semana 4

FUNDAMENTOS NUMÉRICOS
SEMANA 4
ÍNDICE
INECUACIONES Y DESIGUALDADES ............................................................................................... 3
APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3
INECUACIONES .............................................................................................................................. 4
REGLAS DE LAS DESIGUALDADES .............................................................................................. 4
INECUACIONES LINEALES .......................................................................................................... 5
INECUACIONES NO LINEALES .................................................................................................... 6
EI SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE ............................................................................. 6
CRITERIOS PARA RESOLVER INECUACIONES NO LINEALES: .................................................. 7
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ................................................................................. 10
MODELADO CON DESIGUALDADES ......................................................................................... 11
COMENTARIO FINAL.................................................................................................................... 14
REFERENCIAS ............................................................................................................................... 15
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4
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INECUACIONES Y DESIGUALDADES
APRENDIZAJES ESPERADOS
Esta semana el alumno aprenderá a resolver inecuaciones (lineales, cuadráticas, con valor
absoluto, entre otras), las inecuaciones aparecen muy seguido en problemas que se pueden
resolver en matemáticas, por ejemplo, cuando se va al supermercado se sabe que el costo de
lo que se compra no puede exceder a la cantidad que se ha dispuesto para ello, es decir:
A+B+C<P
Donde A, B y C son los bienes que se quieren comprar y P es el presupuesto de la compra.
Las inecuaciones ayudarán en cierta forma a modelar los problemas y posteriormente a
resolverlos.
INTRODUCCIÓN
En álgebra, algunos problemas originan inecuaciones en lugar de ecuaciones. Una inecuación
es similar a una ecuación, solo que en lugar de tener un signo igual se tiene uno de los
símbolos
. Un ejemplo de una inecuación:
Una inecuación, así como las ecuaciones vistas anteriormente, son preguntas, donde las
respuestas son los valores que la variable puede tomar para satisfacer la condición dada.
Algunos de los valores que satisfacen la inecuación anterior son:
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Resolver una inecuación que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores
de la variable que hacen la inecuación verdadera. Al contrario, una desigualdad, por lo general,
tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta
de los números reales.
Solución
Gráfica
Ecuación
Inecuación
Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.
Para resolver inecuaciones, se aplican las reglas siguientes para aislar la variable a un lado del
signo de la desigualdad. Estas reglas indican cuándo dos inecuaciones son equivalentes (el
símbolo
significa “equivale a”). En estas reglas, los símbolos
y son números reales o
expresiones algebraicas. Aquí se establecen las reglas para desigualdades que contienen el
símbolo , pero se aplican a los cuatro símbolos de desigualdad.
INECUACIONES
REGLAS DE LAS DESIGUALDADES
Regla
Descripción
1.
Sumar la misma cantidad a cada miembro de
una inecuación da una inecuación
equivalente.
2.
Restar la misma cantidad a cada miembro de
una inecuación da una inecuación
equivalente.
3.
Si
, entonces
Multiplicar cada miembro de una inecuación
por la misma cantidad positiva da una
inecuación equivalente
4.
Si
, entonces
Multiplicar cada miembro de una inecuación
por la misma cantidad negativa invierte el
signo de la inecuación
5.
Si
y
Obtener los recíprocos de ambos miembros
, entonces
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de una inecuación que contiene cantidades
positivas invierte la dirección de la
inecuación.
6.
Si
y
, entonces
Las inecuaciones se pueden sumar.
Fuente. Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.
Se debe poner atención especial a las reglas 3 y 4. La regla 3 establece que se pueden
multiplicar (o dividir) cada miembro de una inecuación por un número positivo, pero la regla 4
señala que si se multiplica cada miembro de una inecuación por un número negativo, entonces
se invierte la dirección de la inecuación. Por ejemplo, si se empieza con la desigualdad:
Y se multiplica por 2, se obtiene:
Pero si se multiplica por
, se tiene:
INECUACIONES LINEALES
Una inecuación es lineal si cada término es constante o es un múltiplo de la variable.
Ejemplo de resolución de una inecuación lineal. Resuelva y grafique el conjunto solución:
Solución:
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El conjunto solución consta de todos los números mayores que
solución de la inecuación es el intervalo
. En otras palabras, la
. La gráfica se ilustra de la siguiente manera:
Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T. 2012.
Ejemplo de resolución de un par de desigualdades simultáneas. Resuelva las desigualdades:
Solución:
El conjunto solución consiste en todos los valores de que cumplen tanto la desigualdad
y, al mismo tiempo,
. Aplicando las reglas 1 y 3, se puede ver que
las inecuaciones siguientes son equivalentes:
/ sumando 2
/ dividiendo por 3
Por lo tanto, el conjunto solución es
.
INECUACIONES NO LINEALES
Para resolver inecuaciones que contienen la variable al cuadrado o a otras potencias, se aplica
la factorización junto con el principio siguiente.
EI SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE
a) Si un producto o un cociente tienen un número par de factores negativos, entonces su
valor es positivo.
b) Si un producto o un cociente tienen un número impar de factores negativas, entonces
su valor es negativo.
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Ejemplo de una inecuación cuadrática. Resuelva:
Solución:
Primero se factoriza el lado izquierdo y se obtiene:
Se sabe que la ecuación asociada
tiene como soluciones a
y
.
Los números 2 y 3 dividen la recta de los números reales en tres intervalos
y
los signos de los factores se determinan usando valores de prueba en cada uno de estos
intervalos. Se elige
para el primer intervalo,
para el segundo intervalo y
para el tercer intervalo y se obtiene que:
Signo de
0
6
+
-
4
2
+
Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.
Y usando la ley del signo del producto se obtiene que la expresión
es positiva
en
y negativa en
Por lo que la respuesta al ejemplo debe ser:
Otra manera de entender el proceso anteriormente descrito es la siguiente:
Para
la expresión
es negativa, así como también la expresión
, por lo
que
es un número positivo (negativo negativo = positivo), lo mismo sucede
para
Por el contrario, para
se tiene que
es positivo y
es
negativo, por lo que la multiplicación es negativa.
CRITERIOS PARA RESOLVER INECUACIONES NO LINEALES:
1) Pasar todos los términos a un lado de la inecuación: si es necesario, volver a escribir la
inecuación de modo que todos los términos distintos de cero aparezcan a un lado del
signo de la inecuación. Si el lado distinto de cero contiene fracciones se debe buscar
un común denominador.
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2) Factorizar: el miembro distinto de cero de la inecuación.
3) Determinar los intervalos: calcular los valores para los cuales cada factor es cero. Estos
números dividirán la recta numérica en intervalos. Listar los intervalos determinados
por medio de estos números.
4) Elaborar una tabla o diagrama: utilizar los valores de prueba para construir una tabla o
un diagrama de los signos de cada factor en cada intervalo. En el último renglón de la
tabla determinar el signo del producto o cociente de estos factores.
5) Resolver: determinar la solución de la inecuación a partir del último renglón de la tabla
de signos. Comprobar si alguno de los extremos de los intervalos cumplen con la
desigualdad, lo cual es válido si la desigualdad contiene
.
La técnica de factorización descrita en estos criterios funciona solo si todos los términos
distintos de cero aparecen a un Iado del símbolo de desigualdad. Si la desigualdad no está
expresada en esta forma, primero hay que volverla a escribir, como se indica en el paso 1. Esta
técnica se ilustra en los ejemplos que siguen.
Ejemplo de una inecuación que contiene una expresión fraccionaria. Resuelva:
Solución: Primero se pasan todos los términos distintos de cero al lado izquierdo y, luego:
El numerador es cero cuando
y el denominador es cero cuando
, de modo que
se elabora el siguiente diagrama de signos, usando los valores para definir los intervalos en la
recta numérica.
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Signo de
Signo de
Signo de
Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.
A partir de lo anterior, se puede ver que la expresión
es positiva para
. Pero,
además, es importante notar que el signo de la desigualdad es
por lo que también es
solución cuando
, pues ahí la expresión se hace cero. Entonces, la respuesta es:
No obstante, no se incluye
indefine al evaluarla en
en la solución, pues el lado izquierdo de la ecuación se
Ejemplo de resolución de una inecuación con tres factores. Resuelva:
Solución: Después de pasar todos los términos distintos de cero a un lado de la inecuación, se
utiliza un común denominador para combinar los términos.
Los puntos donde se producen los cambios de signo en la inecuación anterior son
y
entonces para ellos se construye la tabla de signos siguiente:
Signo de
Signo de
Signo de
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Signo de
Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T., 2012.
Por lo tanto la expresión
es positiva cuando
.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Se aplican las propiedades siguientes para resolver inecuaciones que contienen valores
absolutos:
1.
2.
3.
4.
Ejemplos de resolución de una inecuación con valor absoluto. Resuelva:
a)
Solución: Usando la propiedad 1 se puede escribir:
Y sumando 5 a toda la expresión se obtiene:
Por lo tanto, el intervalo que es solución de la inecuación es:
b)
Solución: Usando la propiedad 4 de la lista de propiedades se tiene que:
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Entonces,
se
tiene
que
los
valores
de
que
resuelven
la
inecuación
son:
.
MODELADO CON DESIGUALDADES
El modelado de problemas de la vida cotidiana da con frecuencia desigualdades, porque se
aplica a menudo en determinar cuándo una cantidad es más o menos que otra.
Ejemplo 1: Entradas al parque de diversiones.
Un parque tiene dos planes de boletos:
1. Plan A: tarifa de entrada de $5.000 pesos y $500 pesos cada vuelta en los juegos.
2. Plan B: tarifa de entrada de $2.000 pesos y $1.000 pesos cada vuelta en los juegos.
¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el plan A resultara menos caro que el plan B?
Solución:
Se pide el número de vueltas en los juegos para que el plan A sea menos caro que el plan B.
Entonces primero se debe identificar la variable:
número de vueltas.
La información en el problema se podría organizar como sigue:
En palabras
En lenguaje algebraico
Número de vueltas
Costo del plan A
Costo del plan B
Ahora se plantea el modelo:
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Entonces para que el plan A sea más barato que el plan B debe dar al menos 7 vueltas en los
juegos.
Ejemplo 2: Boletos para un concierto.
Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un bus para que
los lleve al concierto es de
pesos, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre
los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en bus.
Los boletos cuestan normalmente
pesos cada uno, pero se reducen 500 pesos del
precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (hasta la capacidad máxima del bus).
¿Cuántos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo total por estudiante sea menor a
pesos?
Solución:
Se pide determinar el número de estudiantes que debe ir en el grupo.
Entonces, primero se identifica la variable:
cantidad de estudiantes en el grupo.
La información del problema se podría organizar como se indica a continuación.
En palabras
En lenguaje algebraico
Número de estudiantes en el grupo
Costo del bus por estudiante
Costo del boleto por estudiante
Ahora se plantea el modelo:
/multiplicando por
/ dividiendo por 500
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Se usa la fórmula de la ecuación cuadrática para determinar los valores donde la expresión
cambia de signo y así poder determinar para que valores es positiva:
Como se habla de cantidad de personas, la opción
no es de utilidad, entonces se sabe que
hay un cambio de signo en
. Hay que notar que para valores menores que 10 la
expresión
es negativa y, por el contrario, para valores mayores que 10 la
expresión es positiva, por lo que el mínimo de estudiantes que se necesitan para bajar el valor
por persona del paquete “bus+concierto” es 11 estudiantes.
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COMENTARIO FINAL
Una vez estudiado el contenido de esta semana, el alumno debe estar familiarizado con la idea
de inecuación. Cuando se plantea una inecuación se puede notar que la solución de esta puede
ser un conjunto de cinco elementos o un conjunto que esté vacío o todo el conjunto de los
números reales, es importante hacer hincapié en este punto, pues típicamente las ecuaciones
no cumplen con esta “libertad” de tener más de dos soluciones, pues son más restrictivas que
las inecuaciones donde los símbolos de desigualdad dan la libertad que no entrega el símbolo
de igualdad.
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REFERENCIAS
Baldor, A. (2004). Álgebra. México D.F.: Publicaciones Cultural S. A.
Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.
Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall
Hispanoamericana.
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