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CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
TRABAJO PRACTICO: MODELACION MAGNETICA DE DIQUE
VERTICAL
En el capítulo de gravedad se demostró que la integral de volumen:
∫
v
1 dv
r − ro
Puede expresarse como una integral de superficie bajo el supuesto que el
cuerpo presenta simetría cilíndrica (se extiende infinitamente en dirección
del rumbo):
∫
v
∫
1 dv = 2 log( 1 ) ds
r − ro
r − ro
s
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
En consecuencia el potencial magnético en dos dimensiones se expresa como:
∫
A(ro ) = −2 M ⋅ ∇ log(
s
1 )ds
r − ro


∂
∂


1
1
A(ro ) = −2 M α x
log(
)ds + α z
log(
)ds 
∂x
∂z
r − ro
r − ro


s
s
∫
∫
N
α x : cos(i ) ⋅ cos(d − δ );
N.M.
α z : sin(i )
Y
d




x
z
A(ro ) = −2 M α x
ds + α z
ds 
2
2
r − ro

 s r − ro
s
∫
δ
∫
E
X
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
El campo magnético total se expresa entonces como:
∂A 
 ∂A
∆T = −∇A(ro ) ⋅ κˆ = − κ x
+κz

∂
x
∂
z


κ x : cos( I ) ⋅ cos( D − δ );


κ x


∆T = 2 M 

κ
 z

κ z : sin( I )

 
∂ 
 
x
z
ds + α z
ds  + 
αx
2
2

∂x
r − ro

 s r − ro

s
 


 
∂ 
 
x
z
αx
ds + α z
ds 
2
2


∂z
r
r
r
r
−
−
o
o
 s
 
s

∫
∫
∫
∫
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
 
 
κ x α x
 
  s
∆T = 2 M 
 
κ α
 z x
  s
∫
∫
 
z 2 − x 2 ds + α
− 2⋅ x⋅ z ds  + 
z
4
4
 
r − ro
r − ro


s
 

 
x 2 − z 2 ds  
− 2⋅ x⋅ z ds + α
z
4
4
 
r − ro
r − ro
 
s

∫
∫
∆T = 2 M {κ x [α xU xx + α zU xz ] + κ z [α xU xz − α zU xx ]}
U xx =
∫
s
z 2 − x 2 ds;
4
r − ro
U xz =
∫
s
− 2⋅ x⋅ z ds
4
r − ro
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
Si el cuerpo esta magnetizado por inducción:
α x = κ x = cos(i ) ⋅ cos(d − δ )
α z = κ z = sin(i )
[
U cos 2 (i ) ⋅ cos 2 (d − δ ) − sin 2 (i )
∆T = 2 M  xx
2 ⋅ U xz [cos(i ) ⋅ cos(d − δ ) ⋅ sin(i )]
]+

En consecuencia para resolver el campo total es
necesario conocer los cosenos directores y las integrales:
U xx =
∫
s
z 2 − x 2 ds;
4
r − ro
U xz =
∫
s
− 2⋅ x⋅ z ds
4
r − ro
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
Evaluando estas integrales para un punto x distinto del origen:
U xx =
∫[
s
z 2 − ( x − xo ) 2
( x − xo ) 2 + z
]
2 2
ds;
U xz =
∫[
s
−2⋅( x − xo )⋅ z
( x − xo ) 2 + z
x=0
Para una geometría correspondiente a
un dique vertical:
h
2d
z
∞
]
2 2
ds
x
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
x = d z =∞
∫ ∫[
U xz =
dx
x = −d z = h
Integrando c/r a z:
x=d
U xz =
∫
− 2⋅( x − xo )⋅ z
( x − xo ) 2 + z
( x − xo )
[
(x− x ) +h ]
x = −d
o
2
2
]
2 2
dz
dx
Integrando c/r a x:
[
]
2
2
d
+
d
x
h
(
+
)
+
1
1
2
2
o
U xz ( xo ) = log ( x − xo ) + h − d = log
2
2
2
2
(−d + xo ) + h
CONCEPTOS BASICOS: TEORIA MAGNETISMO
∞
d
U xx =
∫ ∫[
dx
−d
h
z 2 − ( x − xo ) 2
( x − xo ) 2 + z
]
2 2
dz
Integrando c/r a x / z:
 h 
 h 
U xx = arctan 
 − arctan 

 xo + d 
 xo − d 