Casos Detallados

EJERCICIOS SOBRE PROGRMACIÓN LINEAL RESUELTOS POR EL
MÉTODO SIMPLEX.
1. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción
lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamblaje y
distribución de $18, $8 y $14 respectivamente.
La distribución de los insumos a los productos se resume en la siguiente
tabla:
Producto 1 Producto 2 Disponibilidad
Fundición
1
3
18
Ensamblaje
1
1
8
Distribución
2
1
14
Beneficio
1
2
Determinar la combinación a producir que maximice los beneficios.
DESARROLLO
a. Variables de Decisión
X = Producto 1
Y = Producto 2
b. Función Objetivo
Z = X + 2Y (max)
c. Restricciones
X + 3Y ≤ 18
X+Y≤8
2X + Y ≤ 14
d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.
X + 3Y + 1H1 + 0H2 + 0H3 = 18
X + Y + 0H1 + 1H2 + 0H3 = 8
2X + Y + 0H1 + 0H2 + 1H3 = 14
e. Función objetivo a cero
Z - X - 2Y = 0
f. Tabla e iteraciones
X
Y
H1 H2 H3 V.S.
H1
1
3
1
0
0
18
(6)
H2
1
1
0
1
0
8
(8)
H3
2
1
0
0
1
14
(14)
Z
-1
-2
0
0
0
0
X
Y H1
Y
1/3
1
1/3
0
0
6
(18)
H2
2/3
0 -1/3
1
0
2
(3)
H3
5/3
0 -1/3
0
1
8
(4.8)
Z
-1/3 0
1
0
12
2/3
H2 H3 V.S.
X Y H1
H2
Y
0
1 1/2
-1/2
0
5
X
1
0 -1/2
3/2
0
3
H3 0
0
1/2
-5/2
1
3
Z
0
1/2
1/2
0
13
0
H3 V.S.
g. Respuesta
El beneficio máximo es de $ 13. Para la producción se necesita 3
unidades del producto 1 y 5 unidades del producto 2.
2. Un granjero posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la
semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tienen un coste
de $6 por hectárea. El coste total de mano de obra es de $20 y $10 por
hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de
trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en
semillas ni más de $1500 en mano de obra. ¿Cuántas hectáreas de cada
uno de los cultivos debe plantearse para obtener la máxima ganancia?
Trigo Alpiste Disponibilidad
Semillas
4
6
480
Mano de Obra
20
10
1500
Beneficio
110
150
DESARROLLO
a. Variables de Decisión
X = Trigo
Y = Alpiste
b. Función Objetivo
Z = 110X + 150Y (max)
c. Restricciones
4X + 6Y ≤ 480
20X + 10Y ≤ 1500
d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.
4X + 6Y + 1H1 + 0H2 = 480
20X + 10Y + 0H1 + 1H2 = 1500
e. Función objetivo a cero
Z - 110X - 150Y = 0
f. Tabla e iteraciones
X
Y
H1 H2 V.S.
H1
4
6
1
0
480
H2
20
10
0
1
1500 (150)
0
0
Z
-110 -150
Y
X
Y H1
2/3
1
0
H2 V.S.
1/6
0
80
H2 40/3 0 -5/3
1
700
Z
0
12000
-10
0
25
X Y H1
H2
V.S.
Y 0
1 1/4
-1/20
45
X 1
0
-1/8
3/40
105/2
Z
0 95/4
3/4
12525
0
(80)
g. Respuesta
El máximo beneficio es de $12525. Para el cultivo se necesita 105/2
hectáreas para trigo y 45 hectárea para el alpiste.
3. Establecer las restricciones, funciones y explique cómo calcula el máximo
beneficio de un empresa que produce 2 bienes x e y sujeto a los siguientes
datos.
X
Y
CAPACIDAD
Mano de Obra
3
6
60
Materias Primas
4
2
32
Materiales
1
2
16
Beneficio
20 24
DESARROLLO
a. Variables de Decisión
X EY
b. Función Objetivo
Z = 20X + 24Y (max)
c. Restricciones
3X + 6Y ≤ 60
4X + 2Y ≤ 32
X + 2Y ≤ 16
d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.
3X + 6Y + 1H1 + 0H2 +0H3 = 60
4X + 2Y + 0H1 + 1H2 +0H3 = 32
X + 2Y + 0H1 + 0H2 +1H3 = 16
e. Función objetivo a cero
Z - 20X - 24Y = 0
f. Tabla e iteraciones
X
Y
H1 H2 H3 V.S.
H1
3
6
1
0
0
60
(10)
H2
4
2
0
1
0
32
(16)
H3
1
2
0
0
1
16
(8)
0
0
0
0
Z
-20 -24
X
Y H1 H2 H3
V.S.
H1
0
0
1
0
-3
12
H2
3
0
0
1
-1
16
(5.33)
Y
1/2 1
0
0
1/2
8
16
Z
-8
0
0
12
192
X
0
Y H1 H2
H3
V.S.
H1 -3 0
1
-1
-2
-4
X
1
0
0
1/3
-1/3
16/3
Y
0
1
0
-1/6
2/3
16/3
Z
0
8
0
0
52/3 704/3
g. Respuesta
El máximo beneficio es de $234.67. Para la producción necesita 16/3 de
los dos bienes.
4. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g
de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €. La de tipo B se vende a 30 € y
lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal,
¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo
beneficio?
Tipo A Tipo B Disponibilidad
Oro
1
1.5
750
Plata
1.5
1
750
Beneficio
25
30
DESARROLLO
a. Variables de Decisión
X = Tipo A
Y = Tipo B
b. Función Objetivo
Z = 25X + 30Y (max)
c. Restricciones
X + 1.5 ≤ 750
1.5X + Y ≤ 750
d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.
X + 1.5Y + 1H1 + 0H2 = 750
1.5X + 1Y + 0H1 + 1H2 =750
e. Función objetivo a cero
Z - 25X - 30Y = 0
f. Tabla e iteraciones
X
H1
Y
1
H2 1.5
Z
1.5
1
0
750
(500)
1
0
1
750
(750)
0
0
0
-25 -30
X
Y
H1 H2 V.S.
Y H1
2/3 1
H2 V.S.
2/3
0
500
(750)
H2 5/6 0 -2/3
1
250
(300)
Z
0
15000
-5
0
20
X Y H1
H2
V.S.
Y 0
1 28/15 -4/5
300
X 1
0
-9/5
6/5
300
Z
0
11
6
16500
0
g. Respuesta
El máximo beneficio es de $16500. Fabricando 300 unidades de ambos
tipos.
5. La editorial Lumbreras produce dos libros de Matemática: álgebra y
geometría. La utilidad por unidades es de S/. 7 (S/. = soles) para el libro de
álgebra y de S/. 10 para el libro de geometría. El libro de álgebra requiere
de 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El libro de
geometría requiere de 5 horas para imprimirse y de 3 horas para ser
encuadernado. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 240 horas
para encuadernar, calcule la máxima utilidad que se puede obtener. (S/.
400)
ALGEBRA GEOMETRIA Disponibilidad
IMPRESIÓN
4
5
200
ENCUADERNACIÓN
6
3
240
COSTO
7
10
DESARROLLO
a. Variables de Decisión
X = Algebra
Y = Geometría
b. Función Objetivo
Z = 7X + 10Y (max)
c. Restricciones
4X + 5Y ≤ 200
6X + 3Y ≤ 240
d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.
4X + 5Y +1H1 + 0H2 = 200
6X + 3Y + 0H1 + 1H2 = 240
e. Función objetivo a cero
Z -7X - 10Y = 0
f. Tabla e iteraciones
X
Y
H1 H2 V.S.
H1
4
5
1
0
200
(40)
H2
6
3
0
1
240
(80)
Z
-7 -10
0
0
0
X
Y H1
H1
4/5
1
1/5
0
40
Y
18/5 1 -3/5
1
120
10
400
Z
1
0
6
g. Respuesta
La máxima utilidad es de 400 S/..
H2 V.S.