Gráficos, paridad, función inversa

Álgebra de Funciones
Guía 3: Desplazamiento. Función inversa.
Profesores: Ximena Cánovas & César Fernández
Ejercicios
1. Escriba la expresión analítica de la función cuya gráfica sea la de f(x) = |x|, pero ahora:
a) Desplazada hacia la derecha en 3 unidades.
b) Desplazada hacia arriba en 4 unidades.
c) Desplazada hacia la izquierda en 3 unidades y hacia abajo en 5 unidades.
2. Para cada una de las siguientes funciones, determine la función base y construya el gráfico usando
transformaciones. Determine dominio y recorrido.
a) y = (x + 3)2 + 5 b) y = (x – 5)3 – 2
c) f(x) = 2 x + 1 + 2
d) y = (x + 1)2 – 4
ଵ
x +1
e) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫ିଵ
f) f(x) =
i) f(x) = x3 – 1
j) f(x) = (x – 1)3 + 5
2
g) y = |x + 2|
k) f ( x ) = 3 −
h) y = -|x – 1| + 3
1
x−5
3. Hacer la gráfica de las siguientes funciones. Determinar, además, dominio y recorrido:
x2
si x < -1
x3
x - 1
si - 2 ≤ x < 1



 x - 2 si - 1 ≤ x < 3
a) f(x) = 
b) f(x) =  x + 1 si 1 ≤ x < 5
c) f(x) = 1 - x 2
si 3 ≤ x ≤ 7
 x - 6 si 5 ≤ x < 10
1 - x - 3
-1


 x - 5 si x > 7
si - 3 ≤ x < 0
si 0 ≤ x < 4
si 4 ≤ x < 10
4. Utilice el gráfico de la función f(x) de la derecha para
dibujar las gráficas de las siguientes funciones.
a) y = f(x) + 3
c) y = – f(x)
e) y = 3f(x – π/4)
g) y = f ( 12 x) – 3
b) y = f(x + π/2)
d) y = – f(x – π) + 2
f) f(x – 2) +3
h) y = f(–x) – 2
5. En el siguiente gráfico se ve una función base f(x) y una
función g(x), obtenida a partir de f mediante
transformaciones básicas, es decir,
g(x) = A· f(Bx + C) + D.
Determine los parámetros A, B, C y D.
g
f
6. Construya el gráfico de las siguientes funciones y, a partir del gráfico, determine el dominio y
recorrido, de manera que exista la función inversa. Encuentre dicha función.
a) f(x) = 3x – 7
1
b) f(x) = x2 – 9 c) f ( x ) =
x−2
e) F(x) =x3 – 2
d) g ( x ) = x + 3
7. Dadas las gráficas de las siguientes funciones, restrinja el dominio y el recorrido (de ser necesario) y
dibuje las gráficas de sus correspondientes inversas.
8. Determine si las siguientes funciones son inyectiva, sobreyectiva, biyectivas o ninguna de ellas.
a) f(x) = x3
b) f(x) = 2x
c) f(x) = 3 x -1
d) N(x) = (3x2 – 1)2
e) f(x) = |x|
9. Dadas las siguientes funciones:
a) y =
3
x
b) y =
x
x+2
c) y =
2x + 1
x
d) y =
3 - 2x
2
i) Determinar el dominio y recorrido para que sean biyectivas.
ii) Determinar f––1. Compruebe realizando la composición de funciones.
10. Sea f(x) = 2x+1 y g(x) =
(
)
1
. Encontrar: f −1 ( x) ; g −1 ( x) ; ( f g ) ( x) ; f −1 g −1 ( x) .
2x − 3
11. Determinar cual de las siguientes funciones es par o impar y cuales no son ni pares, ni impares.
a) f(x) = 12 b) f(x) = 4 – x2
c) f(x) = 5x3 +2x d) f(x) = x · |x|
e) f(x) = 3x4 + 2x2 – 5
f) f(x) = 3 x
g) f(x) = x 2 + 4
h) f(x) =
3x - 1
x
3 +1
i) f(x) = x · (4 – x2)
j) f(x) = 2x2 + 3x + c
12. Probar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una función par.
13. Probar que el producto de una función par por una impar es impar.
SOLUCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a) f(x) = |x – 3| b) f(x) = |x| + 4 c) f(x) =|x + 3| - 5
Use Geogebra para comprobar.
Use Geogebra para comprobar.
a) Se traslada 3 hacia arriba.
b) Se traslada π/2 hacia la izquierda.
c) Se refleja respecto del eje x.
d) Se traslada π hacia la derecha, se refleja respecto
del eje x y se traslada 2 hacia arriba.
e) Se traslada π/4 hacia la izquierda. Además su
amplitud se triplica.
f) Se traslada 2 hacia la izquierda y 3 hacia arriba.
g) Se comprime horizontalmente a la mitad y se
traslada 3 hacia abajo.
h) Se refleja respecto del eje “y” y se traslada 2 hacia
abajo.
A = ½; B = 1/2; C = -1; D = 3.
Use Geogebra para comprobar. Los dominios y
recorridos deben ser los siguientes:
a) Dom f = ℝ ; Rec f = ℝ .
+
+
b) Dom f = ℝ 0 ; Rec f = ℝ 0 .
c) Dom f = ℝ − {2} ; Rec f = ℝ − {0} .
+
d) Dom f = [-3, ∞[; Rec f = ℝ 0 .
7.
e) Dom f = ℝ ; Rec f = ℝ .
Los dominios y recorridos pueden ser los siguientes:
a) Dom f = [-π/2, π /2]; Rec f = [-1, 1].
+
+
b) Dom f = ℝ 0 ; Rec f = ℝ 0 .
c) Dom f = ℝ ; Rec f = ℝ + .
+
d) Dom f = ℝ 0 ; Rec f = ]0,1].
8.
9.
a) bi b) in c) bi d) Ninguna e) Ninguna
3
a) Dom f = Rec f = ℝ − {0} ; f––1(x) = .
x
b) Dom f = ℝ − {-2} ; Rec f = ℝ − {1} . f––1(x)=
c) Dom f = ℝ − {0} ; Rec f = ℝ − {2} . f––1(x)=
d) Dom f = ℝ ; Rec f = ℝ ; f––1(x)=
10. f–1 (x) =
–1
(f ∘ g
–1
௫ିଵ
ଶ
; g–1(x)=
ଵା௫
)(x)=
.
ସ௫
ଵାଷ௫
ଶ௫
3 - 2x
2
; (f∘g)(x)=
2x
1- x
1
x-2
.
ଶ
ଶ௫ିଷ
+1;
11. a) par b) par c) impar d) impar e) par f) impar
g) par h) impar i) impar j) nada
12. Producto de dos funciones par es función par.
Dem.: Sean f y g funciones pares.
Definamos H(x) := f(x)· g(x)
Por demostrar: H es par.
En efecto, H(-x) = f(-x)· g(-x). Pero como f y g son
funciones pares, se cumple que f(-x) = f(x) y también
que g(-x) = g(x). Por lo tanto si reemplazamos
obtenemos:
H(-x) = f(-x)· g(-x) =f(x) · g(x) = H(x).
Esto demuestra que H es par.