Ecuaciones Diferenciales

1
Parte IV
Ecuaciones Diferenciales
Esta sección tiene como propósito dar algunos de los conceptos básicos relacionados con las
ecuaciones diferenciales e ilustrar su importancia en la resolución de problemas en diferentes
campos del conocimiento. Se estudiarán algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y algunas de sus aplicaciones.
1.
De…nición de Ecuación Diferencial
Si en una ecuación, la incógnita es una función de una o varias variables y si en la ecuación
aparece una o más derivadas de la función (derivadas parciales si se trata de una función de
varias variables) entonces se dice que ella es una ecuación diferencial.
dy
. Esta
Recordemos que dada una función y = f (x) su primer derivada se denota por y 0 o por
dx
misma notación se generaliza para la segunda, tercera, ..., n-ésima derivada, respectivamente,
de la siguiente forma
d2 y 000
d3 y (4)
d4 y
dn y
(n)
y o bien 2 , y o bien 3 , y o bien 4 , : : : , y o bien n ,
dx
dx
dx
dx
00
Ejemplo 1.1 Las siguientes son ecuaciones diferenciales:
(a)
d2 y
+ xy
dx2
dy
dx
2
=0
(b) y 00 + (2 cos x) y 0 + y = ex
(c)
@v @v
+
= v; v = v (s; t) una función de dos variables.
@s
@t
(d) y 000 + xy 0 + x2 y = x + 1
@2u @2u
(e)
+
@x2 @y 2
@2u
= 0; u = u (x; y; z) una función de tres variables.
@z 2
Según la lista de ecuaciones anterior, se puede notar que existen diferentes tipos de ecuaciones
diferenciales, donde pueden estar involucradas varias variables y derivadas, lo que claramente
nos remite a una clasi…cación de las mismas. En primer lugar observe que en (a), (b) y (d)
la función incognita depende de una sola variable; estas se llaman ecuaciones diferenciales
1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
2
ordinarias. Mientras que en las ecuaciones (c) y (e) la función incógnita depende de dos y tres
variables, respectivamente. Si en una ecuación diferencial la función incógnita depende de dos o
más variables se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales o simplemente
una ecuación diferencial parcial.
Nuestro propósito es estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias, estas se pueden calsi…car
de acuerdo con el orden de la mayor de las derivadas de la función incógnita presente en la
ecuación. Para lo cual vamos a dar la siguiente de…nición:
De…nición 1.1 (Oden de una ED) Si el orden máximo de las derivadas que …guran en una
ecuación diferencial es igual a n, se dice que la ecuación diferencial es de orden n (o que es
de n esimo orden):
Ejemplo 1.2 Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) y 00 + xy 0 = sin x
(b) y (4)
(c)
y 000 = y 0 y + 2x5
d2 y
+ xy
dx2
dy
dx
2
=0
(d) y 000 + xy 0 + x2 y = x + 1
R/ (a) orden 2, (b) orden 4, (c) orden 2 y (d) orden 3
En general, una ecuación diferencial ordinaria de n esimo orden es una ecuación del
tipo
F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0
donde F es una función de n + 2 variables, donde x es la variable independiente, y la función
incógnita (depende de x) y y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) las derivas de y.
Ejemplo 1.3 Note que la ecuación (d) del ejemplo anterior es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden donde
F (x; y; y 0 ; y 00 ; y 000 ) = y 000 + xy 0 + x2 y
x
1
2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
2.
3
Solución de una Ecuación Diferencial
Ahora vamos a considerar el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de
n esimo orden.
De…nición 2.1 (Solución de una ED) Una solución de una ecuación diferencial ordinaria
F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0
sobre un intervalo abierto I es una función y = f (x) tal que las derivadas f 0 (x) ; : : : ; f (n) (x)
existen y se satisface que
F x; f (x) ; f 0 (x) ; f 00 (x) ; : : : ; f (n) (x) = 0
para cualquier x 2 I.
Ejemplo 2.1 Veri…que que la función dada es solución de la ecuación diferencial.
(a)
d2 y
+ y = 0; f (x) = 2 sin x + 3 cos x
dx2
(b) y 000 + 2y 00
3y 0 = 0; g (x) = e
(c) 2x2 y 00 + 3xy 0
(d) u00
3x
1
y = 0; y = x 2
u = e2t ; u = C1 et + C2 e
t
+ 13 e2t , con C1 ; C2 constantes reales.
Considere ahora la siguiente ecuación diferencial
y 0 = 2x
la función f0 (x) = x2 es una solución de dicha ecuación. Note que también las funciones
f1 (x) = x2 + 1, f2 (x) = x2 + 2 y f3 (x) = x2 + 3, son solución de la ecuación diferencial. De
hecho, la función f de…nida por
f (x) = x2 + C
es una solución de la ecuación y 0 = 2x para cualquier constante real C. Nos referiremos a C
como una constante arbitraria. Note que la ecuación es de primer orden y esta solución tiene
una constante arbitraria.
Podemos ahora introducir ciertos conceptos referentes a las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
4
Solución General: Normalmente una ecuación diferencial de orden n tiene una solución
que involucra n constantes arbitrarias; tal solución se llama solución general de la ecuación
diferencial.
Solución Particular: Una solución particular es la que se obtiene de una solución general
al sostituir las constantes por valores especí…cos. Generalmente estos valores especí…cos
provienen de ciertas condiciones dadas.
Solución Singular: Estas son soluciones que no se pueden obtener a partir de la solución
general.
Problema de Valores Iniciales: Es un problema que busca determinar la solución de
una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas
especi…cadas en un cierto valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman
condiciones iniciales.
Ejemplo 2.2 Considere la ecuación diferencial (d) del ejemplo 2.1
u00
u = e2t
(a) Comprobamos que la función u = C1 et + C2 e t + 13 e2t es solución general de la ecuación
diferencial. Note que esta ecuación es de segundo orden y que la solución posee dos constantes arbitrarias C1 y C2 .
(b) Si se dan valores especí…cos a C1 y C2 se obtiene soluciones particulares para la ED, como
las siguientes
u =
1 2t
e ;
3
u = et + e
u =
1 t
e
2
con C1 = C2 = 0
1
+ e2t ; con C1 = C2 = 1
3
1
1
1e t + e2t ; con C1 = y C2 =
3
2
t
1
Note que esta ecuación diferencial no posee soluciones singulares.
(c) Halle la solución de la ecuación u00 u = e2t con las condiciones iniciales u (0) = 1 y
u0 (0) = 0. (estamos ante un problema de valores iniciales).
R/ u = 23 e t + 13 e2t
3 EJERCICIOS
5
Ejemplo 2.3 Considere la ecuación diferencial (y 0 )2
4y = 0
(a) Compruebe que y = (x + C)2 es solución general de la ecuación diferencial.
(b) Enuncie almenos cuatro soluciones particulares.
(c) Compruebe que g (x) = 0 es también solución de la ecuación diferencial (esta es un solución
singular ¿Por qué?)
Note que el proceso para comprobar si una función es solución de una ecuación diferencial es
muy sencillo, pues todo se reduce a derivar, sustituir y efectuar manipulaciones algebraicas.
3.
Ejercicios
1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones
diferenciales son ordinarias? En caso de
serlo determine su orden.
a) 3y 000 + 2xy 0 = ex
dy
b)
+ x2 y = xex
dx
4y (5) + 3x2 y (4)
c)
= 2xy
y0
d3 y
d2 y
dy
d)
+
4
5 + 3y = sin x
3
2
dx
dx
dx
@u
@u
e) 3
+4
=u
@x
@y
u0 + 3u00
f)
= xu
u
@2u @2u
g)
+
=0
@x2 @y 2
@2u
@2u
@u @u
h) x2 2 + y 2 2 =
@x
@y
@x @y
2. Indique el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) 3y 0 + 4y 00 = 5y 000
b) 4u(4) + u5 + 6u = x
3u00 10xu0
c)
= 2xu
u000
d) sin y 000 + cos y 0 = y 000
e) (tan x) y + ex y 0 = 2y 00
3. Determine si la función o las funciones
dadas son solución de la ecuación diferencial correspondiente. Considere C; C1
y C2 constantes arbitrarias.
a) y 00
y = 0;
y2 (x) = 21 (ex + e x )
y1 (x) = ex ;
b) y 00
+2y 0
y1 (x) = e
3y = 0;
3x
;
y2 (x) = ex
c) x2 u00 + 5xu0 + 4u = 0 con x > 0;
u1 (x) = x 2 ;
u2 (x) = x
2
ln x
d) y 00 + y = sec x con 0 < x < 4 ;
y = (cos x) ln (cos x) + x sin x
e) yy 0 = e2x ;
y 2 = 3e2x + C
3 EJERCICIOS
6
f ) xu0 = u + x2 + u2 ;
u = x tan x
g) y + xy 0 = x4 (y 0 )2 ;
C
y = C2 +
x
00
h) y
4y = 0;
y = C1 e2x + C2 e
2x
sin x + 2 cot x
y 00 + (sin x) y 0
=
i)
y
x
con 0 < x < 4 ; y = x sin x
j)
2y 0 + 2y 00
= x3 + x2 x con x > 0;
y 000
y = x + ln (Cx) ; con C > 0.
4. Pruebe que y (x) = Aex + Bxex (A y B
constantes arbitrarias) es solución de la
ecuación diferencial y 00 2y 0 + y = 0. Encuentre un valor para A y un valor para
B, tales que y (0) = y 0 (0) = 1.
5. Pruebe que y (x) = A cos x + B sin x
cos 2x (A y B constantes) es solución de
y 00 + y = 3 cos 2x
Calcule un valor de A y un valor de B,
de manera que y (0) = 0 y y 0 (0) = 2
6. Muestre que y = 4e2x +2e 3x es una solución del problema de valores iniciales
8
00
0
>
< y + y 6y = 0
y (0) = 6
>
:
y 0 (0) = 2
7. Si y = (x2 + C) e x es la solución general
dy
de
+y = 2xe x , resuelva los siguientes
dx
problemas de valores iniciales
8
< dy
+ y = 2xe x
a)
dx
:
y (0) = 2
8
< dy
+ y = 2xe x
b)
dx
: y ( 1) = e + 3
8. Si y = C1 e4x + C2 e 3x es la solución gend2 y dy
eral de 2
12y = 0, resuelva los
dx
dx
siguientes problemas de valores iniciales
8 2
dy
dy
>
>
12y = 0
<
2
dx
dx
a)
y (0) = 5
>
>
:
y 0 (0) = 6
8 2
dy
dy
>
>
12y = 0
<
2
dx
dx
b)
y (0) = 2
>
>
:
y 0 (0) = 6