actividades_9-2_10-2_9-5_10-5

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones - E³T
“Perfecta combinación entre energía e intelecto”
TRATAMIENTO DE SEÑALES
Actividades de Clase
TEMA: Secciones 9.2 y 10.2
FECHA: Marzo 14 de 2006
En el estudio de la Región de Convergencia para las Transformadas de Laplace y Z se espera que
se desarrollen los siguientes saberes:
TRANSFORMADA DE LAPLACE y TRANSFORMADA Z
SABER
HACER
SER
1. Reconocer la región de 1.
Determinar
las 1. Mostrar interés por la
convergencia (ROC) de la características de la ROC y del temática en su proceso de
Transformada de Laplace y de diagrama de polos y ceros a formación profesional.
la Transformada Z.
partir de las características de
la señal.
2. Ser responsable en los
2. Ilustrar las propiedades de
trabajos
grupales
e
la ROC.
2. Identificar la relación entre individuales.
las características de una señal
3. Ilustrar la relación entre las en el dominio del tiempo a 3. Adaptarse al desarrollo de
características de una señal en partir de las características de actividades en grupo.
el dominio del tiempo y las la transformada de la Laplace
características
de
la o Z (expresión y Región de 4. Generar propuestas de
transformada de la Laplace o Convergencia), y viceversa.
aplicación relacionadas con el
Z, y viceversa.
tema.
1. Sea q(t)=Ax(t)+By(t). Demuestre que Q(s)=AX(s)+BY(s) ¿Qué propiedad tiene la
transformada de Laplace? ¿Cómo se podría determinar la ROC de Q(s) a partir de la ROC de
X(s) y de la ROC de Y(s)?
2. Sea x1 (t ) = u (t ) y x2 (t ) = 3e 2t u (t )
a) Grafique las señales x1 (t ), x2 (t ) y x3 (t ) = x1 (t ) − 3x2 (t )
b) Determine X1(s), X2(s) y X3(s) y grafique sus diagramas de polos y ceros.
c) ¿Qué características tienen la expresión y la ROC de las transformadas de Laplace de las
señales x1 (t ), x2 (t ) y x3 (t ) ? ¿Es posible anticipar estas características sin calcular las
transformadas respectivas?
d) ¿Cómo será la ROC de L{x3(-t)}.
e) ¿Es posible determinar las características de x3(t) a partir de su diagrama de polos y ceros?
3. ¿La Transformada Z bilateral tiene la propiedad de linealidad?
4. Determine la transformada Z bilateral de la señal x[n] = δ [n] .
5. ¿Cómo cambia la ROC de Z {δ [n]} si el impulso se desplaza en el tiempo?
6. Determine Z { polo n .u[n]} y Z {− polo n .u[− n − 1]} . Compares estas transformadas y determine
las razones de estas similitudes y diferencias.
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“Perfecta combinación entre energía e intelecto”
TRATAMIENTO DE SEÑALES
Actividades de Clase
7. Considere la siguiente señal
x[n]
A
4
n
0
¿Qué características se esperan en la expresión y ROC de la Transformada bilateral Z de esta
señal?
Represente esta señal como una sumatoria de impulsos y como una resta de escalones. A partir de
esto calcule la transformada Z como una suma de polinomios y como una fracción racional de
polinomios. A partir de esta última expresión dibuje el diagrama de polos y ceros y la ROC de esta
transformación.
No olviden analizar los resultados, comprobarlos y realizar conclusiones, hipótesis y
observaciones.
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“Perfecta combinación entre energía e intelecto”
TRATAMIENTO DE SEÑALES
Actividades de Clase
TEMA: Sección 9.5
FECHA: Marzo 15 de 2006
En el estudio de las propiedades de la Transformada bilateral de Laplace se espera que se
desarrollen los siguientes saberes:
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA BILATERAL DE LAPLACE (TL)
SABER
HACER
SER
1. Definir las propiedades de 1. Calcular la transformada de 1. Plantear dudas y preguntas
la Transformada de Laplace.
Laplace de señales continuas sobre el tema.
mediante sus propiedades.
2. Fomentar el orden y
2. Deducir algunos pares cuidado de los equipos en el
básicos de TL a partir de la trabajo de laboratorio.
TL del impulso.
3. Respetar las opiniones de
los demás.
La transformada bilateral y su respectiva transformada inversa de Laplace se definen como:
∞
F ( s) =
∫ f (t )e
− s .t
dt ; Ecuación de análisis
−∞
f (t ) =
1
2π
σ 0 + j∞
F ( s )e
jσ ∫
0−
s .t
ds; Ecuación de síntesis
j∞
1. Demuestre que e − st0 X ( s) es la transformación de Laplace de x(t-t0). (Sugerencia:
Utilice la ecuación de síntesis).
2. Demuestre que sX(s) es la transformación de Laplace de dx(t)/dt. (Sugerencia:
Utilice la ecuación de síntesis).
3. Demuestre que X(s-s0) es la transformada de Laplace de e s0 . t x(t ) . (Utilice la
ecuación de análisis)
dX ( s)
4. Demuestre que
es la transformada de Laplace de –t.x(t). (Sugerencia: Use
ds
la Ecuación de análisis).
5. Si X(s)=L{x(t)}, X(p1)=∞ y X(c1)=0. ¿Dónde están los polos y los ceros de
F(s)=X(s-s0)? ¿Es posible obtener la ROC de F(s) a partir de la ROC de X(s)?
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TRATAMIENTO DE SEÑALES
Actividades de Clase
TEMA: Sección 10.5
FECHA: Marzo 16 de 2006
En el estudio de las propiedades de la Transformada Z bilateral se espera que se desarrollen los
siguientes saberes:
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA BILATERAL Z (TZ)
SABER
HACER
SER
1. Definir las propiedades de 1. Calcular la transformada Z 1. Cuestionar los resultados
la transformada Z.
de señales discretas mediante del trabajo individual y grupal
sus propiedades.
2. Identificar y formular
2. Deducir algunos pares soluciones
a
posibles
básicos de TZ a partir de la problemas relacionados con la
TZ del impulso.
temática.
La transformada bilateral y su respectiva transformada inversa Z se definen como:
∞
F ( z) =
∑ f [ n] z
−n
; Ecuación de análisis
n = −∞
1.
2.
3.
4.
5.
6.
 1 
F ( z) n
 ∫
f [n] = 
z dz; Ecuación de síntesis
 2π j  r0 ∈ RF z
Demuestre que z − n0 X ( z ) es la transformación Z de x[n-n0]. (Sugerencia: Utilice la
ecuación de síntesis).
Demuestre que (1-z-1)X(z) es la transformación Z de x[n]-x[n-1]. (Sugerencia:Utilice la
propiedad de convolución).
Demuestre que X(z/z0) es la transformada Z de z0n x[n] . (Sugerencia: Utilice la ecuación
de análisis)
dX ( z )
Demuestre que − z
es la transformada Z de n.x[n]. (Sugerencia: Use la Ecuación
dz
de análisis).
Si X(z)=Z{x[n]}, X(p1)=∞ y X(c1)=0. ¿Dónde están los polos y los ceros de
F(z)=X(z/z0)? ¿Es posible obtener la ROC de F(z) a partir de la ROC de X(z)?
Encuentre la transformada inversa lateral derecha de las siguientes transformadas:
a) X ( z ) =
(1 + 2 z ) (1 + 4 z )
−1 2
−1
z −1 (1 + 9 z −1 + 18 z − 2 )
(1 + 3z )
(1 + 5z ) (1 + 2 z )
z (1 + 3 z )
c) X ( z ) =
(1 + 2 z ) (1 + 2 z + 2 z )
b) X ( z ) =
−1
−1 4
−1
−2
−1 2
−1 2
−1
−2
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