Teoría de Conjuntos

16/02/2012
Teoría de Conjuntos:
Producto Cartesiano y Relaciones
COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II
Dra. Madeline Ortiz Rodríguez
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Repaso sobre Conjuntos
 Los elementos de un conjunto pueden organizarse en
cualquier orden.
 En un conjunto bien definido no existen elementos
repetidos.
 Cuando un conjunto se define en términos de sus elementos,
éstos pueden ser números, variables u otros conjuntos.
 Un conjunto puede definirse en términos de una proposición
o expresión algebraica.
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Producto Cartesiano - Definición
 Dados dos conjuntos, se define el Producto Cartesiano como
una multiplicación de conjuntos.
 Notación para Producto Cartesiano: X x Y
 Notación para un elemento del conjunto: (x,y)
 Esto significa que los elementos de X serán el dominio (el
primer elemento del par ordenado) y que Y será el alcance (el
segundo elemento en el par ordenado).
 El orden de los elementos en el par ordenado es importante.
 El orden de los elementos puede distinguir un par ordenado
de otro: (x,y) no es igual a (y,x).
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Producto Cartesiano para 2 conjuntos
 Si tenemos dos conjuntos, los elementos del producto
cartesiano se establecerán como pares ordenados.
 Cada elemento ES un par ordenado.
 Veamos como se construye un producto cartesiano para dos
conjuntos finitos:
 X = {2, 4, 6}
 Y = {7, 8}
 X x Y = {(2,7), (2,8), (4,7), (4,8), (6,7), (6,8)}
Toma el primer elemento de X y combínalo con cada elemento de Y.
Luego, repite el mismo procedimiento con cada elemento de X.
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Uso de diagramas para construir el
Producto Cartesiano para 2 conjuntos
 A = {1,2,3}
 B = {4,5,6}
 A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
Imagen obtenida de: http://www.proyectosalonhogar.com/matem/01carteok.html
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Ver el siguiente vídeo
 Producto Cartesiano
http://www.youtube.com/watch?v=vgledj-7XQ4
 Excelente explicación sobre la construcción del producto
cartesiano de dos conjuntos y su relación con la cardinalidad de
cada conjunto.
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Cardinalidad del Conjunto
 Recordemos – la cardinalidad de un conjunto es el número
total de elementos en el conjunto
 Por ejemplo: F = {3,4,6,8,9}
 Cardinalidad: |F| = 5
 Interpretación: El conjunto F tiene 5 elementos.
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Cardinalidad de:
el Conjunto “Producto Cartesiano”
 Dados los conjuntos X y Y, definidos como:
 X = {1,2,3,4}
 Y = {p, q}
|X| = 4
|Y| = 2
 La cardinalidad del Producto Cartesiano:
 |X x Y| = |X| x |Y| =4 x 2 = 8
 Interpretación: El conjunto del Producto Cartesiano
tendrá 6 elementos. Veamos:
 X x Y = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}
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Veamos un ejemplo conocido: el Plano Cartesiano.
Éste trabaja con conjuntos infinitos.
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Imagen obtenida de:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
Plano Cartesiano (1-4)
 Este producto combina los elementos de dos o más conjuntos
en pares ordenados.
 Has estudiado el Plano Cartesiano en Álgebra y localizado
puntos en sus cuadrantes.
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
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Plano Cartesiano (2-4)
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
 Los puntos son pares ordenados de números reales.
 En el Cuadrante I, se dibujan los puntos para x>0 y y>0, lo
que nos da números positivos (+,+).
 En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x<0 y y>0, lo
que nos da dos tipos de números (+,--)
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Plano Cartesiano (3-4)
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
 Completa la información para los Cuadrantes III y IV:
 En el Cuadrante III, se dibujan los puntos para x___ y y ___
lo que nos da números positivos (____).
 En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x___ y y y ___
lo que nos da dos tipos de números (____)
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Plano Cartesiano (4-4)
 Para concluir, el Plano Cartesiano presenta un caso de pares
ordenados infinitos.
 Tanto los valores de X como los valores de Y pertenecen al
conjunto de los Números Reales.
 Sin embargo, en este curso se trabaja con conjuntos finitos.
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Producto Cartesiano para 3 conjuntos
 Si tenemos tres conjuntos, entonces hablaremos de “tuplos”
ordenados, los que se componen de tres elementos cada uno.
 La cardinalidad se calculará de la misma manera que se hizo
anteriormente, para dos conjuntos.
 Un ejemplo de este caso sería:
 X = {2, 4, 6}
 Y = {7, 8}
 Z = {a}
 |X x Y x Z| = |X| x |Y| x |Z| = 3 x 2 x 1 = 6
 X x Y x Z = {(2,7,a), (2,8,a), (4,7,a), (4,8,a), (6,7,a), (6,8,a)}
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Relaciones en
Productos Cartesianos
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Relaciones: Definición
 Dada una regla específica, una relación se establece entre dos
o más conjuntos,
 calculando el producto cartesiano y
 seleccionando aquellos pares ordenados que cumplen con la
regla dada.
 Una Relación es un subconjunto del Producto Cartesiano.
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Relaciones: Procedimiento
 En la mayoría de los casos se trabaja con conjuntos definidos
en términos de proposiciones, los que hay que convertir a
una lista de elementos.
 Luego se calcula el Producto Cartesiano.
 Si fuera un solo conjunto:Y x Y= Y2
 Dos conjuntos: X x Y
 Finalmente, se aplica la regla que estable la relación.
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Relaciones: Representación
 El conjunto de la Relación (R) puede presentarse en forma
de una tabla o un conjunto de pares ordenados:
 Por ejemplo, en forma de tabla sería:
Dominio
Imagen o
Rango
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4
5
6
7
8
 En forma de conjunto sería:
 R = {(3,4), (5,6), (7,8)}
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Tipos de Relaciones
 Una relación (R) incluye aquellos elementos que cumplen
con la regla dada. Por ejemplo:
 Regla: El elemento x divide al elemento y.
 Esto es: x divide a y,
 quiere decir que cuando se divide y/x, el residuo es 0
 Por ejemplo, 2 divide a 10,
 por que 10 dividido por 2 = 5 y el residuo es 0.
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Tipos de relaciones
 Por otra parte, la relación inversa incluye aquellos elementos
del Producto Cartesiano que no pertenecen a la Relación.
 Esta idea se relaciona con el Conjunto Universal, que en este
caso viene a ser el Producto Cartesiano.
 Ejemplo:
 Si A x B = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}
 Si se define R = {(1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p)}
 Entonces R-1 = lo que le falta a R para completar A x B, esto es:
 R-1 = {(1,p), (4,q)}
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Tarea:
 Estudia la sección 3.1 del texto, págs. 116-123.
 Ejercicios 1-8
 Define:
 Relación reflexiva
 Relación simétirica
 Relación antisimétrica
 Relación transitiva
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Tarea opcional: Ver el Vídeo
 Relaciones y grafos:
http://www.youtube.com/watch?v=Xmu11trcUL0
 Dados dos conjuntos, encuentra los elementos de una relación
tomando en cuenta la regla que los define. Incluye dos tipos de
diagramas: sagital y cartesiano.
 Duración: 6:30 minutos.
 Presentado por el Lic. Henry Chero Valdivieso de la
Universidad Los Ángeles Chimbote en Perú (ULADECH),
http://www.uladech.edu.pe/
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