Explicación

Matemáticas
Sesión #5. Función lineal y cuadrática.
Contextualización

En esta sesión aprenderás a interpretar el concepto de función,
para que sirve trabajar con funciones, que datos maneja y
como se le llama a cada uno de los datos que se manejan en
ella.

Además se definirá la función lineal en forma de expresión
matemática y se aprenderá a usar su gráfica.

Aprenderás a interpretar la expresión que representa la función
cuadrática y su gráfica además se describirán las
características más importantes que tiene esta función tal
como la obtención de su vértice, las raíces de la función o
conocidas también como los cortes con los ejes.
Introducción.
En matemáticas es muy común trabajar con expresiones algebraicas, las
cuales se pueden utilizar como ecuaciones o como funciones, algunos
cuestionamientos que nos debemos hacer al introducirnos al concepto de
función, son:

¿Qué es una función?

¿Para qué son utilizadas las funciones en matemáticas?

¿Qué tipos de funciones existen?

¿La parábola es una función?

¿Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2?
Así como las expresiones algebraicas se reconocen por un nombre en
particular debido a su grado exponencial así también a las funciones se les
define o nombra.
Explicación
Funciones lineales.

Concepto de función. Se puede
definir como una máquina que
procesa datos de entrada
arrojando así datos de salida o
lo que conocemos como
resultados.
Por ejemplo:
Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/FunctionMachine.svg/220pxFunctionMachine.svg.png solo para fines educativos.
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Una función es una expresión algebraica representada por la letra “f”. Esta
expresión está forma por términos numéricos y literales.

La función se debe de expresar con la letra que va a ser la dominante
para el proceso que se realice, por ejemplo:

F(x) se lee “F de x” esto significa que x será la variable independiente, la
cual a través de ella se realiza el proceso de la función.

Otro ejemplo: F(x) = x2+6x+9
Explicación
A esta función se le puede dar valores a la x, sustituyendo cada valor en la
función y nos dará un resultado diferente por cada evaluación.
Consideremos los valores de x = 1, 2, 3 sustituyendo en la función

F (1) = (1)2 + 6(1) +9 = 1+6+9 = 16 Se realizó el proceso de elevar al
cuadrado el primer término, luego se realizó la multiplicación del
segundo término y por último se sumó el tercer término. De esta
manera es como se evalúa una función para un valor de x, su variable.

F (2) = (2)2 + 6(2) +9 = 4 +12+9 = 25

F (3) = (3)2 + 6(3) +9 = 9 +18+9 = 36
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Función Lineal

Una función f es lineal si y sólo si f(x) puede ser escrita en la forma
f(x)= mx + b, en donde a y b son constantes y a≠0.
Suponga que f(x) = mx+b es una función lineal y que y = f(x). Entonces
y=mx+b, la cual es una ecuación de recta con pendiente m y b es la
intersección con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta.
Decimos que la función f(x)=mx+b tiene pendiente m.

Ejemplo 1: Graficación de funciones lineales.

Graficar f(x) = 6x – 7
Explicación

Solución: Aquí f es una función
lineal con pendiente m=6 de
modo que su grafica es una
recta. Como dos puntos
determinan una recta, sólo
necesitamos
graficar
dos
puntos y después dibujar una
recta que pase por ellos.
x
y= f(x)
0
-7
1
-1
2
5
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
El dominio de una función lineal son todos los valores que se le
pueden dar a x, estos valores son todos los números reales.

El rango de una función lineal son todos los valores que se tienen
para y=f(x) y éstos son todos los números reales.

Por lo tanto:

Dominio = (-∞,∞)

Rango = (-∞,∞)
Explicación
Ejemplo 2: Determinación de una función lineal.
Suponer que f es una función lineal con pendiente m = -4 y f(2) = 6. Hallar f(x).
Solución: Ya que f es lineal tiene la forma f(x) = mx + b. la pendiente está representada por
a entonces m = -4 según los datos del problema.

Por lo tanto f(x) = -4x + b
Ahora determinaremos el valor de b. Como f(2) = 6 en la expresión de f reemplazaremos el
valor de x = 2 y resolvemos para b

f(2) = -4(2) + b

6 = -8 + b

6+8 = b
por lo tanto b = 14
De aquí que f(x) = -4x + 14
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Función cuadrática.

Una función f es una función cuadrática si y sólo si f(x) puede ser
escrita en la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y
a≠0.

Por ejemplo: f(x) = x2 – 6x +9 y f(t) = 4t2 son funciones cuadráticas. Sin
embargo h(x)=6/x2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la
forma que se definió.
Explicación

La grafica de la función cuadrática se llama parábola. Si a > 0 la gráfica
se abre hacia arriba y si a < 0 la gráfica abre hacia abajo.

La siguiente grafica nos muestra la concavidad o abertura de una
parábola.
Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-38Jwg_WmrwQ/UJbS8MqGu-I/AAAAAAAAABw/6B94omgw13s/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulop.png solo para fines
educativos.
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
Cada parábola es simétrica con
respecto a una recta vertical,
llamada el eje de simetría. Esto
es, si la página fuera doblada en
una de estas rectas, las dos
mitades
de
la
parábola
correspondiente coincidirían. El
eje no es parte de la parábola
pero ayuda para su bosquejo.

En esta grafica puedes distinguir
cada el eje de simetría y el
vértice.
Extraído de: http://4.bp.blogspot.com/_rkrGtnWk4m8/SwalpMuPgrI/AAAAAAAAACk/ww3pYPa9Q50/s1600/parabola01.png solo
para fines educativos.
Explicación
Grafica de una función cuadrática.

La grafica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es una
parábola.

Si a>0, la parábola abre hacia arriba.

Si a<0, abre hacia abajo.
−
𝑏
,𝑓 −

El vértice es

La intercepción y es c.
2𝑎
𝑏
2𝑎
Explicación.
Ejemplo: Graficación de una función cuadrática.
Graficar y = f(x) = x2 – 11x +28

Solución: aquí a= 1, b= -11y c=28. Como a>0, la parábola abre hacia arriba
y por lo tanto tiene un punto mínimo. La coordenada del vértice es:

Para x:

Para y:
−
𝑏
−11 11
=−
=
2𝑎
2 1
2
así el vértice es
y también es el punto mínimo de la parábola.
Explicación.

Ya que c=28, la intercepción en y = 28.

Para encontrar las intercepciones en x, hacemos la función igual a cero
y factorizamos para resolver la expresión:

x2 -11x +28 = 0

(x - 7)(x - 4) = 0

Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones en “y”
y en “x”.

Y la gráfica queda de la siguiente manera:
así que x = 7 y x= 4.
Explicación.
Conclusión

Recordemos que una función es una correspondencia entre los datos de
un conjunto de salida, llamado Rango, y los datos de un conjunto de
entrada, llamado Dominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le
corresponde uno, y sólo uno, en el rango.

La función lineal puede ser trazada a partir de conocer la pendiente de la
recta y un punto por el que pasa.

En resumen una función cuadrática es una ecuación de segundo grado
que tiene 2 raíces reales. Para hacer su grafica necesitamos conocer el
vértice, el eje de simetría y las intercepciones con los ejes x e y.

La parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo el signo
que tiene su coeficiente a.

La siguiente sesión se trabajara con el estudio de las Funciones
exponenciales y logarítmicas.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu
aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Videos relacionados con la función lineal y cuadrática:
 Khanacademy. La ecuación de una recta. Consultado el día 10 de abril del
2014 de: https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-equations-andinequalitie/more-analytic-geometry/v/algebra--equation-of-a-line
 Khanacademy. Graficando una parábola con tabla de valores. Consultado
el día 10 de abril del 201:
https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving_graphing_qua
dratics/v/graphing-a-quadratic-function
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografia

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.