Clase teórica 7

Cuando la medida se realiza una vez
Fuentes de incertidumbre:
•Sistemática (calibración)
•Apreciación
•Definición
•interacción instrumentó-objeto
Resultado:
X ± ΔT
ΔT = [( Δ s)2 + ( Δ a)2 + ( Δ d)2 + ( Δ i)2 ]1/2
Incertidumbre nominal
¿QUÉ PASA SI MEDIMOS VARIAS VECES LA
MISMA MAGNITUD?
TIENEN LUGAR FLUCTUACIONES EN EL SISTEMA Y EN EL INSTRUMENTO
incertidumbre =??
Hemos discutido que pasa cuando medimos una sola vez y como considerar
“valores dispersos”
Si mido varias veces (menos de 10 veces)
Hemos discutido que pasa cuando medimos una sola vez y como considerar
“valores dispersos
Si mido varias veces (menos de 10 veces)
Resultado:
X ± ΔT
Mejor valor: valor medio ( X )
(x1+x2+...+xN)/N , N = número de medidas
Δf = (Xmáx - Xmin) / 2
ΔT = [( Δ s)2 + ( Δ a)2 + ( Δ d)2 + ( Δ i)2 + ( Δ f)2]1/2
¿QUÉ PASARÁ SI MEDIMOS VARIAS VECES LA
MISMA MAGNITUD?
incertidumbre =??
¿Cómo conviene analizar los resultados
(más de 50)?
Por ej. las notas de 120 estudiantes que se presentaron a una
prueba en la que se clasificó de 0 a 100
¿Qué interesa averiguar?
% de alumnos que obtuvieron una nota dada
¿Cómo conviene hacer el TRATAMIENTO DE DATOS para obtener esa
información?
SE LOS AGRUPA EN
CLASES
SI SON MUY NUMEROSOS
Rango: intervalo de valores ( máximo –mínimo)
Clase: Rango/n
Frecuencia: número de datos en cada clase,
(alumnos cuya nota está en el intervalo)
Rango= 100
Número de clases (n) = 10
clase
¿TABLA?
frecuencia
clase
frecuencia
0- 9
2
50 - 59
32
10 – 19
5
60 - 69
25
20 – 29
6
70 - 79
10
30 - 39
14
80 - 89
2
40 - 49
22
90 - 99
2
La Tabla muestra la distribución de frecuencias
Límite inferior (Li) y superior (Ls)
Intervalo de valores
Comprendidos en la clase
Ancho:[Ls-Li)
¿Gráfico?
B
Con los datos de la
Tabla anterior
35
30
25
frecuencia
Poligonal de
frecuencias
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
notas
Histograma?
A
35
HISTOGRAMA 1
proporcional a la frecuencia
30
ancho de clase = 10
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
notas
A
proporcional a la frecuencia
20
15
10
Histograma 2:
ancho de clase=5
5
0
0
20
40
60
notas
80
100
Interpretación del histograma
Uno bien definido: unimodal
punto máximo: MODA
varios bien definidos: multimodal
MEDIANA:
valor de la variable en el centro del conjunto ordenado
VALOR MEDIO:(x1+x2+...+xn)/n
PROGRAMA ORIGIN:: Datos
en el orden en que se tomaron luego si
quieren ordenarlos van al menú a analysis sort work sheet y los
pueden ordenar por ejemplo de menor a mayor
Para graficar van a plot scatter
FLUCTUACIONES ESTADÍSTICAS
Los postulados fundamentales de la teoría estadística de “errores”
establecen que, dado un conjunto de medidas, todas efectuadas en
idénticas condiciones, suficientemente grande :
I.
El valor más probable de la serie de mediciones es el valor medio.
II.
Es igualmente probable cometer “errores” de igual valor y distinto
signo (Esto quiere decir que es igualmente probable obtener valores
mayores que el valor medio, errores por exceso, o menores que el valor
medio, por defecto).
III.
En una serie de mediciones es tanto más probable “cometer un
error” cuanto menor sea su valor absoluto respecto del valor medio. (Esto
significa que es más probable que los valores sean próximos al valor medio
que alejados de éste)
Representación de la función
normal o “campana de
Gauss” (responde a estos
postulados)
y=K exp[ -h2(x-m)2]
Curva de Gauss para distintos valores de h (inversamente proporcional
al “ancho” de la distribución)
h grande, valores
“concentrados”
h pequeña, valores
distribuídos
El área bajo la curva es:
∫ K exp[ -h2(x-m)2] dx= K √π/h , si el área bajo la curva vale la unidad, K
queda determinada, y la curva quedará determinada por los
parámetros m y h
VALOR MEDIO Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA SERIE DE MEDIDAS
Si medimos N veces la magnitud de interés obtendremos los N datos
experimentales:
x1 , x2 , x3 , ........, xN
La media aritmética de las N medidas (valor medio o promedio) será:
< x > = (x1 + x2 + x3 + .....+ xN)/N
El valor de la medida i-ésima podría ser:
xi= < x >+ di
donde di= xi- <x>, es la desviación i-ésima respecto del valor medio <x>.
Es posible probar que
d1 + d2 + d3 + ....+ dN = 0,
es decir: la suma de las desviaciones es 0.
introduce otra magnitud: la desviación cuadrática media, varianza σ2:
σ2 = (d12 + d22+ d32 + ....+ dN2)/N
(varianza, promedio de las desv.cuadráticas)
y
σ= [(d12 + d22+ d32 + ....+ dN2) / N] ½ = [ (Σ (xi-<x>)2) / N ]½
σ, desviación estándar, es la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media.
σ depende del valor que se elija como “mejor valor” de la medidas.
Dividiendo por N y encontrando el mínimo de esta función
cuadrática se puede demostrar que
X = (Σ xi)/N= <x>
Además, el valor medio coincide con la moda y la mediana.
Trabajamos con σ y no con la varianza σ2 ya que σ posee las
mismas dimensiones que las observaciones.
En realidad la expresión correcta de la desviación estándar es:
σ (= [ Σ (xi-<x>)2/(N-1)]½
para un solo evento N=1, σ da infinito)
La desviación estándar σ se relaciona con h en la Gaussiana…
y = 1 / [σ(2π)1/2] exp [-(x-<x>)2/2 σ2 ]
(para N tendiendo a infinito)
x2-x1
La cantidad relativa de datos entre x y x+dx, ΔN/N, es :
y = 1 / [σ2(2π)1/2] exp [-(x-<x>)2/2 σ2] dx
es la probabilidad de que una medida caiga en dicho intervalo.
Luego integrando entre <X>- σ y <X>+ σ …
Si realizo una nueva medida habrá un 68% de probabilidad que
ésta esté comprendida en <x>± σ2, un 95% en <x>±2 σ2 y un 99.7 %
en <x>±3 σ.
Gauss