8 ψ ψ ϕ α α - Universidad de Tarapacá

DEPARTAMENTO DE FÍSICA, FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ
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Guía de Ejercicios No. 4
Física Contemporánea (FI-024) Ingenierías
Semestre de Otoño 2008
Domingo 10 de agosto de 2008
Tema: ondas mecánicas y ondas electromagnéticas.
⎛m⎞
22. Dadas las siguientes ondas sonoras que se mueven con velocidad v = 340 ⎜ ⎟
⎝s⎠
ψ 1 ( x, t ) = 2cos(kx − 3.5t + 0.07)
(1)
ψ 2 ( x, t ) = 5cos(kx − 3.5t − 1.3)
(2)
a) ¿cuáles son las amplitudes Aj de cada onda?
b) Calcule el número angular de ondas k .
c) Calcule el periodo espacial λ y el periodo temporal T .
d) Obtenga la onda resultante de la superposición de las dos ondas: ψ R = (ψ 1 + ψ 2 ) .
e) ¿Cuánto vale la amplitud AR de la onda resultante?
f) ¿Cuánto vale la constante de fase φ0 R de la onda resultante ψ R ?
g) ¿Es armónica la onda resultante?
Hint: Use la expansión del coseno suma: cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β y después de
un poco de algebra, obtendrá algo así como: ϕ R = a cos α − b sin α , donde α = ( kx − 3.5t ) y a
y b están relacionados con las fases iniciales φ0.1 y φ0.2 .
h) Calcule la irradiancia I j de cada una de las ondas que se superponen y la irradiancia
resultante I R . ¿existe interferencia en este caso?. Si es así, ¿cuánto vale el término de
interferencia?
Hint: La irradiancia I j viene dada por I j =
dada por I R =
1 2
Aj , y la irradiancia de la onda resultante viene
2
1 2
AR . El término de interferencia viene dado por I1,2 = 2 A1 A2 cos (φ01 − φ02 ) .
2
23. Resuelva el mismo problema anterior, si ahora las ondas que intervienen son:
⎛
⎛ x
⎞⎞
− 58t − 0.32 ⎟ ⎟
⎝ 10
⎠⎠
ψ 1 ( z , t ) = 3.7sin ⎜ 2π ⎜
⎝
(3)
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Dr. Edmundo Lazo Núñez, Email: [email protected]; Fono:58-205 379; celular: 89553554, Web: http://cuya.faci.uta.cl/cursos/fisica3/
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⎛
⎛ x
⎞⎞
− 58t + 0.67 ⎟ ⎟
⎝ 10
⎠⎠
ψ 2 ( z , t ) = 4.3cos ⎜ 2π ⎜
⎝
(4)
24. Un frente de onda plano llega a chocar contra una pantalla opaca que tiene dos pequeños
agujeros, separados una distancia 2d . De cada agujero emanan ondas secundarias circulares, de
la misma frecuencia ω que las ondas de frente de onda plano que llegaron a chocar contra la
pantalla opaca. Además las ondas circulares emitidas desde cada agujero tienen la misma
constante de fase φ0 . En consecuencia, en cada punto de
coordenadas ( x, y ) al lado derecho de la pantalla opaca se
produce interferencia. Si la velocidad de las ondas en el
medio es v = 350 ( m s ) , se produce la superposición de
dos ondas del tipo:
ψ 1 (r1 , t ) = 4.5cos(0.2r1 − ωt )
(5)
ψ 2 (r2 , t ) = 5.9cos(0.2r2 − ωt )
(6)
Nótese que cada onda es función de la distancia radial rj , medida desde el agujero desde la cual
emanó hasta el punto de coordenadas ( x, y ) donde queremos medir la superposición de ambas
ondas.
a) Repita el procedimiento del problema 22 y obtenga la expresión general para la onda
resultante de la superposición ψ R = (ψ 1 + ψ 2 ) de las dos ondas dadas por (5) y (6).
b) Sabemos que el término de interferencia I1,2 viene dado por
I1,2 = 2 ψ 1 ( r1 , t )ψ 2 (r2 , t )
t
I1,2 = 2 A1 A2 cos(kr1 − ωt ) cos( kr2 − ωt )
(7)
t
Demuestre que su resultado final es:
I1,2 = A1 A2 cos k (r1 − r2 )
Hint: Para llegar a este resultado, use la identidad: cos α cos β =
y
recuerde
que
el
valor
medio
del
término
(8)
1
⎡ cos (α + β ) + cos (α − β ) ⎤⎦ ,
2⎣
coseno
vale
cero,
es
decir,
cos( k ( r1 − r2 ) − 2ωt ) t = 0 .
c) A partir del término de interferencia (8), determine los valores de (r1 − r2 ) para los cuales se
produce,
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i) interferencia constructiva total,
ii) no existe interferencia
iii) interferencia destructiva total.
d) Queremos calcular el valor de la irradiancia
y
resultante I R , sobre la pantalla P ubicada a una
distancia L más allá de los agujeros. Si
( L, y )
r2
elegimos el origen del sistema de coordenadas
justo entre los dos agujeros, tal como se muestra
2d
r1
x
en la figura adjunta, solo basta conocer los lados
L
de cada triángulo rectángulo que tienen por
hipotenusa a r1 y a r2 , para determinar a r1 y r2 .
Además, uno de los lados ya es conocido y vale
P
L.
Calcular la irradiancia resultante en los puntos P1 , P2 y P3 , marcados en la figura de mas
abajo, si L = 0.47(m) y d = 0.073(m) . Además, en dicha figura se muestran los lados de
cada triángulo que permiten calcular a r1 y r2 para el caso del punto P3 : r1 = L2 + (4d ) 2 y
r2 = L2 + (2d ) 2 .
y
y
P3
P3
2d
2d
2d
P2
d
d
P1
x
r2
r1
d
4d
d
L
L
P
25. Dos ondas idénticas que viajan en distintos sentidos, se superponen en la región comprendida
entre x = 0 y x = L :
ψ 1 ( x, t ) = a cos(kx − ωt ) + b sin(kx − ωt )
ψ 2 ( x, t ) = a cos(kx + ωt ) + b sin(kx + ωt )
(9)
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La onda resultante de la superposición viene dada por:
ψ R ( x, t ) = [ A cos(kx) + B sin(kx)] cos(ωt )
(10)
Esta onda resultante ya no es más una onda viajera, sino que ahora se trata de una onda estacionaria
(ver apuntes en intranet). Calcule las 3 primeras longitudes de onda λ permitidas para.
a) Condiciones de borde fijas en x = 0 y x = L
b) Condiciones de borde libres en x = 0 y x = L
c) Condiciones de borde mixtas: i) fija en x = 0 y libre en
x = L , ii) libre en x = 0 y fija en
x=L.
Hint: Debe aplicar las condiciones de borde en forma secuencial. Recuerde que k =
2π
λ
26. Dadas dos ondas armónicas de distinta frecuencia ω y distinto número de ondas k
ψ 1 ( x, t ) = 4sin(5 x − 12.5t )
ψ 2 ( x, t ) = 4sin(5.1x − 12.75t )
(11)
a) Obtenga la onda resultante de la superposición de estas ondas. ¿es una onda armónica?
b) Encuentre la amplitud modulante
c) Haga un gráfico de la onda resultante.
27. Dada la onda electromagnética:
B( y, t ) = 4.5cos (1.05 × 10−2 y + 3.15 × 106 t ) kˆ
(12)
a) ¿en qué dirección se propaga o avanza la onda?
b) ¿en qué dirección apunta el campo magnético?
c) ¿en qué dirección apunta el campo eléctrico?
d) ¿cuál es la frecuencia ν y la longitud de onda λ de la onda?
e) ¿cuál es la amplitud del campo magnético?
f) ¿cuál es la amplitud del campo eléctrico?
28. Dado el campo magnético:
B( z , t ) = − a sin ( kz − ωt ) iˆ − b cos ( kz − ωt ) ˆj
(13)
a) hallar el campo eléctrico E ( z , t ) correspondiente,
b) calcule la relación entre los módulos de los vectores campo eléctrico y campo magnético
(
c) calcule el producto E ( z , t ) ⋅ B( z, t )
)
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1
d) calcule el vector de Poynting S ( z , t ) =
E×B
µ0
e) hallar el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética:
w t = ε0 E ⋅ E =
t
1
1
ε0E ⋅ E + B ⋅ B
µ0
2
(14)
t
29. Dados los campos:
B1 ( y, t ) = − p cos ( ky − ωt + φ0 ) iˆ + q sin ( ky − ωt ) kˆ
(15)
E2 ( y, t ) = p cos ( ky − ωt + φ0 ) iˆ + q sin ( ky − ωt ) kˆ
(16)
a) Encuentre el campo eléctrico E1 ( y, t )
b) Halle el campo eléctrico resultante ER = E1 + E2
c) Calcule la Irradiancia o Intensidad total de la onda electromagnética:
ε0
E ⋅E
µ0 R R
IR =
(17)
t
d) Escriba el término de interferencia
e) Calcule los valores de φ0 para los cuales se produce interferencia máxima constructiva e
interferencia máxima destructiva.
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Formulario:
∇× E = −
I=
IR =
∂B
∂E
1
ω
; ∇ × B = ε 0 µ0
; c=
= ; k = ω ε 0 µ0
∂t
∂t
ε 0 µ0 k
ε
ε
E (r , t ) ⋅ E (r , t ) ; I R =
ER ⋅ ER
t
µ
µ
t
ε
ε
ε
E1 ⋅ E1 +
E2 ⋅ E2 + 2
E1 ⋅ E2
t
t
µ
µ
µ
I R = E1 ⋅ E1 + E2 ⋅ E2
t
t
+ 2 E1 ⋅ E2
I R = I1 + I 2 + I1,2 , I1,2 = 2 E1 ⋅ E2
t
ε
µ
=
(E + E )⋅(E + E )
1
2
1
2
t
t
t
(termino de interferencia)
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