Cap. 16: Superposición y ondas estacionarias

Cap. 16: Superposición y ondas estacionarias
Principio de Superposición: Cuando dos o más ondas se
combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las
ondas individuales. Este principio es consecuencia de la
linearidad de la ecuación de onda:
∂ y 1 ∂ y
= 2 2
2
v ∂t
∂x
2
2
Interferencia de ondas armónicas
y1 = A sin ( kx − ω t ) ,
y2 = A sin ( kx − ω t + φ )
y = y1 + y2 = A sin ( kx − ω t ) + A sin ( kx − ω t + φ )
⎛
⎞
⎛
⎞
y = A sin ⎜ kx − ω t ⎟ + A sin ⎜ kx − ω t + φ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
α
⎝
⎠
⎝ β ⎠
Usando la siguiente identidad
⎛α − β
sin α + sin β = 2 cos ⎜
⎝ 2
⎞ ⎛α + β ⎞
⎟ sin ⎜
⎟
⎠ ⎝ 2 ⎠
tenemos:
φ⎞ ⎛
φ⎞
⎛
y = ⎜ 2 A cos ⎟ sin ⎜ kx − ω t + ⎟
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
La onda resultante es otra onda armónica de igual
número de onda y frecuencia. La amplitud de la onda
resultante es 2Acos(φ/2) y la constante de fase es φ/2.
Si φ = 0, entonces la
amplitud es 2A y la
interferencia es
constructiva.
Si φ = π, entonces
la amplitud es cero
y la interferencia es
destructiva.
Ver ejemplo 16.6.
Ondas estacionarias
Considera una cuerda atada
a ambos extremos (ejemplo:
cuerda de guitarra).
Las ondas viajando a la
izquierda interfieren con las
que viajan a la derecha y
para ciertas frecuencias,
forman el patrón de onda
estacionaria ilustrado en la
figura.
y1 ( x, t ) = A sin ( kx − ωt )
y2 ( x, t ) = A sin ( kx + ωt )
y = y1 + y2 = A sin (kx − ωt ) + A sin (kx + ωt )
Usando
1
1
sin α + sin β = 2 cos (α − β) sin (α + β)
2
2
tenemos
y = [2A sin kx ] cos ωt
Vemos que la ecuación predice que existe un nodo en x = 0, lo
cual es correcto.
Vemos que en x = L hay otro nodo, por lo tanto
sin kL = 0
∴ kL = n π
2π
2L
L = n π ∴ λn =
λ
n
v
n
=
fn =
v
λn
2L
n T
fn =
2L µ
Ejemplo:
Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0.70 m
entre sí y se ajustan hasta que la frecuencia fundamental de la
cuerda es 440 Hz. Calcula la velocidad de las ondas
transversales en la cuerda.
Ejemplo:
Una cuerda de 3 m de longitud, y
densidad lineal 0.0025 kg/m,
está sujeta por ambos extremos.
Una de las frecuencias de
resonancia es 252 Hz. La
siguiente frecuencia de
resonancia es 336 Hz. ¿Qué
armónico corresponde a los 252
Hz? Calcula la frecuencia
fundamental y la tensión en la
cuerda.