos
Índice
1
Introducción
2
Triángulos Oblicuángulos
Introducción
La trigonometrı́a es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos;
etimológicamente significa medida de triángulos.
Introducción
La trigonometrı́a es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos;
etimológicamente significa medida de triángulos.
Las primeras aplicaciones de la trigonometrı́a se hicieron en los
campos de la navegación, la cartografı́a y la astronomı́a, en los que el
principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir,
una distancia que no podı́a ser medida de forma directa, como la
distancia entre la Tierra y la Luna.
Introducción
La trigonometrı́a es la rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos;
etimológicamente significa medida de triángulos.
Las primeras aplicaciones de la trigonometrı́a se hicieron en los
campos de la navegación, la cartografı́a y la astronomı́a, en los que el
principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir,
una distancia que no podı́a ser medida de forma directa, como la
distancia entre la Tierra y la Luna.
Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas
en la fı́sica y en casi todas las ramas de la ingenierı́a, sobre todo en el
estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Índice
1
Introducción
2
Triángulos Oblicuángulos
Triángulos Oblicuángulos
Se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla
de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo
rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No
obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice
expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento
particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que
vamos a ver seguidamente.
Triángulos Oblicuángulos
Se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla
de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo
rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No
obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice
expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento
particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que
vamos a ver seguidamente.
Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y
C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c.
Triángulos Oblicuángulos
A
Triángulos Oblicuángulos
A
B
Triángulos Oblicuángulos
C
A
B
Triángulos Oblicuángulos
C
b
a
B
A
c
Triángulos Oblicuángulos
Triángulos Oblicuángulos
Para resolver especı́ficamente TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, son
utilizados los teoremas del seno y del coseno, los cuales a continuación
serán desarrollados.
Triángulos Oblicuángulos
Para resolver especı́ficamente TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, son
utilizados los teoremas del seno y del coseno, los cuales a continuación
serán desarrollados.
Teorema del seno
Sen A
a
=
Sen B
b
=
Sen C
c
Triángulos Oblicuángulos
Para resolver especı́ficamente TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, son
utilizados los teoremas del seno y del coseno, los cuales a continuación
serán desarrollados.
Teorema del seno
Sen A
a
=
Sen B
b
=
Sen C
c
 2
a = b2 + c2 − 2bc cos A





b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
Teorema del coseno




 2
c = a2 + b2 − 2ab cos C
Triángulos Oblicuángulos
Para resolver especı́ficamente TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, son
utilizados los teoremas del seno y del coseno, los cuales a continuación
serán desarrollados.
Teorema del seno
Sen A
a
=
Sen B
b
=
Sen C
c
 2
a = b2 + c2 − 2bc cos A





b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
Teorema del coseno




 2
c = a2 + b2 − 2ab cos C
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
A + B + C = 180◦
Triángulos Oblicuángulos
CASO
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
I
II
Los tres lados: a,b,c
Un lado y los ángulos adyacentes:
a, B, C
Dos lados y el ángulo formado:
a, b, C
Dos lados y el ángulo opuesto
Los tres ángulos A, B, C
Dos lados y un ángulo: b, c, A
III
IV
Un lado y dos ángulos: c, A, B
Un lado y dos ángulos: c, B, C
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
A
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
A
B
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
A
B
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
C
A
B
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
C
A
B
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
C
A
B
Conociendo los tres lados
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 17 m y c = 22 m
C
a = 15 m
b = 17 m
A
c = 22 m
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
A
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
A
γ = 63,43◦
δ = 40,62◦
B
Conociendo un lado y los ángulos adyacentes
C
a
b
A
γ = 63,43◦
c = 10 cm
δ = 40,62◦
B
Ejercicios de aplicación
Ejercicios de aplicación
Solucionar el 4 PQR si se conoce que p = 5, 4 cm, q = 8, 3 cm y
b = 124◦ 300
R
Ejercicios de aplicación
Solucionar el 4 PQR si se conoce que p = 5, 4 cm, q = 8, 3 cm y
b = 124◦ 300
R
El siguiente triángulo no se puede solucionar explique por qué
b = 97◦ , C
b = 115◦ , b = 12 cm
A