G.1 Definición y operaciones con matrices

Materia: Matemática de 5to
Tema: Definición y Operaciones con Matrices
1) Definición
Marco Teórico
Una matriz consta de datos que se organizan en filas y columnas para formar un
rectángulo. Por ejemplo, podríamos organizar los datos recogidos en un puesto de
comida de cine durante una matinée en la matriz de la siguiente manera:
Ahora podemos comparar fácilmente las cantidades de cada tamaño que se vende.
Estos valores de la matriz se denominan elementos.
Esta matriz en particular tiene dos filas y tres columnas. Las matrices se describen a
menudo en términos de sus dimensiones (filas por columnas). Esta matriz es una
(léase 2 por 3).
Las variables (filas) y (columnas) son las más utilizadas para representar a
dimensiones desconocidas. Las matrices en las que el número de filas igual al número
de columnas
se denominan matrices cuadradas .
Las matrices que tienen las mismas dimensiones y todos los elementos
correspondientes iguales se dice que son matrices iguales .
Ejemplo A
Según la matriz anterior, ¿cuál es el valor del elemento en la segunda fila, segunda
columna?
Solución:
Debemos ver dónde la segunda fila y segunda columna se superponen e identificar el
elemento en esa ubicación. En este caso. es 53.
Ejemplo B
Determinar las dimensiones
de las matrices de abajo.
a)
b)
c)
Solución:
a) Esta matriz tiene 2 filas y 2 columnas. Por lo tanto, es una
matriz.
b) Esta matriz tiene 3 filas y 4 columnas. Por lo tanto, es una
matriz.
c) Esta matriz tiene 3 filas y 1 columna. Por lo tanto, es una
Ejemplo C
¿Qué dos matrices son iguales? Explique su respuesta.
matriz.
Solución:
Las matrices y matrices son iguales. Ellos son ambas
y tienen todos los
mismos elementos. Matriz es una matriz
por lo que incluso a pesar de que
contiene los mismos elementos, que están dispuestos de manera diferente impidiendo
que sea igual a los otros dos.
Para que sea más fácil comparar precios, podríamos organizar los datos en la matriz
como la siguiente:
Ejercicios Resueltos
1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz:
2. En la matriz,
columna?
?
lo que es el elemento de la segunda fila, tercera
3. ¿Son las matrices
y
iguales?
Respuestas
1. Las dimensiones son
.
2. El elemento de la segunda fila, tercera columna es -3 como se muestra a
continuación:
3. No, y no son matrices iguales. Tienen los mismos elementos, pero las
dimensiones no son las mismas.
Palabras Clave
Matriz
Una disposición rectangular de elementos de datos que se presentan en filas y
columnas.
Elementos
Los valores (números) en una matriz.
Dimensiones
El número de filas y columnas, en una matriz.
Matrices cuadradas
Las matrices en la que el número de filas igual al número de columnas, o
Matrices Igualdad
Las matrices que tienen las mismas dimensiones y elementos.
Ejercicios
Utiliza las matrices de abajo para responder a las preguntas 1-7 que siguen:
1. ¿Cuáles son las dimensiones de la
1. Matrix ?
2. Matrix ?
3. Matrix ?
2. Matrices que tienen las mismas dimensiones?
3. Cuyas matrices son matrices cuadradas?
4. Cuyas matrices son iguales?
5. ¿Cuál es el elemento de la fila 1, columna 2 de la matriz
6. ¿Cuál es el elemento de la fila 3, columna 1 de la matriz
7. ¿Cuál es el elemento de la fila 1, columna 1 de la matriz
8. Escribir una matriz de dimensiones
.
9. Escribir una matriz de dimensiones
.
?
?
?
Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
10. A
y una
son iguales.
11. Dos matrices son iguales si cada elemento dentro de las dos matrices son la
misma.
12. Una matriz es una manera de organizar los datos.
13. El elemento de la fila 2, columna 2 de arriba es -1.
14. El elemento de la fila 2, columna 2 de arriba es 6.
15. Organiza los datos en una matriz: Un profesor de matemáticas le dio clase tres
pruebas durante el semestre. En la primera prueba había 10 doctores, 8 B, 12 C,
de 4 D's y 1 F. En la segunda prueba había 8 Atléticos, 11 B, de 14 C, 2 D's y F
de 0. En la tercera prueba había 13 doctores, 7 B, de 8 C, 4 D's y F de 3.
2) Operaciones con Matrices
Marco Teórico
Dos matrices del mismo orden se pueden agregar mediante la suma de las entradas en
las posiciones correspondientes.
Dos matrices del mismo orden se pueden restar restando las entradas en las
posiciones correspondientes.
Se puede encontrar el producto de la matriz
y de la matriz
, si el número de
columnas de la matriz
coincide con el número de filas en la matriz . Otra manera
de recordar esto es cuando se escriben los órdenes de la matriz
y de la matriz
junto a la otra, deben estar conectados por el mismo número. La matriz resultante tiene
el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz.
Para calcular la primera entrada de la
matriz resultante debe coincidir con la
primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz. La
operación aritmética para combinar estos números es idéntica a tomar el producto
escalar entre dos vectores.



El número de la primera fila de la primera columna de la nueva matriz se calcula
como
.
La entrada en la segunda fila de la primera columna de la nueva matriz se
calcula como
.
El resto de las entradas de este producto se quedan con el Ejemplo A.
Propiedades

Commutatividad: se tiene para la adición de la matriz. Esto significa que las
matrices y
se pueden añadir cuando tienen los mismos órdenes, entonces:


Commutatividad: no se sostiene , en general, para la multiplicación de matrices.
La asociatividad es válido para ambos: multiplicación y suma.

Distribución sobre la suma y la resta se mantiene.
Ejemplo A
Rellena las entradas de la multiplicación de la matriz presentada en la sección de
orientación.
Solución: Dos de las operaciones aritméticas se muestran.
Ejemplo B
Demostrar que
Solución:
Ejemplo C
Calcula la siguiente aritmética matricial:
.
Solución: Cuando una matriz se multiplica por un escalar (tal como con
multiplicar cada entrada de la matriz por el valor escalar.
), se debe
Dado que la propiedad asociativa existe, se pueden distribuir los diez o multiplicar por
la matriz
siguiente.
Problema Concepto
La principal diferencia entre el álgebra de matrices y el álgebra regular con los números
es que las matrices no tienen la propiedad conmutativa de la multiplicación. Hay otras
complejidades que las matrices tienen, pero muchos de ellos se derivan del hecho de
que para la mayoría de las matrices
.
Palabras Clave
Las operaciones con matrices son suma, resta y multiplicación. División implica un
inverso multiplicativo que no se discute en este punto.
Ejercicios Resueltos
1. Demuestre que una matriz
identidad funciona como la identidad multiplicativa.
Respuestas:
1. Una
matriz multiplicado por la identidad debe producir la matriz original.
Ejercicios
Haga # 1 - # 11 sin calculadora.
1. Buscar
. Si no es posible, explicar.
2. Buscar
. Si no es posible, explicar.
3. Buscar
. Si no es posible, explicar.
4. Buscar
. Si no es posible, explicar.
5. Buscar
. Si no es posible, explicar.
6. Buscar
. Si no es posible, explicar.
7. Buscar
. Si no es posible, explicar.
8. Buscar
. Si no es posible, explicar.
9. Buscar
. Si no es posible, explicar.
10. Demostrar que
.
11. Demostrar que
.
Practicar el uso de la calculadora para # 12 - # 15.
12. Buscar
.
13. Buscar
.
14. Buscar
.
15. Buscar
.