Práctica PDF

La función exponencial
En Mathematica,la función exponencial está definida como Exp[x]
Plot@8Exp@xD, Exp@-xD<, 8x, -3, 3<, PlotRange ® 80, 10<D
Ahora comparemos a la función exponencial con tres funciones
PlotA9x, x2 , x10 , Exp@xD=, 8x, 0, 3<E
¿Cuál de estas gráficas crece más rápido?
LimitAx10 ‘ Exp@xD, x ® InfinityE
¿Qué siginifica este resultado?
Modelo de la resitencia del aire sobre una partícula
Ÿ Caso 1: Movimiento a lo largo de x
Abordemos el primer caso que tratamos en el salón de clases. No hay fuerza sobre el móvil. Para la solución de una ecuación
diferencial se usa el comando DSolve
DSolve@80 == m * v ’@tD, v@0D Š vx0<, v@tD, tD
DSolve@8vx0 == x ’@tD, x@0D == x0<, x@tD, tD
Estos dos pasos pueden hacerse en un solo procedimiento
solx = DSolve@80 == m * x ’’@tD, x ’@0D Š vx0, x@0D == x0<, x@tD, tD
enx = x@tD . solx@@1DD
Por supuesto que podemos hacer la gráfica de la solución, para esto se tienen que dar las condiciones iniciales
x0 = 0;
vx0 = 10;
Plot@enx . t -> z, 8z, 0, 10<D
Clear@x0, vx0D;
Ahora estamos en posición de resolver el problema con la fuerza de fricción incluida
solucionx = DSolve@8-alfa * x ’@tD == m * x ’’@tD, x ’@0D Š vx0, x@0D == x0<, x@tD, tD
Simplify@%D
ejex = x@tD . solucionx@@1DD
Podemos obtener la velocidad del móvil con
D@ejex, tD
Simplify@%D
Para una alfa igual a 1 Kg/s, x0=0 m, vx0=10 m/s, y m =0.01 Kg. Haga una gráfica de la posición con respecto al tiempo
2 resistencia_del_aire.nb
x0 = 0;
vx0 = 20;
m = 0.01;
alfa = 0.1;
Plot@ejex . t -> z, 8z, 0, 2<, PlotRange ® 80, 2<D
Clear@alfaD;
Manipulate@Plot@ejex . t -> z, 8z, 0, 2<, PlotRange ® 80, 2<D, 8alfa, 0, 10<D
Podemos saber la posición máxima del móvil al obtener el límite cuando t tiende a infinito
Limit@ejex, t ® InfinityD
La gráfica de la velocidad se puede obtener con
Plot@D@ejex, tD . t ® z, 8z, 0, 2<, PlotRange ® 80, 20<D
Clear@x0, vx0, m, alfaD;
Ÿ Caso 2: Movimiento a lo largo de y
soluciony = DSolve@8-alfa * y ’@tD - m * g == m * y ’’@tD, y ’@0D Š vy0, y@0D Š y0<, y@tD, tD
ejey = y@tD . soluciony@@1DD
Ahora hagamos la gráfica de la posición de un objeto que lanzamos hacia arriba con una velocidad inicial vy0=10 m/s, m =0.01
Kg, alfa=1 y posición inicial y0=0.
m = 0.01;
y0 = 0.0;
vy0 = 20.0;
g = 9.81;
alfa = 0.1;
Plot@ejey . t ® r, 8r, 0, 3<D
Plot@D@ejey, tD . t ® z, 8z, 0, 3<D
Clear@y0, vy0, m, g, alfaD;
¿Cómo interpreta el comportamiento de la velocidad a tiempos grandes?