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ANALISIS EN FRECUENCIA DE SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS
5.1.- SERIES DE FOURIER PARA SEÑALES DISCRETAS EN TIEMPO:
Las mismas motivaciones que nos condujeron al desarrollo de las series y transformadas de Fourier
para señales contínuas, siguen siendo válidas para señales discretas en tiempo: Entre otras ventajas,
si una señal se puede descomponer en suma de exponenciales complejas, cuando esta pase por un
sistema LIT, la salida se calculará fácilmente utilizando el principio de superposición.
Comencemos analizando el caso de señales discretas periódicas. Sea x(n) una señal periódica con
período N
Si queremos representar x(n) en base a funciones del tipo ejnk(2π/N) lo primero que debemos
comprender es que solo existen N distintas ( 0 < k <N-1). Observe y compare:
Como se ve estas dos exponenciales son idénticas. Por lo tanto para representar x(n) necesitaremos
N exponenciales que podrían ser aquellas que se generan tomando 0 < k < N-1 ó 1 < k < N ó A <
k < A+N-1.
Esto se representará como k mod N.
donde k mod N significa que la sumatoria debe barrer , por ejemplo , desde n=0 hasta N-1 o desde
n=1 hasta N o cualquier otro barrido de longitud N.
El valor de Ck se obtiene de la siguiente forma:
-Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por
índice n en un intervalo de N puntos:
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y sumamos de acuerdo al
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Ahora bien la sumatoria
se puede determinar recordando que
Por lo tanto:
De esta forma se despeja Ck quedando igual a :
En conclusión : Cualquier secuencia discreta periódica x(n) de período N, puede construírse en
base a N exponenciales de peso Ck tal y como sigue:
con
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Esto representa la diferencia más fuerte con el caso de series para señales contínuas, donde eran
necesarias infinitas funciones exponenciales para representar en forma exacta la función original.
Ejemplo:
Encuentre la serie de la señal x(n) mostrada en la figura:
Hagamos el cambio n´ = n + N1
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Llamando Ω = 2πk/N , quedaría como:
Esta función es el equivalente del Sinc del caso contínuo pero para tomar en cuenta la
periodicidad, aparece dividida por una función periódica (Seno). La envolvente,
independientemente del valor de N, solo depende de N1 Suponga por ejemplo N 1 = 2 mientras
N=10; la gráfica de los Ck y su envolvente quedaría:
Si se deja el valor de N1 en 2, y N crece hasta 40, la envolvente queda fija solo aumenta el número
de líneas .
5.2 .-PASO DE UNA SEÑAL PERIODICA DISCRETA POR UN SISTEMA LIT
Habíamos visto que si un sistema LIT era excitado por una señal x(n) = ejnθ, la salida y(n) sería:
y(n ) = H(e jnθ )e jnθ
En el caso de que x(n) sea periódica, esto es
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Entonces la salida será:
Ejemplo: Determine la salida de un sistema discreto cuya respuesta en frecuencia es:
a la señal periódica
x (n ) = ∑ δ(n − 4k )
Solución:
La señal x(n) es la siguiente:
Para todos los valores de k
Como
Entonces como
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Calculando los valores de H en cada una de las frecuencias
5.3.- TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
Haremos lo mismo que para el caso contínuo: Formaremos una señal periódica y luego haremos
tender el período a infinito
donde:
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Donde
;
en ese caso xp (n) quedará igual a
Si k barre desde 0 hasta N-1, cuando N tienda a infinito ocurrirá que:
-La sumatoria se convierte en integral
- Ω0 se convertirá en dΩ
-k Ω0 se convertirá en Ω contínua
-Los límites de la integral serán (0 , 2π )
( (2 π /N)k cuando k=N-1 es igual a 2 π (1-(1/N))
Quedará entonces la expresión de x(n) como sigue:
A esta última relación se le conoce como transformada de Fourier para señales discretas (DTFT
por las siglas en inglés). Si la función x(n) es absolutamente sumable, existirá su transformada de
Fourier; pero al igual que en el caso contínuo, encontraremos casos donde sin cumplirse esa
condición existirá la transformada de Fourier.
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Ejemplo: Encuentre la transformada de Fourier de la siguiente secuencia:
Esta señal la podemos llamar
.
Al aplicar la sumatoria y reacomodar términos (parecido al caso de la periódica) quedará:
Por ejemplo para N1= 2
Esta función es contínua en Ω y además, a diferencia del caso contínuo, es periódica con período
2π.
Propiedades de la transformada de Fourier de señales discretas
1) Periodicidad:
2) Linealidad:
3) Desplazamiento en tiempo:
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4) Desplazamiento en frecuencia
5) Diferenciación
6) Integración
La transformada será
7) Cambio de escala
Si la transformada de x(n) es X( Ω), la transformada de x(an) podría no tener relación con la
transformada de x(n), ya que por ejemplo si a es entero y mayor que 1 estaremos tomando solo
unas muestras de x(n). Lo que si se puede determinar es la transformada de la secuencia y(n) =
x(n/a) si n es múltiplo de a, cero en el resto. En este caso , la transformada de y(n) será X(a Ω).
8) Convolución:
Si y(n) = x(n) * h(n), entonces Y( Ω) = X(Ω) H(Ω)
Demostración:
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5.3.1.- Transformada de Fourier de señales discretas periódicas.
Supongamos que queremos determinar a que secuencia corresponde una transformada del
siguiente tipo:
o analíticamente:
como sabemos , x0(n) será:
Una señal periódica está representada por:
Por lo tanto su transformada de Fourier vendría dada por
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Por tanto:
Gráficamente:
Ejemplos:
Determine la DTFT de las siguientes secuencias:
1º
2º
3º
4º
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V
5.4 .-PASO DE UNA SEÑAL APERIÓDICA DISCRETA POR UN SISTEMA LIT
Tal y como se deduce de varias de las propiedades anteriores, es posible encontrar la salida de un
sistema de dos maneras:
y(n) =x(n)*h(n)
Y(Ω)=X(Ω).H(Ω)
Veámoslo mejor con un ejemplo.
Ejemplo:
Determine la respuesta impulsiva del siguiente sistema:
Para encontrar la respuesta impulsiva del sistema primero se obtiene la respuesta en frecuencia y
luego al antitransformar se tendrá la respuesta al impulso.
La respuesta en frecuencia se calculará usando la señal intermedia x1(n).
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Por otra parte
Antitransformando por tablas:
h(n)=(0.5)nCos(πn/4)
5.5.- LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
La transformada de Fourier de señales aperiódicas discretas, resultó ser contínua en Ω y
periódica con período 2π. Esto hace imposible trabajarla dentro de un computador. La solución es
discretizarla. Una forma sería convertirla en una señal periódica de período N y calcularle los
coeficientes de su serie .
Suponga que tenemos la siguiente secuencia x(n)
Al hacerla periódica , podemos determinar los coeficientes de la serie
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Ck =
1
x (n )e − jnk (2π / N )
∑
N n mod N
∞
x (n ) =
∑ C k e jnk (2π / N )
k mod N
Comparando con la transformada de Fourier para señales discretas la cual fue definida como:
X (Ω) =
∞
∑ x (n )e − jΩn
−∞
Si tomamos muestras de esta función en puntos Ω= 2πk/N , y recordando que x(n) solo es no nula
para N puntos,tendríamos:
2πnk
−j
2πk
N = NC
X(
) = ∑ x ( n )e
k
N
n mod N
Al muestrear la transformada en el intervalo 0-2π se obtienen N muestras equidistantes que
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q
q
resultan proporcionales a los Ck .
Definamos la DFT( Discrete Fourier Transform) de x(n) como:
2πnk
−j
2πk
1
N
X(
)=
x
(
n
)
e
∑
N
N n mod N
Debe quedar claro que esto equivale a hacer periódica la secuencia original x(n), por lo
tanto, debemos siempre asegurarnos que el N elegido sea mayor que la duración de la secuencia.
Si se hace crecer N respecto a la duración de la secuencia original, el muestreo en frecuencia se
hace mas fino, es decir habrá mayor resolución. Lo interesante de ésto es que con N muestras en el
dominio de la frecuencia ( k) uno puede regresar y obtener la señal x(n) original aperiódica a través
de la DFT inversa (IDFT):
2πnk
2πk j
x (n ) = ∑ X(
)e N
N
k mod N
5.5.1.- Propiedades de la DFT
1º Linealidad: Sea x1(n) de duración N1. Sea x2(n) de duración N2. Se crea la secuencia x3(n)= a
x1(n) + b x2(n). La DFT de la secuencia x3(n) , la cual llamaremos X3(k) será igual a:
X3(k) = aX1(k) + bX2(k)
y tendrá duración N2 si N2 > N1 ó N1 si N1 > N2 siempre y cuando se busque primero el
máximo entre N1 y N2 , y luego se calcule la DFT con un número de puntos igual al mayor de
los dos.
2º Desplazamiento circular de una secuencia
DFT ( x(n+L) circular) = X(k) e j(2π/N) kL
El desplazamiento circular se realiza recordando que al realizar la DFT estamos convirtiendo a la
secuencia en periódica.
Ejemplo de convolución circular:
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x(n)
x(n-1) circular
2
.
2
1
.0.75.
1
1
.0.75.
1
-1
.0.75.
Se entiende más fácil s
se recuerda la
periodicidad
implícita
.
.-1
.2
.0.75.
.
-1
.2
1
.
-1
.0.75.
.2
.0.75.
.2
.
-1
-1
.
3º- Simetría: Si x(n) es una secuencia real de N puntos, entonces:
Re(X(k))=Re(X(N-k))
Im(X(k))=-Im(X(N-k))
|X(k)|=|X(N-k)|
arg(X(k))=-arg(X(N-k))
4º.- Convolución circular: Cuando se crea el producto de las DFT de dos secuencias x1(n) y
x2(n), la secuencia resultante , que llamaremos x3(n), corresponderá a la convolución circular de
las secuencias x1(n) y x2(n) escaladas por (1/N). Es decir si X3(k)=X1(k)X2(k) , entonces:
Ejemplo: Se desea convolucionar en forma circular las secuencias que se indican:
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h(n) 2
1
.0.75.
x(n)
.
Como hay que crear h(n-k)
en función de k, es más fác
verlo en la versión
periódica
. .0.25
. 0.125
0.5
.-1
1
.0.75.
.2
.0.75.
.2
.2
. 0.75
.
1
.
-1
.
.
-1
x(-k)
.
.
.
.
-1
2
. 0.75.
.2
-1
.2
. .
1
x(-k+1)
.
k
-1
k
-1
Transformacion de una señal contínua en señal discreta
Para crear una señal discreta a partir de una continua, hay que muestrearla con cierta
regularidad. Llamemos xa(t) a la señal continua, y x(n) a la secuencia que resulta de muestrear
cada T segundos la señal analogica.
x(n) = xa(nT)
Recordemos que:
x a (nT ) =
1 ∞
X a (ω)e jωnT dω = x (n )
∫
2π −∞
1 π
x (n ) =
X(Ω)e jΩn dΩ
∫
2π − π
Estas integrales debieran coincidir. Dividamos el rango de integración en pequeños intervalos de
igual longitud 2π/T.
( 2r +1) π / T
1 ∞
x a (nT) =
∑
∫ X a (ω)e
2π r = −∞ ( 2r −1) π / T
jωnT
dω = x (n )
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Hacemos el siguiente cambio de variable:
ω= ω + 2πr/T , e intercambiamos el orden de la sumatoria y la integral:
π
1 T
2πr
∞
2πr j(ω+ T ) nT
x a (nT ) =
X
(
ω
+
)e
dω =
∫ ∑ a
2π π r = −∞
T
−
T
Llamando a Ω/Τ = ω
la integral queda:
1 π1 ∞
Ω 2πr jΩn
x (n ) =
Xa ( +
) e dΩ
∑
∫
2π −π T r =−∞
T
T
así:
1 ∞
Ω 2πr
X (Ω) =
Xa ( +
)
∑
T r = −∞
T
T
X ( ωT ) =
1 ∞
∑ X a (ω + ωs )
T r = −∞
En definitiva, el espectro de la señal discreta es igual al de la señal contínua o analógica repetido
cada fs.
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