En estas notas escribo la demostración de dos resultados

En estas notas escribo la demostración de dos resultados que no demostramos en clase.
Notación: Anillo = anillo con 1; A-módulo = A-módulo unitario.
Lema 0.1. Sean A un anillo y V un A-módulo. Las siguientes armaciones son equi-
valentes.
(1) V es suma de submódulos irreducibles.
(2) V es completamente reducible.
(3) Si W es un submódulo de V , entonces existe W 0 submódulo de V tal que V =
W ⊕ W 0.
(Nota: en clase vimos la demostración para cuando A = kG, car k 6 ||G|.)
Demostración. (1) ⇒ (2). Supongamos que V = i∈I Vi , con Vi irreducible. Sea J ⊆ I
P
maximal tal que V 0 = j∈J Vj es una suma directa. Si i 6∈ J , entonces Vi ∩ V 0 es un
P
submódulo de Vi , luego es 0 ó Vi . Si Vi ∩ V 0 = 0, entonces V 0 = j∈J∪{i} Vj es directa
contradiciendo la maximalidad de J . Entonces debe ocurrir que Vi ∩ V 0 = Vi , lo que
implica que Vi ⊆ V 0 , para todo i ∈ I . Por lo tanto V 0 = V .
(2) ⇒ (3). Supongamos que V = ⊕i∈I Vi , con Vi irreducible. Tomamos un subconjunto
J ⊆ I maximal tal que (⊕j∈J Vj ) + W es una suma directa. De manera análoga al
párrafo previo se prueba que Vi ⊆ (⊕j∈J Vj ) ⊕ W , para todo i ∈ I . Luego, podemos
tomar W 0 = ⊕j∈J Vj .
(3) ⇒ (1). Para probar esto mostraremos antes dos armaciones.
P
Armación 0.1. Si V satisface (3), entonces cualquier submódulo V0 de V también
lo satisface.
En efecto, si W es un submódulo de V0 , entonces existe W 0 submódulo de V tal que
V = W ⊕ W 0 ; luego V0 = W ⊕ (W 0 ∩ V0 ) y se tiene la armación.
Armación 0.2. Cualquier submódulo no nulo V0 de V contiene un submódulo irreducible.
Sea v0 ∈ V0 , con v0 6= 0, y sea W0 un submódulo maximal de V0 tal que v0 6∈ W0 .
Por la armación anterior, V0 = W0 ⊕ W1 para algún submódulo W1 . Si W1 no es
irreducible, entonces W1 = W2 ⊕ W3 , con W2 y W3 submódulos no nulos de V0 , por
armación anterior. Luego, V0 = W0 ⊕ W2 ⊕ W3 y es claro que v0 6∈ W0 ⊕ W2 ó
v0 6∈ W0 ⊕ W3 , pues v0 6∈ W0 = (W0 + W2 ) ∩ (W0 + W3 ). Pero esto contradice la
maximalidad de W0 . Por lo tanto W1 es irreducible.
Probemos ahora que (3) implica (1). Sea W la suma de todos los submódulos irreducibles de V . Luego, V = W ⊕ W 0 , para algún submódulo de W 0 de V . Si W 0 6= 0,
entonces W 0 contiene un irreducible W 00 ; pero esto dice que W 00 ⊂ W , una contradicción. Por lo tanto W 0 = 0, y W = V , concluyendo la prueba.
1
2
La prueba del siguiente teorema constaba de cuatro pasos. En clase probamos los
dos últimos pasos. Probamos aquí los dos primeros.
Teorema 0.2. Sea k cuerpo, A una k-álgebra de dimension nita y V un A-módulo
irreducible con dimk V < ∞ 1. Entonces V es absolutamente irreducible si y sólo si
EndA (V ) = k.
Demostración. Para probar este resultado se prueba previamente dos reducciones en
los Pasos 1 y 2.
PASO 1: se puede asumir que V es el.
Para a ∈ A se dene aV ∈ Endk (V ) por aV (v) := av , para todo v ∈ V . Luego,
B := {aV | a ∈ A} es una subálgebra de Endk (V ) y el mapa a 7→ aV es un morsmo de
anillos de A en B con núcleo el ideal I := {a ∈ A | aV = 0}.
Armación 0.3. V es un B -módulo el y EndA (V ) = EndB (V ).
Sea aV ∈ B − 0. Luego, existe v ∈ V tal que aV (v) 6= 0, lo que implica que aV V 6= 0.
Por lo tanto, V es un B -módulo el. Por otro lado, es obvio que EndA (V ) = EndB (V ).
Para probar el paso 1 basta probar que V es absolutamente irreducible como Amódulo si y sólo si V es absolutamente irreducible como B -módulo.
Sea F una extensión de cuerpo de k. Mostraremos que V F es irreducible como AF módulo si y sólo si es irreducible como B F -módulo. Sean {v1 , . . . , vn } una k-base de V ,
{a1 , . . . , ar } una k-base de I y {a1 , . . . , ar , . . . , am } una k-base de A. Luego,
dimk B = dimk A − dimk I;
por lo que B tiene una k-base {(ar+1 )V , . . . , (am )V }. Luego, AF tiene una F-base
{1⊗a1 , . . . , 1⊗am } y B F tiene una F-base {1⊗(ar+1 )V , . . . , 1⊗(am )V }. Si i ≤ r, entonces (1⊗ai )(1⊗vj ) = 1⊗ai vj = 1⊗0 = 0, para todo j . Si i > r, entonces
(1⊗ai )(1⊗vj ) = 1⊗ai vj = 1⊗(ai )V vj = (1⊗(ai )V )(1⊗vj ),
para todo j . Esto prueba que AF y B F inducen los mismos elementos en EndF (V F ); por
lo tanto V F es irreducible como AF -módulo si y sólo si es irreducible como B F -módulo.
PASO 2: para cualquier extensión de cuerpo F de k, V F es un AF -módulo el.
Sean {a1 , . . . , am } una k-base de A y {v1 , . . . , vn } una k-base de V , y consideremos
P
{αij,` } escalares tales que ai vj = n`=1 αij,` v` . Luego,
!
m
m X
n
n
m
X
X
X
X
(
βi ai )vj =
βi αij,` v` =
βi αij,` v` .
i=1
1Pedimos
i=1 `=1
`=1
i=1
esto pues nos va a interesar estudiar representaciones de grupos nitos, es decir, Amódulos de k-dimensión nita con A = kG, para G un grupo nito.
3
Luego, V el signica que si m
i=1 βi αij,` = 0 para todo j y `, entonces βi = 0, para
todo i. Usando las F-bases {1⊗ai } de AF y {1⊗vj } de V F , se puede ver de manera
P
análoga a lo anterior que V F será el si m
i=1 γi αij,` = 0, con γi ∈ F, para todo j y `,
entonces γi = 0, para todo i.
P
En efecto, el sistema de n2 ecuaciones m
i=1 αij,` Xi = 0 no tiene soluciones no triviales sobre k, luego hay m eccuaciones linealmente independientes. Por lo tanto, el
determinante de la matriz asociada a dicho sistema es no nulo; esto también es cierto
sobre F. Por lo tanto, el sistema no tiene soluciones no triviales sobre F. Esto prueba
que γi = 0, para todo i.
P