Hallar el volumen de un tetraedro del cual se sabe que las

Departamento: Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla
Fundamentos Físicos de la Ingeniería. (Industriales)
Hallar el volumen de un tetraedro del cual se sabe que
las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se
corresponden con las ternas A(0,1,1) y B(2,-1,2), y que dos de
las aristas que concurren en B están definidas por los vectores
G
G
G G
G
G
libres v1 = 2 i − 3 j + k , y v2 = 4 k . Suponer que todas las
unidades vienen dadas en metros.
v1
B(2,-1,2)
A(1,0,2)
v2
Volumen de un tetraedro
1
Vol. = S h , donde S representa el área de la base y h la altura
3
JJJG
G
El área de la base puede calcularse mediante el producto vectorial de los vectores AB y v2 que la definen. El vector
JJJG
G 1 JJJG G
S = AB × v2 es perpendicular al plano de la base, determinado por AB
2
G
y v2
G
v2
G
Por otra parte, la altura h es la proyección del otro vector v1 sobre S ,
luego
1 ⎛ 1 JJJG G ⎞ G
1 JJJG G G
Vol = ⎜ AB × v2 ⎟ ⋅ v1 = AB ⋅ ( v2 × v1
3⎝ 2
6
⎠
AB
)
h
v1
B(2,-1,2)
A(1,0,2)
Por otra parte el producto mixto se calcula mediante el valor del
determinante, en el cada fila, contiene las componentes de uno de los
vectores.
Vol. =
2 −2 1
1
4
0 0 4 = m3
6
3
2 −3 1
v2
Volumen de un tetraedro