departamento de matematicas carreras de quimica, alimentos, fisica

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CARRERAS DE QUIMICA, ALIMENTOS, FISICA, CIVIL
CALCULO II
SEMESTRE I/2015
CAPITULO I : VECTORES
DOCENTE: G.Cupé
0.1. SISTEMA DE COORDENADAS.
(1) Qué subconjuntos representan las ecuaciones: a) x = 3 b) y = 5 , en
a) R , b) R2 , c) R3 ?
(2) Trace y decriba el subconjunto de puntos representado por y = x , en
a) R2 , b) R3
(3) Mostrar que la distancia P1 P2 entre los puntos P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ) está dada por
p
P1 P2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Encontrar la distancia P1 P2 entre los puntos P1 (x1 ; y1 ; z1 ) y P2 (x2 ; y2 ; z2 )
Determine la ecuación de la super…cie esférica de radio R y centro (a; b; c)
Trace los puntos (3; 0; 1) , ( 1; 0; 3) , (0; 4; 2) , (1; 1; 0) en un sistema de coordenadas
Cuál de los puntos P (6; 2; 3), Q( 5; 1; 4) y R(0; 3; 8) está más cercano al plano xz?. Cuál punto se
encuentra en el plano yz?
Cuáles son las proyecciones del punto (2; 3; 5) en los planos xy , yz y xz?. Trace una caja rectangular
con vértices opuestos en el origen de coordenadas y en el punto (2; 3; 5), y con sus caras paralelas a
los planos coordenados. Escriba las coordenadas de los vértices de la caja. Encuentre la longitud de
la diagonal de la caja.
Trace y describa el conjunto de puntos en R3 representado por la ecuación x + y = 2
Qué representa la ecuación y = 3 en R3 ? . Qué representa la ecuación z = 5? . Qué representa el par
de ecuaciones o sistema y = 3 ; z = 5?. Ilustre con dibujos.
Muestre que el triángulo de vértices P ( 2; 4; 0) , Q(1; 2; 1) y R( 1; 1; 2) es un triángulo equilátero.
Determine si los puntos dados se encuentran en una linea recta:
a) A(3; 4; 1) , B(5; 3; 0) y C(6; 7; 4). b) K(0; 3; 4) , L(1; 2; 2) y M (3; 0; 1)
Encuentre la distancia de (3; 7; 5)a cada uno de los siguientes planos y eje:
a) plano xy , b) plano yz , c) plano xz , d) eje x ,e) eje y , f) eje z
Encuentre la ecuación de la super…cie esférica con centro (0; 1; 1) y radio 4:Cuál es la intersección de
esta super…cie con el plano yz?
Describa el conjunto de puntos tales que su distancia a A( 1; 5; 3) es el doble de su distancia a
B(6; 2; 2).
Encuentre la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de los puntos A( 1; 5; 3) y B(6; 2; 2).
Describa dicho conjunto.
0.2. VECTORES.
(1) Sean A = (1; 2), B = ( 1; 3) y C = (0; 4); calcular y representar gra…camente las operaciones
que se indican . En cada caso explicar su signi…cado contextual en términos de puntos y vectores
desplazamiento
a) A + B b) A B + C , c) 2A 3B + 2C
(2) Algebraicamente desplazar el punto (4; 6) horizontalmente a la derecha 8 unidades y verticalmente
hacia abajo 5 unidades. Cuál es el vector posición …nal ?
(3) Determinar el vector desplazamiento V que desplaza el punto (3; ; 5) al punto (0; 10)
(4) Qué vector desplaza el punto P1 = (x1 ; x2 ) al punto P2 = (y1 ; y2 ): En general, indicar el procedimiento
para resolver el problema.
(5) Sean A = (1; 4; 1), B = (2; 5; 4) y C = (0; 4; 0); calcular y explicar los distintos signi…cados que se
puede dar a las expresiones: a) A + C. b) 2A B + 2C.
(6) Determinar el vector desplazamiento V que desplaza el punto (3; 0; 5) al punto (0; 0; 10)
1
2
(7) Qué vector desplaza el punto P1 = (x1 ; x2 ; x3 ) al punto P2 = (y1 ; y2 ; y3 ). En general, indicar el
procedimiento para resolver el problema.
(8) Los vértices de un cuadrado son los puntos A = (4; 4) , B = ( 4; 4) , C = ( 4; 4) y D = (4; 4) :Tome
!
!
!
un punto Q (concreto) cualquiera fuera del cuadrado y desplácelo según los vectores QA , QB , QC ,
!
QD . Cuál es el desplazamiento total.
(9) Realize lo mismo que el ejercicio anterior pero tomando el punto Q (concreto) dentro del cuadrado.
Las respuestas …nales (desplazamiento totales) son iguales o distintos ?
(10) Si su respuesta al ejercicio anterior es que son iguales, muestre algebraicamente - de manera general que siempre es así.
0.3. OPERACIONES CON VECTORES.
(1) Indicar y mostrar las propiedades para la suma y multiplicación por un escalar. En cada caso indique
el signi…cado de la igualdad
Si A, B, C son vectores y a, b son números, entonces
* A + B=B + A
* (A + B) + C = A + (B + C)
* El vector 0 = (0; 0; :::; 0) es tal que 0 + A = A + 0 = A.
Dado cualquier vector A, existe el vector A tal que
A + ( A) = ( A) + A = 0
* 1A = A.
* (ab) A = a (bA)
* (a + b) A = aA + bA
* a (A + B) = aA + aB
La sustracción entre dos vectores A y B se de…ne por:
A
B = A + ( B)
(2) Si A , B y C son los vértices de un triángulo, hallar
!
!
!
AB + BC + CA
(3) Sea AB un segmento de recta- Hallar la expresión vectorial del punto C tal que:
i) Pertenezca a la recta determinada por A y B; y su distancia a B sea el doble de su distancia a
A:
ii) C sea un punto cualquiera del (del plano o del espacio) y su distancia a B sea el doble de su
distancia a A:
(4) Si ABCDEF son los vértices de un exágono regular, determinar el vector desplazamiento total si
sucesivamente se aplican a una partícula los vectores
!
!
!
!
!
AB ; AC ; AD ; AE ; AF
i) grá…camente. ii) algebraicamente
(5) Dado el cuadrilátero de vértices (4; 4) , (12; 20) , (30; 0) y (10; 10), determinar empleando vectores
el punto de intersección de sus diagonales.
(6) Mostrar que las medianas de un triángulo se intersectan en un punto común que trisecta a cada una
de las medianas.
(7) Si A = (10; 5) y B = (4; 4) son vectores que representan los vectores diagonales de un paralelogramo,
construir el paralelogramo, siendo uno de sus vértices el punto (0; 6)
! ! !
(8) Si A , B y C son tres vectores del espacio y:
!
!
! !
R1 = 2 A 3 B + C
!
!
!
!
R2 = 3 A 5 B + 2 C
!
!
! !
R3 = 4 A 5 B + C
!
!
!
!
es posible escribir R 3 en la forma: R 3 = m R 2 + n R 1 ?. Si es posible, escríbalo.
3
(9) Demostrar que las diagionales de un paralelogramo se bisectan
(10) Una partícula que inicialmente está ubicada en (0; 0; 5) se desplaza en las direcciones de los vectores
(1; 0; 0) , (1; 1; 0) y (1; 1; 1) hasta alcanzar la posición …nal de (2; 1; 0):Si la trayectoria sigue exactamente las direcciones de los vectores dados, en algún momento pasa por el punto (6; 3; 5)?
0.4. PARALELISMO.
(1) Determinar el valor de a para que el vector (2; a) sea paralelo al vector ( 4; 6).
(2) Mostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer
lado
(3) Expresar el vector (15; 10) como suma de vectores paralelos a !
u = (2; 2) y !
v = ( 3; 1), a)
Grá…camente. b) Algebraicamente
(4) Dados los vértices (0; 10) , (20; 30) , (40; 0) y (30; 30) de un cuadrilátero, mostrar que si se unen
consecutivamente los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo. Este resultado valdrá
para cualquier cuadrilátero ?. Justi…que su respuesta.
!
(5) El vector A desplaza el punto (3; 4) al punto (8; 4). Determinar a qué punto desplaza el vector
!
2 A , al punto (0; 5)
0.5. MODULO DE UN VECTOR.
(1) Mostrar que si A 6= 0, entonces el vector
sentido que A.
A
1
= ( jAj
A) es un vector unitario, paralelo y del mismo
jAj
(2) Mostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante a los tres
vértices.
(3) Si ABCD es un paralelogramo, mostrar que
2
2
2
2
2
AB + BC + CD + DA = AC + BD
2
(4) Si ABCD es un cuadrilátero cualquiera y P , Q son los puntos medios de sus diagonales, mostrar que
2
2
2
2
2
2
2
AB + BC + CD + DA = AC + BD + 4P Q
Inicialmente veri…que para un caso concreto (dése cuatros puntos como vértices del cuarilátero)
(5) Dados los puntos
p A = (0; 0) y B = (10; 10) determinar todos los puntos del plano que se hallen a una
distancia de 10 2 unidades de ambos.
(6) Determinar todosplos puntos que se hallan sobre la recta de…nida por los puntos (0; 4) y (4; 0) y a
una distancia 100 2 del punto (4; 4)
(7) El punto P = (0; 0; 5) se desplaza 100 unidades paralelamente a la recta que pasa por los puntos
(4; 6; 8) y (3; 4; 6). Determinar la distancia de su posición …nal al origen de coordenadas.
(8) Mostrar que si A y B son vectores, entonces
jA + Bj
jAj + jBj
a) Geométricamente . b) Algebraicamente
En qué situación se veri…ca la igualdad ?
(9) En qué situación se tendrá que la suma de dos vectores unitarios de como resultado un vector unitario?.
Justi…que su respuesta.
(10) Dados lo puntos (10; 0) y (40; 0) determinar el o los puntos que conjuntamente los anteriores determinan
un triángulo equilátero
0.6.
(1)
(2)
(3)
PRODUCTO ESCALAR. PERPENDICULARIDAD.
En el triángulo de vértices (3; 4) , (8; 8) y (10; 10) halle el ángulo interior más grande.
Hallar el ángulo determinado por las diagonales de un cubo
Encuentre el ángulo entre una diagonal del cubo y a) una de sus aristas . b) una diagonal de una de
sus caras
4
(4) Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí
(5) En qué proporción deben estar los lados de un rectángulo para que sus diagonales al cortarse formen
un ángulo de a) 30 ? . b) 60
(6) Mostrar que el ángulo que forman los vectores A = (1; 2; 1) y B = (2; 1; 1) es el doble del que forman
C = (1; 4; 1) y D = (2; 5; 5)
(7) El segmento de…nido por los puntos (3; 3) y (15; 12) se proyecta ortogonalmente sobre el segmento
de…nido por los puntos (5; 0) y
(8) En qué propoción deben estar los lados de un rectángulo para que la proyección de la base sobre una
diagonal sea la tercera parte de dicha diagonal ? (15; 10);determine la longitud de la proyección.
(9) Empleando la proyección de un vector sobre otro, mostrar que la distancia del punto (x1 ; y1) a la recta
ax + by + c = 0 es
jax1 + by1 + cj
p
a2 + b2
(10) Empleando vectores determine el punto cuya suma de distancias a la circunferencia de radio 5 con
centro en (0; 5) y a la recta que pasa por (0; 10) y (10; 0), sea la más pequeña posible
(11) Suponga que el plano coordenado XZ es un espejo y que el rayo de luz del vector (a1 ; a2 ; a3 ) incide
en dicho espejo. Empleando el hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de re‡exión
muestre que la dirección del rayo re‡ejado está dada por (a1 ; a2 ; a3 ):
0.7. PRODUCTO VECTORIAL.
!
!
(1) Sean los vectores !
a = (1; 2; 0) y b = (0; 1; 1):Encuente !
a
b . Trace los tres vectores con punto
inicial en el origen de coordenadas. Veri…que que se cumplen las propiedades del vector producto
vectorial.
(2) Dada la de…nición de producto vectorial de dos vectores, mostrar que
jA
Bj = jAj jBj sin
donde es el ángulo formado por los vectores A y B
(3) Encuentre el área del triángulo de…nido por los vectores (4; 5) y ( 3; 6)
(4) Dados los vértices (0; 10) , (20; 30) , (40; 0) y (30; 30) de un cuadrilátero, hallar el área de dicho
cuadrilátero
(5) Mostrar que si el producto vectorial de dos vectores no nulos es el vector cero, entonces dichos vectores
son paralelos y viceversa
(6) Dos vértices opuestos de un cuadrado son los puntos (20; 20) y (0; 10) , hallar los otros dos vértices.
(7) Sea P un punto que no está en la recta L, que pasa por los puntos Q y R:Muestre que la distancia d
del punto P a la recta L es
ja bj
d=
jaj
!
!
donde a = QR , b = QP . :
! !
(8) Dado el paralelogramo de…nido por los vectores A y B . Determine la relación de áreas:
area def inido por los vectores diagonales
area def inido por los vectores A y B
(9) Dados los vectores A , B y C, se veri…ca
A
(B
C) = (A C)B
(A B)C
veri…carlo para los vectores A = (1; 0; 1) , B = (1; 1; 0) y C = (1; 1; 1)
(10) Dados los vectores A , B y C, se veri…ca
A B
C=A
B C)
veri…carlo para los vectores A = (1; 0; 1) , B = (1; 1; 0) y C = (1; 1; 1)