Clase-17 Producto Cartesiano: El producto cartesiano entre dos

Clase-17
Producto Cartesiano:
El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares
ordenados que poseen como primera componente a los elementos del conjunto A y
como segunda componente a los elementos del conjunto B. El producto cartesiano
entre los conjuntos A y B se denota por A x B.
En notación conjuntista se define:
A x B = (x, y )/ x  A  y  B
Ejemplo:
Si A = { 1,2,3 } y B = { x,y,z } ; entonces se tiene que:
AxB={
Análogamente: B x A = {
Notar que A x B  B x A ; es decir el Producto Cartesiano no es .....................
Ejercicios:
1) Con los conjuntos dados, completar el Producto Cartesiano pedido en cada caso:
A = {3,4}
B = {d,e}
C = {5,6,7}
D = {f,g,h}
AxB={
CxD={
2) Dados los siguientes productos cartesianos, escribir los elementos de cada
conjunto:
a) B x C = {(2,5),(2,6),(2,7),(2,8)}
; B={
C={
b) D x E = {(a,i),(e,i),(a,e),(e,e)}
; D={
E={
c) F x G = {(7,p),(7,q),(7,r),(8,p),(8,q),(8,r)} ; F = {
G={
3) Represente el producto cartesiano A x B por medio de los siguientes diagramas:
B
A
B
5
A = {1,2,3}
1
3
4
B = {3,4,5}
3
4
2
3
5
1
AxB={
(1)
2
3
A
Subconjuntos del Producto Cartesiano:
Si A y B son dos conjuntos; llamaremos por relación de A en B a todo subconjunto
del producto cartesiano A x B; es decir:
R = { (x,y)/ x  A  y  B } con R  A x B
Ejemplos:
a) Si A = {1,2,3} y B = {2,3,4} con x  A , y  B luego:
Aplicando diagramas:
A
B
1
2
2
3
3
4
R1 = { (x,y) /
1 2 3
b) Si A = {1,2,3} y B = {2,3,4} con x  A , y  B luego:
A
B
1
2
2
3
3
4
}
B
4
3
2
R1 = {
Aplicando diagramas:
x<y
A
R2 = { (x,y) / x + y = 5 }
B
4
3
2
1 2 3
A
R2 = {
Notar que R1 y R2 son relaciones de A en B; por consiguiente son un subconjunto
del producto cartesiano A x B ; verifiquémoslo:
AxB={
Al definirse una relación sobre los elementos de un conjunto A; se tiene que esta es
un subconjunto del producto cartesiano A x A .
Ejemplo:
Se define sobre los elementos del conjunto A = {1,2,3} la relación R tal que:
R = { (x,y) / “x” divide a “y” }
Aplicando diagramas:
R = {
A
A
A
1
1
2
2
3
3
3
2
1
1 2 3
con R .... A x A; verifíquelo:
AxA={
(2)
A
Variables:
Una variable es una característica o atributo que toma diversos valores; así: edad,
peso, altura, velocidad, tiempo, etc. son ejemplos de variables, las que se relacionan
entre si, existiendo variables donde unas dependen de otras; así por ejemplo:
El consumo de bencina de un auto depende de la distancia que este recorra, así la
distancia recorrida en kilómetros es la variable independiente y el consumo de
bencina medido en litros es la variable dependiente.
Ejercicios:
1) Al relacionar el valor de la cuenta del 2) Al relacionar el valor de un terreno
agua con los litros consumidos, se
con su superficie; se tiene que.
tiene que:
i)
La variable independiente es:
i) La variable independiente es:
ii)
La variable dependiente es:
ii) La variable dependiente es:
3) Se desea construir una secuencia de cuadrados como el de la figura con fósforos;
luego:
a) El número de cuadrados a construir determina el número de fósforos a ocupar;
luego:
El número “x” de cuadrados es la variable:..............................
El número “y” de fósforos pasa a ser la variable:..............................
b) Llevando los datos a una tabla de valores, se tiene que:
x (nº cuadrados)
1
2
3
4
5
y (nº fósforos)
c) La cantidad “y” de fósforos en función de los “x” cuadrados a construir es:
y=
d) El gráfico determinado por estas variables es:
(Nº. Fósforos) Y
35
30
25
20
15
10
5
1
2
(3)
3
X (Nº cuadrados)
4
5
4) En un servicio técnico el costo de reparación es de $10.000 más $5.000 por hora
de trabajo.
a) El número de horas de trabajo determina el costo de la reparación; luego:
La variable independiente corresponde a: _______________________
La variable dependiente corresponde a: _______________________
b) Complete la siguiente
que relaciona estas dos variables:
x (númerotabla
de horas)
0
1
2
3
4
5
y (costo reparación)
e) El costo “y” a pagar en función de las “x” horas de trabajo queda definido por:
y=
f) El gráfico determinado por estas variables es:
costo Y
35.000
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
1
2
3
4
5
X horas
Variables Cualitativas:
Es aquella que hace referencia a cualidades o características
es decir
considera aspectos físicos o atributos de las personas u objetos.
Ejemplos:
El color de pelo, la contextura física, el deporte preferido, la música favorita, etc. ,
son variables cualitativas.
Variable Cuantitativa:
Es aquella que puede registrarse numéricamente es decir considera situaciones
medibles o contables.
Ejemplos:
El peso de una persona, el número de hijos, cantidad de autos que pasan por un
peaje, los árboles que forman un bosque, etc. , son variables cuantitativas.
(4)
Ejercicio:
Determine si es cualitativas o cuantitativas cada una de las siguientes variables:
El grupo sanguíneo.
La presión arterial.
El color de ojos de una persona.
La profesión de una persona.
El dinero que porta una persona.
El tipo de vestuario de una persona.
El tiempo empleado en realizar un viaje.
El sexo de una persona.
El consumo mensual de luz.
Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas:
Variable Discreta:
Es aquella que sólo puede tomar valores enteros, sin tomar ningún valor decimal;
su gráfico corresponde a un conjunto de puntos aislados.
Ejemplos:
El número de integrantes de una familia, el número de estudiantes de un colegio,
el número de goles en un partido, etc. , son variables discretas.
Variable Continua:
Es aquella que puede tomar cualquier valor sin ninguna restricción es decir
admite valores decimales; su gráfico corresponde a una línea continuada.
Ejemplos:
La temperatura, la altura de un árbol,
el peso de una persona,
la distancia
recorrida por un automóvil, etc. , son variables continuas.
Ejercicio:
Determine si es discreta o continua cada una de las siguientes variables:
El número de hojas de un cuaderno.
La cantidad de litros de agua de un estanque.
La longitud de una cuerda.
La cantidad de personas invitadas a una fiesta.
El número de pastillas que hay en un frasco.
La hora en un determinado momento.
Los espectadores de un partido de fútbol.
El consumo de agua de una casa en un día.
La edad de una persona.
(5)
Ejercicios Complementarios:
1) Considere la siguiente relación entre las variables R y S donde:
3  S 1
R=
2
(a) La variable independiente es “
” ; la variable dependiente es “
”.
(b) Calcular el valor de R si S toma los siguientes valores:
i) S = 5
 R=
ii) S = 17  R =
(c) Al expresar la variable S en función de la R; se tiene que S = ?
(d) Calcular el valor de S si R toma los siguientes valores:
i) R = 4
 S=
ii) R = 25  S =
2) La relación entre las variables distancia (D) ; velocidad (V) y tiempo (t) esta dada
D
por:
V
t
(a) Si debo recorrer una distancia de 600 Km. en un tiempo de 12 horas, la velocidad
promedio con que debo viajar es:
(b) Cuánto tiempo demoro en recorrer 400 Km. a una velocidad promedio de 80
Km./h.
(c) Si viajo a una velocidad promedio de 85 Km./h. demorando 8 horas en llegar a
mi destino, la distancia recorrida es:
3) Una familia sale de vacaciones y al momento de arrendar una cabaña seleccionan
dos alternativas:
Cabaña A: $3.000 al hacer la reservación más $1.000 diarios.
Cabaña B: $2.000 diarios.
En el siguiente sistema de ejes se representan gráficamente ambas posibilidades:
Costo ($)
(1)

12.000
10.000
8.000
6.000
4.000

2.000


1


2

3



4
5
(6)
 (2)
6
días
a) Indique que gráfico corresponde a cada una de estas alternativas.
Gráfico (1) : Cabaña ___.
Gráfico (2) : Cabaña ___.
b) ¿Qué es más conveniente arrendar?
i) Si el arriendo es por menos de 3 días:
ii) Si el arriendo es por 3 días solamente:
iii) Si el arriendo es por más de 3 días :
c) Si “n” es el número de días; indique la formula que da el costo para cada tipo de
cabaña:
Cabaña A = $
Cabaña B = $
d) Al relacionar el número de días con el costo a cancelar, se tiene que la variable
independiente es ____________________ y la dependiente es _______________________.
Ejercicios Propuestos:
1) Si A = {1,2,3,4} ; B = {2,3,12} ;  x  A , y  B determine las relaciones de A en B:
R1 = {(x,y) / x > y }
A
1
2
3
4
R1 = {
R2 = {(x,y) / x < y }
R2 = {
B
2
3
12
R3 = {(x,y) / x + y es número par }
R3 = {
R4 = {(x,y) / x·y es número impar}
R4 = {
Siendo todas estas relaciones __________
del producto cartesiano _______.
2) Si S = {1,2} ; entonces el producto 3) La siguiente relación definida para
cartesiano S x S = ?
todo x,y  A es: R = {(x,y)/______ }
A

4
A) { 1,1 ; 1,2 }
A) x > y
3
 
B) { (1,1),(2,2) }
B) x < y
C) x  y
D) x  y
E) x = 2y
C) { (1,1),(2,1) }
D) { (1,1),(2,1) }
E) { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }
2
1
4) Identifique si son discretas o continuas las siguientes variables:
(a) La edad de una persona.
(b) El número de camisas de una persona.
(c) El consumo de agua mensual.
(d) El número de asistentes a un estadio.
(7)
  
   
1 2 3 4
A
5) El sueldo de un empleado consiste en $3.000 de base más $1.500 por día
trabajado; determine
b) Variable dependiente:
a) Variable independiente:
c) Exprese el sueldo “S” en función de “n” Sueldo ($)
12.000
días trabajados.
10.000
S=
8.000
d) Complete la siguiente tabla y gráfique:
Nº días
trabajados
0
1
2
3
4
6.000
4.000
2.000
6
5
Sueldo
1
2
3
4
5
6
días
6) Si la variable y en función de x está 7) La relación entre las variables x e y
5x  6
está definida por y =
; luego x en
x2  x
definida por y =
. ¿Qué valor(es) de
x
2
función de y es:
“x” hacen y = 0 ?
5y
A) x =
6
l) x = -1
ll) x = 0
lll) x = 1
6
B) x =
5y
A) Sólo ll
5 y- 6
B) Sólo l y ll
C) x =
y
C) Sólo l y lll
y
D) Sólo ll y lll
D) x =
5 y- 6
E) Todos.
E) Otra expresión.
8) Se construye con fósforos la siguiente 9) Se puede conocer el tiempo en que se
realizó un determinado viaje; si:
secuencia de triángulos:
(1) Se conoce la velocidad promedio en
que se realizó el viaje.
(2) Se conoce la distancia recorrida en
el viaje.
El número de fósforos (F) en función del
número de triángulos (T) queda determinado por:
A) F = 2T + 1
B) F = 2T – 1
C) F = 3T + 1
D) F = 3T – 1
E) F = 4T - 1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-16
1)
z
z
z
(4 – 3i)
(4+3i)
25  5
(-5+12i)
(-5-12i)
169  13
z 1
-z
(4+3i)
(-5-12i)
1
(4 + 3 i)
25
1
(5  12 i)
169
3) a)0=(0+0i) b)1 = (1+0i) c)2a d)2bi e) a2+b2
5) B
6) D
7) A
2)
a) z1 – (z2 + z3) = (-11 + 10i)
b) z1  z2  (-5 – 14i)
z3
1

(109  40 i)
z1 z 2 121
4) a) Si
b) Si
se cumple la igualdad a cero.
c)
8) E
(8)
9) D
10) A
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-13
1) R1 = {(3,2),(4,2),(4,3)}
R3={(1,3),(2,2),(2,12),(3,3),(4,2),(4,12)}
R2={(1,2),(1,3),(1,12),(2,3),(2,12),(3,12),(4,12)}
R4={(1,3),(3,3)}
Siendo todas estas relaciones subconjunto del producto cartesiano A x B .
2) E
3) C
4)a) Continua
b) Discreta
5) a) V. Indep: Nº de días trabajados
d) Nº de días trabajados
0
1
2
3
4
5
6
6) D
Sueldo
$ 3.000
$ 4.500
$ 6.000
$ 7.500
$ 9.000
$10.500
$12.000
7) B
c) Continua
d) Discreta
b) V. Dep : Sueldo
c) S = 3.000 + 1.500·n
Sueldo ($)
12.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
1
8) A
2
3
4
5
6
9) C
días