Solución Ejercicios Prácticas

1
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INTRODUCCION A MATHEMATICA
Ejercicios
1- Utilice Table para hacer una lista conjunta de los cuadrados y los cubos de los números pares del uno al nueve.
Tablei^ 2, i ^ 3, i, 2, 9, 2
2- Utilice Table para crear una lista con las potencias de x de 2 a 9 con paso 3.
t  Tablex ^ i, i, 2, 9, 3
3- Seleccione de la lista anterior x^5 y evalúelo para x = 2.
t2 . x  2
Ejercicios
1- Representar una matriz 3x3 tal que aij =xi y j . Tomar un vector p, de dimensión 3x1, que sea la evaluación de
la 1ª fila de la matriz para x=2,y=3.
m  Tablex ^i y ^ j, i, 3, j, 3
p  m1 . x  2, y  3
2- Construir una matriz m, cuadrada de orden 3 con los siguientes elementos: {{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}. Extraer el
vector m1 , como la 1º fila de la matriz m. Extraer m2 , que sea la 2ª columna de la matriz m. Idem m3 , como
la diagonal principal. Idem m4 , como la otra diagonal. Obtener m5 , una matriz 2x2 formada por los elementos
esquina de m . Asociar también a m6 , la matriz 2x2 adjunta al elemento (3,3).
n  a, b, c, d, e, f, g, h, i
MatrixForm%
m1  n1
m2  Tableni, 2, i, 3
Transposen2
m3  Tablenk, k, k, 3
2
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m4  Tablen4  i, i, i, 3
m5  n1, 1, n1, 3, n3, 1, n3, 3
m6  Tablenh, k, h, 2, k, 2
3- Sea un vector v1={a,b,c}. Sea v2={d,e,f}. En Mathematica el producto elemento a elemento de vectores o
matrices se realiza utilizando el simbolo
consigue usando el operador
(.).
(*).
Sin embargo el producto matricial o el escalar de vectores se
Multiplicar los 2 vectores elemento a elemento y escalarmente.
Repetir los cálculos con una matriz 3x2. En su caso utilizar la función Transpose[ ], cuando se necesite transponer
un operando.
v1  a, b, c; v2  d, e, f;
v1  v2
v1.v2
A  1, 2, 3, 4, 5, 6
B  7, 8, 9, 10, 11, 12
AB
A.TransposeB
 1 3 1 2 


 2 4 1 3 

 .
4- Sea A=

 5 1 2 3 
 3 5 4 1 
a)Hallar el valor del determinante de A.
b) Hallar el rango de A.
DetA
RowReduceA  MatrixForm
MinorsA, 3
MinorsA, 2
3
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2 1 1



5- Hallar la inversa de la matriz A=  4 2 0  .


 3 1 1 
2
1 1






4
2 0
Inverse



 3 1 1 
6- Calcular los valores y vectores propios de las matrices:
 1 2 2 
 m 0 2  m 




0 
A=  2 1 2 
B= 0 4




2 2 1 
 m 0 2  m 
1 2 2





A
2 1 2 



2 2 1 
a  EigensystemA
1 2 2 




2 1 2
Eigenvalues




2
2
1


1 2 2 





Eigenvectors


2 1 2 
2
2
1


 m 0 2m


0 4
0
B


m
0
2

m








b  EigensystemB
 1 0 1 0 


 1 1 4 0 

 hallar la matriz J que sea su forma canónica de Jordan, así como la
7- Dada la matriz A= 
 1 0 3 0 


 1 0 4 1 
matriz P que relaciona ambas matrices
ClearA
A  1, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 4, 1;
descomp  JordanDecompositionA
formcan  descomp2; MatrixFormformcan
P  descomp1; MatrixFormP
4
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P.formcan.InverseP  MatrixForm
Expresiones algebraicas (polinómicas / racionales)
Ejercicios
1- Representar como f(x) la función ( x+2 )x  12 x  23 .
fx_ : x  2 x  1 ^ 2 x  2^ 3
1
2- Descomponer en fracciones simples la expresión 

fx
Apart1  fx
3- Desarrollar la expresión de f(x) hasta obtener un polinomio de grado 6 en x.
Expandfx
4- Factorizar la expresión que se acaba de obtener.
Factor%
5- Definir una función f(x,y)=1+4xy+6x3 y2 +4x2 y3 +xy4 . Hallar las soluciones de la ecuación para el caso de
x=1, utilizando el comando Factor.
Clearf
fx_, y_ : 1  4x y  6x^ 3 y ^2  4x ^2 y ^3  x y ^ 4
f1, y  Factor
Gráficos
Ejercicios
Nota: Las salidas gráficas ocupan mucha memoria, por eso, una vez que se ha comprobado que es correcta,
conviene suprimir la salida para que el fichero no tenga un tamaño mayor que el que cabe en el disquette.
1- Dibujar la función sen(x)/x así como la función sen(x) en el intervalo (-10,10) .
PlotSinx  x, x, 10, 10
PlotSinx, x, 10, 10
5
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2- Dibujar la función x*y .
Plot3Dx y, x, 5, 5, y, 5, 5
3- Dibujar la función paramétrica
x = 4 Cos(-11t / 4)+7 Cos(t)
y = 4 Sin(-11t / 4)+7 Sin(t)
Desde 0 a 8Pi.
ParametricPlot
4Cos11t  4  7Cost, 4Sin11t  4  7Sint, t, 0, 8 Pi
4- Dibujar la función x= Cos(u)Sin(v)
y= Cos(u)Cos(v)
z=v
ParametricPlot3DCosu Sinv, Cosu Cosv, v,
u, 0, 2 Pi, v, Pi, Pi
5- Dibujar la función : 4x^2+y^2=1.
ParametricPlot3DCosu Sinv, Cosu Cosv, v,
u, 0, 2 Pi, v, Pi, Pi
 Graphics`ImplicitPlot`
ImplicitPlot4x^ 2  y ^ 2  1,
x, 1, 1, y, 1, 1, AxesOrigin  0, 0
Resolución de ecuaciones y Sistemas
Ejercicios
1- Hallar las raices de la ecuación x^4-3x^3+2=0. Asignar a x1 y x2, respectivamente, los valores de las raices
reales y a x3, x4 los de las raices complejas. Comprobar que x3 y x4 son raices complejas conjugadas
sol  NSolvex ^ 4  3x ^ 3  2  0, x
x1  x . sol3; x2  x . sol4; x3  x . sol1;
x4  x . sol2; x4  Conjugatex3
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6
2- Hallar las raices de la ecuación ax^3-bx^2+x+1=0 para los diferentes valores de a y b
Con el comando Reduce la solución es más compleja pero se ven todas las posibilidades de los parámetros. En este
caso son a=0 y b0, o bien, a=0 y b=0
Reducea  x ^ 3  b  x^ 2  x  1.  0, x
ecu  a  x^ 3  b  x ^ 2  x  1  0;
ecu1  ecu . a  0
Solveecu1, x
ecu2  ecu . a  0, b  0;
Solveecu2, x
Solveecu, x  Simplify
3- Hallar las raices de la ecuación ex +x4  x  2  0 en el intervalo [-2,2]
PlotExpx  x ^4  x  2, x, 2, 2
SolveExpx  x^ 4  x  2  0, x
FindRootExpx  x ^4  x  2  0, x, 1.3
FindRootExpx  x ^4  x  2  0, x, .4
1
x 2



4- Hallar el valor de x para que el determinante de la matriz  x  1 3 4  valga 0.


6 x
 5
mat  1, x, 2, x  1, 3, 4, 5, 6, x;
NSolveDetmat  0, x
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7
 1 2 
5- Dada la matriz A= 
. Hallar el conjunto de matrices B que:
3 4 
a) Conmuten con la matriz A.
b) Cumplan A.B=(0).
c) Cumplan A.B=I.
B  b11, b12, b21, b22; A  1, 2, 3, 4;
ReduceA.B  B.A, b11, b12, b21, b22
2 b21
Bconm  B . b11  b21  b22, b12   
3
 LinearAlgebra`MatrixManipulation`
cero  ZeroMatrix2, 2
ReduceA.B  cero, b11, b12, b21, b22
I2  IdentityMatrix2
SolveA.B  I2, b11, b12, b21, b22
6- Hallar las soluciones del siguiente sistema:
ax+ay+z=a
x+2y+az=1
y+(1+a)z=a+3
según los valores del parámetro a
Solvea x  a y  z  a, x  2 y  a z  1, y  1  a  z  a  3, x, y, z
Reducea x  a y  z  a, x  2 y  a z  1, y  1  a  z  a  3,
x, y, z  Simplify
Explicación: con a-1, las soluciones son :
a 3a
x=5  a  a2  

1a
2
y=3  2 a  a
a 3a
z= 

1a
Con el comando RowReduce se ve que para a = -1 la matriz de los coef. tiene rango 2 mientras que la ampliada
tiene rango 3, sistema incompatible. Para los demás valores de a el sistema es compatible y determinado.
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8
matcoef  1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 0;
matamp  1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 2;
RowReducematcoef  MatrixForm
RowReducematamp  MatrixForm
7- Hallar las soluciones del sistema:
x+ y+ z=3
2x + 3y - z = 4
x + 2y - 2z = 1.
mat  1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2; b  3, 4, 1;
matamp  1, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1;
RowReducemat  MatrixForm
RowReducematamp  MatrixForm
Solvemat.x, y, z  b, x, y, z
Reducemat.x, y, z  b, x, y, z
Explicación: La matriz de coeficientes y la ampliada tienen rango 2, el sistema es compatible e indeterminado. La
solución es :
x=5-4 z
y =-2+3 z
8- Hallar las soluciones del sistema:
1
1
3 
 1
  x  




a
3     4 
 2
 y  = 

 3
3
4     7 


 z  

 5 a  b 7 
8b
según los diferentes valores de los parámetros a,b
Cleara, b
mat  1, 1, 1, 2, a, 3, 3, 3, 4, 5, a  b, 7;
indep  3, 4, 7, 8  b; matamp 
1, 1, 1, 3, 2, a, 3, 4, 3, 3, 4, 7, 5, a  b, 7, 8  b;
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9
Reducemat.x, y, z  indep, x, y, z
Con a=4 y b=3 el sistema es compatible e indeterminado (Se comprueba con RowReduce en la matriz de coeficientes y ampliada. Ambas tienen rango 2). La solución es:
x=5-7y,
z=2(-1+3y)
mat1  mat . a  4, b  3; indep1  indep . a  4, b  3;
matamp1  matamp . a  4, b  3;
RowReducemat1  MatrixForm
RowReducematamp1  MatrixForm
Con a=4 y b3, ambas matrices tienen rango 3 y el sistema es compatible y determinado, y la solución es:
x=12, y=-1, z=-8
mat2  mat . a  4; indep2  indep . a  4; matamp2  matamp . a  4;
RowReducemat2  MatrixForm
RowReducematamp2  MatrixForm
Con a4 y b=3 ambas matrices tienen rango 3 y el sistema es compatible y determinado, y la solución es:
x=5, y=0, z=-2
mat3  mat . b  3; indep3  indep . b  3; matamp3  matamp . b  3;
RowReducemat3  MatrixForm
RowReducematamp3  MatrixForm
Bucles
Ejercicios
1-Utilizando Do, representar sucesivamente las gráficas de sen(nx) para n desde 1 hasta 5
10
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DoPlotSinn x, x, , , n, 5
2º.-Siendo Sn la suma de los n primeros números naturales. ¿Cúal es el mayor valor de n tal que Sn<11?. En este
caso, ¿Cuanto es exactamente la suma Sn?.
Repetir el ejercicio de forma que Sn<10^4.
Fors  0; n  1, s  n  11, n , s  s  n; Prints;
Print"El mayor valor de n es: ", n  1
Fors  0; n  1, s  n  104 , n , s  s  n;
Print"El mayor valor de n es: ", n  1;
Print"Y el valor de la suma es: ", s
x
x
3º.-Sabiendo que ex  1  x  
2 + 
3 +.... . Encontrar el polinomio que nos da, para x=5, una valor aproximado
4
de e5 con un error menor que 10 . Utilizar como criterio de parada que el valor absoluto del sumando a añadir
sea menor que 104 . El nº de operaciones se puede optimizar teniendo en cuenta que el nuevo sumando que hay
x3
x2
x
que añadir es igual al último que se ha añadido dividido por n. Por ejemplo : 
3 = ( 
2 )* 
3 , es decir , term =
term/n y a continuación : suma = suma +term.
2
3
Forsx_  0; termx_  1; n  1,
Absterm5.  104, n , sx_  sx  termx;
termx_  termx  x  n; Printsx; Prints5.
Comparando con el valor de e5
^ 5.
4º.- La sucesión an } de los números de Fibonacci verifica que an = an1 +an2 , siendo a0 = a1 = 1. Crear una
lista que contenga a los 20 primeros términos de la sucesión. Calcular los términos de la sucesión que sean
menores que 1000.
1º.l20  Table0, 20; l201  1; l202  1;
Dol20i  l20i  1  l20i  2, i, 3, 20; Printl20
Utilizando el comando Fibonacci[n]
11
solucionejerc.nb
TableFibonaccii, i, 20
2º.Fora0  1; a1  1; i  2, ai1  ai2  1000, i, ai  ai1  ai2 ; Printai 
Utilizando el comando Fibonacci[n]
Fori  2, Fibonaccii  1  Fibonaccii  2  1000,
i , PrintFibonaccii
VARIABLE REAL
Ejercicios
1- Calcular el límite de la función valor absoluto en x=0
LimitAbsx, x  0
2- Calcular el límite de la función tangente en el punto 2
LimitTanx, x  Pi  2, Direction  1
LimitTanx, x  Pi  2, Direction  1
3- Calcular la derivada de primer orden de la función seno y la derivada de orden 4 de la función coseno.
DSinx, x
DCosx, x, 4
4- Calcular la diferencial de x2  3x3 .
Dtx^ 2  3 x^ 3
Dtx^ 2  3 x^ 3 . Dtx  dx
Dt[x^2 + 3 y^2]
12
solucionejerc.nb
Dt[x^2 + 3 y^2,x]
Dt[x^2 + 3 y^2,x]/.Dt[y,x]->dy/dx
y/: Dt[y, x] = 0
Dt[x^2 + 3 y^2,x]
5-Calcular las siguientes integrales:
1
1 Absx x,
x x
1
 Absx x
1
 x x
6- a) Estudiar la continuidad en x=0 y en x=e de la siguiente función
f(x) = x  Logx3 x  (0,e )
Logx

x
3
f(x) =
x>e
Logx3
f1x_  x  Logx; f2x_  
 ;
x
fx_ ; 0  x    f1x; fx_ ; x    f2x;
Limitfx, x  0, Direction  1
Limitf1x, x  0, Direction  1
Limitf1x, x  0
f10
Plotfx, x, 0, .5, PlotRange  All
13
solucionejerc.nb
Limitfx, x  , Direction  1
Limitf1x, x  , Direction  1
Limitf2x, x  , Direction  1
b) Dibujar la gráfica aproximada de f.
Plotfx, x, 0, 5
c) Calcular el área limitada por f, el eje X, y las rectas x=0, x=10.
Plotfx, x, 0, 1.5, PlotRange  .01, .01
1º. En el intervalo [0,1]
1
i1  Abs f1x x  N
0
2º. En el intervalo [0,]

i2   f1x x  N
1
3º. En el intervalo [,10]
i3  
10

f2x x  N
total  i1  i2  i3
Funciones de dos variables
Ejercicios
1- Dada la función f(x,y)=sen(x+y):
- Dibujar la función en el recinto [0,4]x[0,4]
- Calcular x f x, y, x,y f x, y, x,y3 f x, y
- Calcular df(x,y)
14
solucionejerc.nb
fx_, y_  Sinx  y; Plot3Dfx, y, x, 0, 4, y, 0, 4
f1x_, y_  x fx, y
f2x_, y_  x,y fx, y
x,y,y,y fx, y
Dtfx, y
2- Calcular las parciales de la funcion f(x,y) = Logxx  2yy  
( 4 , 4 )
fx_, y_  Logxx  2 yy 

Sinx  y en el punto

Sinx  y ;
x fx, y . x    4, y    4  N
y fx, y . x    4, y    4  N
x,y fx, y . x    4, y    4  N
3- Dada la función f(x,y,z)=sen(x+y+z) calcular el gradiente de f y dibujar su campo.
En el paquete <<Calculus `VectorAnalysis` tenemos, entre otros, los comando para calcular
gradientes, divergencias, rotacionales y laplacianas. En estos comando hay que especificar el
sistema de coordenadas en el que se quiere efectuar el cálculo. Por ejemplo si estamos trabajando
en cartesianas,
Grad[5 x^2 y^3 z^4, Cartesian[x, y, z]].
Para representar un campo vectorial en el espacio hay que utilizar comandos que están dentro del
paquete <<Graphics`PlotField3D`
fx_, y_, z_  Sinx  y  z;
15
solucionejerc.nb
<<Calculus`VectorAnalysis`
 Graphics`PlotField3D`
campvect  Gradfx, y, z, Cartesianx, y, z
PlotVectorField3Dcampvect, x, 2, 2, y, 2, 2, z, 2, 2
PlotGradientField3Dfx, y, z, x, 0, 2,
y, 0, 2, z, 0, 2, VectorHeads  True, PlotPoints  5
Sucesiones y series
Ejercicios
1- Calcular el límite de las siguientes sucesiones:
4
5

 

Lognn
a) n
b) n4  n2  n5  n3
Logn  n
Limit 
 , n  
n
4
5


Limit n4  n2  n5  n3 , n  
2- Dibujar los 20 primeros términos de la siguiente sucesión
1
1  
 
1n
n
.
Para respresentar un conjunto de puntos en el plano se utiliza el comando ListPlot. Buscar información en la ayuda antes de hacer la representación gráfica. Una de las opciones que se pueden
asignar a PlotStyle es PointSize[n] que permite representar puntos más o menos gordos.
Representar conjuntamente los puntos correspondientes a los términos de la sucesión (con un
PointSize[0.02], y de color azul) y la recta y=, (en color rojo y con un grosor Thickness[0.01])
n
1
1   
 , n, 20  N
lista  Table
1n 

graf1 
ListPlotlista, PlotStyle  PointSize.02, RGBColor0, 0, 1,
AxesOrigin  0, 0, Axes  True, PlotRange  0, 3
solucionejerc.nb
16
graf2 
Plot, x, 0, 20, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, Thickness.01
Showgraf1, graf2
3- Calcular la suma de las series numéricas cuyos términos generales vienen dados mediante las
siguientes sucesiones numéricas:

1 
n
a) 
b)

n1
n8
2

1

 
n1
2
n0

n
  N
 
8
n

n1
4- Obtener el desarrollo hasta el término 5 de la función f(x) en un entorno del punto x=0.
Clearf
Seriesfx, x, 0, 5
5- Definir una función f que sea el desarrollo de Taylor con 7 términos de L(1+x) en un
entorno de x=0. Comprobar que dicha función no se puede evaluar en el punto x=1 pero sí se
puede integrar y derivar. Obtener el valor del coeficiente de x5 .
Clearf
fx_  SeriesLog1  x, x, 0, 7
f1
 fx x
SeriesCoefficientfx, 5
17
solucionejerc.nb
6- a) Mediante los comandos Do o Table, definir una sucesión de funciones fi (t) que sean los
sucesivos polinomios de Taylor en t=0, hasta grado 5, de la función f(t)=sen(t)+cos(t). Mostrar
las expresiones de fi (t) .
ft_  Sint  Cost;
Tablefi t_  NormalSeriesft, t, 0, i, i, 0, 5
b) Dibujar simultáneamente f con cada una de las aproximaciones en [-,].
DoPlotft, fi t, t, , ,
PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, i, 0, 5
n
7- Dada la serie funcional 
n0 x
a) Hallar la suma S(x) de la serie

Sx_   xn
n0
b) Dibujar conjuntamente la suma S y las cinco primeras sumas parciales
i
tabla  Table xn , i, 5
n0
graf1  PlotEvaluatetabla, x, 1, 1
graf2  PlotSx, x, 1, 1, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0
Showgraf1, graf2
SERIES DE FOURIER
Ejercicios
1- Representar las funciones UnitStep[x], UnitStep[x-1] en el intervalo [-2,4].
18
solucionejerc.nb
PlotUnitStepx, x, 2, 4
PlotUnitStepx  1, x, 2, 4
2- La función escalón unidad se suele utilizar para construir una función que coincida con otra dada para valores
de la variable independiente mayores que uno determinado y sea nula en el resto del eje real. Definir f(t) = Cos(t)
para t>1 y 0 en caso contrario.Representarla en el intervalo [-2,7]. Probar que se puede integrar.
PlotCost  UnitStept  1, t, 2, 7
LimitCost  UnitStept  1, t  1
LimitUnitStept, t  0
3- Otra función de gran aplicación que se puede definir a partir de la función escalon unitario es la función pulso
rectangular. La función pulso rectangular de duranción T y centrada en el origen se define igual a la unidad
cuando -T/2<t<T/2, y cero en el resto del eje real.
Definir un pulso rectangular f(t) centrado en el origen y de duración igual a 2. Representarlo en el intervalo
[-2,2].Representarlo en el mismo intervalo pero desplazado a t0=1,5.
ft_  UnitStept  1  UnitStept  1; Plotft, t, 2, 2
Limitft, t  1, Direction  1
Limitft, t  1, Direction  1
Plotft  1.5, t, 2, 5
4.- Definir utilizando la función UnitStep,
0
, 2  t
t  2 , 2  t  1
, 1  t  1
f(t) =  1
2t
, 1t2
0
, 2t
solucionejerc.nb
19
ft_  t  2  UnitStept  2  UnitStept  1 
UnitStept  1  UnitStept  1 
2  t  UnitStept  1  UnitStept  2; Plotft, t, 4, 4
Ejercicios
 Ej.1º
1- Sea f(t) la función definida en el intervalo [-2,2] a partir de un pulso rectangular centrado en el origen y de
duración igual a 2.
a) Obtener los seis primeros desarrollos distintos de Fourier de f(t) en la forma de senos y cosenos llamándoles
f1 (t), f2 (t), ..., f6 (t).
b) Introducir las gráficas de estos desarrollos junto con la de la función en una tabla, P, sin mostrar dichos
gráficos. Utilizar finalmente los comandos Show, GraphicsArray y Partition para presentar en dos líneas las seis
gráficas.
c) Representar gráficamente los errores que se cometen al sustituir la función f(t) por las f1 (t), f2 (t), ..., f6 (t).
<<Calculus`FourierTransform`
FourierTrigSeriesft, t, 3, FourierParameters  1, 1  4
tabla  TableFourierTrigSeriesft, t,
i, FourierParameters  1, 1  4, i, 1, 11, 2
Dofit_  tablai, i, 6
P  TablePlotft, fi t, t, 2, 2,
PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,
DisplayFunction  Identity, i, 6
matrizgraf  PartitionP, 2
ShowGraphicsArraymatrizgraf
taberror 
TablePlotft  fit, t, 2, 2, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0,
PlotRange  .4, .4, DisplayFunction  Identity, i, 6
solucionejerc.nb
20
matrizgraferro  Partitiontaberror, 2
ShowGraphicsArraymatrizgraferro
 Ej.2º.-
2- Obtener la forma exponencial de la serie de Fourier del pulso rectangular del ejercicio 1º mediante el comando
FourierExpSeries.
FourierSeriesft, t, 3, FourierParameters  1, 1  4
 Ej.3º.-
3- Calcular el nº de terminos necesarios en el desarrollo en serie de Fourier del ejercicio 1 para que al sustituir
dicha función por el desarrollo el error sea menor que eps= .02 , en c= .5 .Dar como resultado: el nº de términos
de la serie, el desarrollo correspondiente S(t) y el valor de
S(c).Utilizar el comando For.
eps  .02; c  .5;
Forn  0; error  1, error  eps, n  2, sft_ 
FourierTrigSeriesft, t, n, FourierParameters  1, 1  4;
error  Absfc  sfc; Print"n ", n, " ", sft;
Print"error ", error;
FourierTrigSeriesft, t, 0, FourierParameters  1, 1  4
 Ej.4º.-
4- Repetir el ejercicio primero para la función : g(t) = x(x-), en el intervalo [0,].
ab
NOTA: Si se desea obtener el desarrollo de f(x), con x[a,b], hay que considerar el desarrollo de g(t)=f(t+ 
2 ),
ab ab
ab
con t[- 2 , 2 ], y a continuación considerar de nuevo x=t+ 2 .
 1º.- Representamos g[x] y f[x]=g[x+/2], para comprobar la traslación.
gx_  x  x  Pi; fx_  gx  Pi  2; Plotgx, fx,
x, Pi, Pi, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1
solucionejerc.nb
21
 2º.- Desarrollamos f[x] en Serie de Fourier en el intervalo [- /2, /2] con un periodo igual a 
Tablefi t_  FourierTrigSeries
ft, t, i, FourierParameters  1, 1  Pi, i, 6
 3º.- Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos las funciones gi t  fi t    2 , correspondientes
a los diferentes desarrollos. Se representan en una tabla de gráficos que no se muestra. En cada
gráfico de la tabla se representa el desarrollo correspondiente en azul y la función g(). Finalmente se
muestran los seis gráficos juntos, dos en cada línea.
Tablegi t_  fi t  Pi  2, i, 6  Simplify
tabgraf  TablePlotgt, gi t, t, , ,
PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,
DisplayFunction  Identity, i, 6
ShowGraphicsArrayPartitiontabgraf, 2
 4º.- Finalmente representamos gráficamente el error cometido en cada aproximación, del mismo
modo que los agráficos anteriores.
taberror  TablePlotgt  git, t, 0, ,
PlotRange  .25, .6, DisplayFunction  Identity, i, 6
ShowGraphicsArrayPartitiontaberror, 2
 Ej.5º.-
Desarrollar en serie de Fourier1-x^2 en [-1,1] . Como esta función no tiene saltos, los desarrollos se ajustan en
seguida a la función .(simulamos la extensión periódica gráficamente). Calcular el nº de términos necesarios para
que en c=0.75 el error cometido al aproximar la función mediante la serie sea menor que eps=0.02. Imprimir en
cada iteración el nº de terminos de la serie, el término de la serie y el error cometido.
fx_ : 1  x^ 2 ; 1  x  1; fx_ : fx  2 ; x  1;
graf  Plotfx, x, 1, 5, PlotStyle  RGBColor1, 0, 0
tabla  TableFourierTrigSeries
1  x^ 2, x, n, FourierParameters  1, 1  2, n, 5
22
solucionejerc.nb
tabgraf  TablePlottablai, x, 1, 5,
PlotStyle  RGBColor0, 0, 1, DisplayFunction  Identity, i, 5
DoShowgraf, tabgrafi, i, 5
eps  .02; c  .75;
Forn  0; error  1, error  eps, n , sft_ 
FourierTrigSeries1  t ^ 2, t, n, FourierParameters  1, 1  2;
error  Absfc  sfc; Print"n ", n, " ", sft;
Print"error ", error;
ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejercicios
1- Obtener, si es posible, la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) xy'+y = x4 y3
2) x y2  3yx2  x  yx2 y '  0
xy4
3) y'= 

xy6
4) y'+x2 y  x  y2
5) x3 y''' + x2 y'' - 2x y' + 2y =0
xy'  y  x4 y3
DSolvex  y 'x  yx  x ^ 4  yx ^ 3, yx, x  PowerExpand
xy2  3yx2  x  yx2 y '  0
DSolvex  yx^ 2  3 yx  x^ 2  x  yx  x^ 2  y 'x  0, yx, x
y' 
xy4

xy6
x  yx  4
DSolvey 'x  
 , yx, x
x  yx  6
23
solucionejerc.nb
y'  x2 y  x  y2
DSolvey 'x  x ^2  yx  x  yx2 , yx, x
x3 y'''  x2 y''  2x y'  2y  0
DSolvex^ 3  y'''x  x ^ 2  y ''x  2 x  y 'x  2 yx  0, yx, x
2- En el caso de la ecuación 3) se obtiene una forma implícita de la solución. Comprobarlo con Mathematica
x  yx  4
sol  DSolvey'x  
 , yx, x
x  yx  6
x sol1
Solvex sol1, y 'x  Simplify
3- Obtener el campo de direcciones de la ecuación 4)del ejercicio 1, en el dominio [-0.5,0.5],[0.7,2.5]
y'+x2 y  x  y2
OptionsPlotVectorField
 Graphics`PlotField`
campo  PlotVectorField1, x  y2  x2  y,
x, .5, .5, y, .7, 2.5, Axes  True, HeadLength  0.03;
4- Obtener, si es posible, la solución exacta de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:
a) xy'+y = x4 y3
 x  y
xy4
c) y'= 

xy6
d) x3 y'''+ x2 y''-2xy'+2y = 0
b)
y'+x2 y
a xy'  y  x4 y 3
2
y(1)=-1
y(0)=1
y(0)=2
y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=1/2
y1  1
solu  DSolvex  y 'x  yx  x ^ 4  yx^ 3, y1  1, yx, x
24
solucionejerc.nb
solu1
fx_  yx . solu1
x  f 'x  fx  x ^ 4  fx ^ 3  Simplify
y'  x2 y  x  y2
y0  1
DSolvey'x  x^ 2  yx  x  yx2 , y0  1, yx, x
y' 
xy4

xy6
y0  2
x  yx  4
DSolvey'x  
 , y0  2, yx, x
x  yx  6
x3 y'''  x2 y''  2xy'  2y  0
y1  0, y'1  1, y''1  1  2
DSolvex^ 3  y '''x  x ^2  y ''x  2 x  y 'x  2 yx  0,
y1  0, y '1  1, y ''1  1  2, yx, x
En el caso b), Mathematica no proporciona la solución exacta del problema de valor inicial planteado (esta
solución sabemos que existe por el Teorema de Existencia y Unicidad); mientras que en el caso c) se obtiene una
forma implícita de la solución.
5- Encontrar una solución aproximada de cada uno de los problemas de valor inicial b) y c) en el intervalo
[-0.5,0.5]. Evaluar las soluciones obtenidas en puntos del intervalo y representarlas gráficamente. Por último,
representar conjuntamente el campo de direcciones del ejercicio 3 con la solución aproximada obtenida para b)
solu 
NDSolvey 'x  x ^2  yx  x  yx2 , y0  1, y, x, .5, .5
fx_  yx . solu1
f0.25
aprox  Plotfx, x, .5, .5,
PlotStyle  RGBColor1, 0, 0, Thickness.01
solucionejerc.nb
25
Showaprox, campo
6- Consideremos el siguiente problema de valor inicial:
y'+2y = q(x) donde q(x) = 1 si 0 x 1 y q(x) = 0 si x > 1 ;
y(0) = 0
Puesto que se trata de una ecuación con un término de naturaleza discontinua, se obtendrá la solución exacta
siguiendo los pasos siguientes:
a) Resolver el problema de valor inicial: y'+2y=1, y(0)=0 y representar gráficamente su solución
y1 (x) en el intervalo [0,1]
b) Resolver la ecuación diferencial: y'+2y=0 y representar gráficamente algunas de sus soluciones
particulares en el intervalo [1,3]
c) Representar simultáneamente en el intervalo [0,3] la situación hasta el momento obtenida
d) Obtener y representar gráficamente la solución particular y2 (x) que conduzca a una solución con
tinua para x0 del problema de valor inicial planteado
e) Construir la solución exacta ye (x), es decir la función tal que:
ye (x)=y1 (x) en 0x1
ye (x)=y2 (x) en 1x3
y representarla gráficamente en el intervalo [0,3]
1º.- Con la función q(x) definida con un pulso rectangular,
qx_  UnitStepx  UnitStepx  1;
solu  DSolvey 'x  2 yx  qx, y0  0, yx, x
yex_  yx . solu1
Plotyex, x, 0, 3
2º.- Siguiendo los pasos del problema:
solu  DSolvey 'x  2 yx  1, y0  0, yx, x
y1x_  yx . solu1
graf1  Ploty1x, x, 0, 1
solu1  DSolvey 'x  2 yx  0, yx, x
ypartx_  yx . solu11
solucionejerc.nb
26
tabpart  Tableypartix_  ypartx . C1  i, i, 3
graf2  PlotEvaluatetabpart, x, 1, 3
Showgraf1, graf2
solcte  Solveypart1  y11, C1
a  C1 . solcte1; ypartx_  ypartx . C1  a
yex_ ; 0  x  1  y1x;
yex_ ; 1  x  ypartx; Plotyex, x, 0, 3
7- Determinar una solución aproximada ya (x) al problema de valor inicial del ejercicio anterior y representarla
gráficamente.
Representar también el error |ye (x)-ya (x)| cometido en la aproximación
soluapr  NDSolvey 'x  2 yx  qx, y0  0, y, x, 0, 3
yax_  yx . soluapr1
Plotyax, x, 0, 3
Plotyex  yax, x, 0, 3
8- Obtener la solución de los siguientes problemas de valor inicial:
y''+y=t+(1-t) H(t-1)
y(0)=0, y'(0)=1
y''+y=(t-) cost
y(0)=0, y'(0)=1
a) Directamente
b) Utilizando la Transformada de Laplace
1)
a)
qt_  t  1  t  UnitStept  1;
solucionejerc.nb
solu  DSolvey ''t  yt  qt, y0  0, y '0  1, yt, t
y1t_  yt . solu1
Ploty1t, t, 10, 20
b)
ecu  y ''t  yt  qt;
ecutrans 
LaplaceTransformecu, t, s . y0  0, y'0  1  Simplify
soltrans  Solveecutrans, LaplaceTransformyt, t, s  Simplify
Ys_  LaplaceTransformyt, t, s . soltrans1
y2t_  InverseLaplaceTransformYs, s, t  Simplify
Ploty2t, t, 0, 20
2)
a)
ht_  DiracDeltat  Pi  Cost;
solu  DSolvey ''t  yt  ht, y0  0, y '0  1, yt, t
y11t_  yt . solu1
Ploty11t, t, 0, 20
b)
ecu2  y ''t  yt  ht;
27
28
solucionejerc.nb
ecutrans2 
LaplaceTransformecu2, t, s . y0  0, y '0  1  Simplify
soltrans2  Solveecutrans2, LaplaceTransformyt, t, s  Simplify
Y2s_  LaplaceTransformyt, t, s . soltrans21
y22t_  InverseLaplaceTransformY2s, s, t  Simplify
Ploty22t, t, 0, 20
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios
1- Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:
0



 0

x' = 


8



16

0
0
1
0
1
0
0
0
0 t
 





1
0






x+

1

0





  

0 0
con la condición inicial
1 






0 




x(0) = 



1






2


a) Obtener, si es posible, la solución general del sistema
b) Obtener, si es posible, la solución exacta al problema de valor inicial planteado
c) Representar gráficamente la 3ª componente del vector solución
Para obtener la solución general:
DSolvex1't  x3t  t, x2't  x4t, x3't  8x1t  1,
x4't  16x1t, x1t, x2t, x3t, x4t, t  FullSimplify
De otra forma, definiendo el sistema como producto de la matriz por un vector fun, cuyas componentes son las
funciones incoógnita
fun  x1t, x2t, x3t, x4t;
der  x1t, x2 t, x3 t, x4 t;
ind  t, 0, 1, 0;
mat  0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 1, 0, 0, 16, 0, 0, 0;
x0  1, 0, 1, 2;
29
solucionejerc.nb
ecu  mat.fun  ind
DSolvex1't  ecu1, x2't  ecu2,
x3't  ecu3, x4 't  ecu4, fun, t  FullSimplify
sol1  DSolvex1't  ecu1, x2 't  ecu2, x3't  ecu3,
x4't  ecu4, x10  x01, x20  x02,
x30  x03, x40  x04, fun, t  FullSimplify
y3t_  x3t . sol11; Ploty3t, t, 0, 10
2- ¿Proporciona Mathematica la solución exacta al siguiente problema de valor inicial?
2t
1 
1




0
2
0 
x' = 



x
2
 1 2  t t 
 0 


x(1)= 1 


 1 
1
2t
1 





0
2
0 
mat  
; fun  x1t, x2t, x3t;






2
 1 2  t t 
x0  0, 1, 1; ecu  mat.fun;
DSolvex1't  ecu1, x2't  ecu2, x3 't  ecu3,
x11  x01, x21  x02, x31  x03, fun, t
Como Mathematica nos devuelve el comando tal cual esto quiere decir que no puede obtener la solución mediante
procedimientos analíticos
3- Puesto que no es posible obtener de forma exacta la solución al problema de valor inicial anterior, obtener la
solución de forma aproximada en el intervalo [0.5,1.5] y representar la 2ª componente del vector solución
sol  NDSolvex1't  ecu1,
x2't  ecu2, x3 't  ecu3, x11  x01,
x21  x02, x31  x03, fun, t, .5, 1.5
xat_  x3t . sol1; Plotxat, t, .5, 1.5
solucionejerc.nb
30
Polinomios ortogonales.
Ejercicios
1- Determinar los 9 primeros polinomios de Legendre y representar alguno de ellos a modo de ejemplo, en el
intervalo [-1,1], encontrando sus raices
polis  TableLegendrePn, x, n, 9
PlotEvaluatepolis, x, 1, 1
graf  Table
Plotpolisn, x, 1, 1, DisplayFunction  Identity, n, 9
ShowGraphicsArrayPartitiongraf, 3
sol  TableRootspolisn  0, x, n, 5  N
raices  TableTableRootpolism, n, n, m , m, 9  N
TableFormraices
Nota: Análogamente a los polinomios de Legendre, también están implementados en Mathematica los polinomios de Hermite, de Laguerre y de Chebyshev. Se recomienda utilizar la ayuda para obtener información acerca
de ellos.
Funciones de Bessel
Ejercicios
2- Representar gráficamente, en el intervalo [0,50], la función de Bessel de primera especie y orden 1/3 y evaluar
dicha función en x=0 y x=20
solucionejerc.nb
31
 NumericalMath`BesselZeros`
fx_  BesselJ1  3, x; f0; f20  N
Plotfx, x, 0, 50
3- Determinar los 15 primeros ceros de la función de Bessel de primera especie y orden 1/3
BesselJZeros1  3, 15
4- Obtener los diez primeros términos del desarrollo en serie de potencias en torno al cero de la función de Bessel
de primera especie y orden 1/3
NormalSeriesfx, x, 0, 10  N
5- Practicar las mismas cuestiones anteriores con otras funciones de Bessel de primera y segunda especie (por
ejemplo, para orden: 0, 2 y -1/3) (Observar que Mathematica no responde cuando se le piden los ceros de la
función de Bessel de primera especie y orden -1/3, pudiéndose, en tal caso, determinar los ceros mediante FindRoot)
f1x_  BesselJ1  3, x; Plotf1x, x, 0, 50
NormalSeriesf1x, x, 0, 10  N
BesselJZeros1  3, 5
FindRootf1x  0, x, 1.75
FindRootf1x  0, x, 5
FindRootf1x  0, x, 8
f3x_  BesselJ2, x; Plotf3x, x, 0, 50
solucionejerc.nb
NormalSeriesf3x, x, 0, 10  N
f4x_  BesselY0, x; Plotf4x, x, 0, 50
NormalSeriesf4x, x, 0, 10  N
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