Vectores - MasMates

Geometría analítica
Vectores en el plano
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Colecciones de ejercicios
1. Representar gráficamente el vector AB, calculando sus componentes:
1. A(-2,1) , B(-5,4)
2. A(3,2) , B(-3,0)
3. A(-4,1) , B(1,-4)
4. A(3,-2) , B(5,4)
5. A(-1,5) , B(5,5)
6. A(0,0) , B(0,-2)
2. Representar el vector AB y calcular su extremo B:
2. A(0,-2) , AB=(0,-2)
1. A(-1,2) , AB=(-2,1)
3. A(3,-2) , AB=(1,3)
4. A(1,2) , AB=(1,3)
3. Representar gráficamente el vector AB=(2,3), siendo:
1. A(1,1)
2. A(-2,1)
3. A(4,-2)
4. A(-1,1)
5. A(0,-1)
4. Escribe cuatro vectores fijos que tengan de componentes (-2,3). ¿Cuantos vectores fijos distintos se pueden trazar con esas
componentes? ¿En qué se diferencian unos de otros?
5. Calcular el módulo del vector AB, siendo:
1. A(0,0) , B(-1,2)
2. A(-1,2) , B(2,-3)
3. A(-2,-2) , B(-2,3)
6. Calcular k para que el módulo del vector AB sea 5:
1. A(k,2) , B(1,-2)
2. A(3,3) , B(k,-1)
3. A(5,k) , B(1,-3)
7. Comprobar si los vectores AB y CD tienen la misma dirección:
1. A(3,-1), B(5,-2), C(2,1), D(-2,3)
2. A(1,1), B(3,4), C(3,0), D(1,-3)
3. A(-2,-1), B(-1,-3), C(-1,-3), D(0,-5)
4. A(0,0), B(2,-1), C(2,-1), D(1,1)
8. Calcular k para que los vectores AB y CD tengan la misma dirección:
1. A(0,-2), B(k,-2), C(-1,1), D(-1,3)
2. A(-1,k), B(2,-3), C(2,3), D(1,-4)
3. A(-1,2), B(-2,-3), C(-3,k), D(1,0)
4. A(-2,1), B(k,-2), C(-1,1), D(k,3)
9. Hallar k y t para que los vectores AB y CD tengan igual módulo y dirección:
1. A(k,t), B(1,2), C(1,-2), D(3,-2)
2. A(k,t), B(1,2), C(3,-1), D(4,1)
10. Comprobar si los vectores AB y CD tienen igual sentido:
1. A(-2,3), B(-1,5), C(1,-2), D(3,2)
2. A(0,-2),B(-1,1),C(2,1),D(4,-5)
11. Hallar k y t para que AB y CD tengan igual módulo, dirección y sentido:
1. A(k,t), B(1,-1), C(2,-1), D(1,1)
2. A(k,t), B(2,3), C(-1,1), D(1,-3)
12. Escribir tres vectores fijos representantes del vector:
1. u=(0,2)
2. u=(-1,3)
3. u=(-2,0)
4. u=(1,k)
2. u=(0,3)
3. u=(-1,-2)
4. u=(m,n)
3. u=(2,0) , v=(2,-6)
4. u=(-1,2) , v=(2,4)
3. u=(-1,3) , v=(2,-6)
4. u=(0,3) , v=(0,-1)
13. Hallar el módulo del vector:
1. u=(2,3)
14. Comprobar si los siguientes vectores tienen la misma dirección:
1. u=(2,-1) , v=(4,6)
2. u=(0,-3) , v=(0,4)
15. Comprobar si los siguientes vectores tienen igual sentido:
1. u=(2,3) , v=(4,6)
2. u=(-1,1) , v=(-3,3)
16. Demostrar que dado un vector v=(v1,v2), el vector u=
5 de diciembre de 2009
v1
|v|
,
v2
|v|
es unitario y tiene la misma dirección y sentido que v.
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17. Escribir dos vectores con igual dirección que u:
2. u=(3,0)
1. u=(2,1)
3. u=(-1,-2)
18. Escribir cinco vectores unitarios.
19. Escribir un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector u:
2. u=(0,-4)
1. u=(2,0)
3. u=(1,-1)
4. u=(-3,4)
20. Escribir un vector de módulo 5 que tenga la misma dirección que el vector u:
2. u=(0,-3)
1. u=(2,0)
3. u=(-3,4)
4. u=(2,-1)
21. Si w=u+v, ¿es siempre la dirección de w la de alguno de los sumandos? ¿En qué casos ocurre?
22. Si es w=u+v, ¿es siempre |w| = |u|+|v|? ¿Qué relación se cumple? ¿En qué casos se cumple la relación anterior?
23. Calcular la suma de los siguientes vectores:
1. u=(2,1) , v=(-1,3)
2. u=(0,1) , v=(-1,-3)
3. u=(2,-3) , v=(-1,-1)
4. u=(-1,1) , v=(-2,1) , w=(0,-3)
24. Siendo w=(1,-3) y w=u+v, calcular el valor de v, siendo u:
2. u=(-3,1)
1. u=(1,-2)
3. u=(-1,3)
25. Hallar la diferencia de los vectores:
1. u=(-1,-2) , v=(2,1)
2. u=(2,-1) , v=(-1,3)
3. u=(1,-3) , v=(-3,-1)
4. u=(-1,0) , v=(-2,0)
26. Dado el vector u=(-1,-2), calcular:
2. -3u
1. 2u
3.
2
u
5
4. 0u
27. Dados los vectores u=(-1,-2) , v=(-1,2) y w=(1,-3), calcular:
1. u+2v
2. u-3v+2w
3. 2u+3 v-w
4. 2u-2 u+2v
5. 2u-3 2v+3w
6. 2 u-2 v-3w
28. Dados los vectores u y v, siendo v=ku, probar si tienen igual módulo, dirección y sentido (k).
29. Hallar dos vectores que sean combinación lineal de los dados:
1. u=(2,1) , v=(-1,3)
2. u=(-1,2) , v=(0,-1)
3. u=(1,-2) , v=(-1,-1) , w=(0,-2)
4. u=(0,-3) , v=(3,-2) , w=(1,-2)
30. Probar que si w es combinación lineal de u y v y estos dos son a su vez combinación lineal de a y b, entonces w es combinación
lineal de a y b.
31. Comprobar si el vector a=(1,-2) es combinación lineal de los vectores:
1. u=(1,2)
2. u=(2,-6)
3. u=(-2,4) , v=(1,-1)
4. u=(2,-3) , v=(1,-3)
5. u=(2,-6) , v=(1,-1)
6. u=(0,1) , v=(1,0)
7. u=(2,3) , v=(-4,-6)
8. u=(4,-1) , v=(-8,2)
9. u=(1,-1) , v=(2,1) , w=(0,-3)
10. u=(2,3) , v=(-2,5) , w=(2,-1)
11. u=(0,1) , v=(1,0) , w=(2,3)
12. u=(2,-3) , v=(-4,6) , w=(-2,3)
32. Calcular las coordenadas del vector w respecto a la base canónica, sabiendo que las coordenadas respecto a la base {u,v} son
(2,-3), siendo:
1. u=(1,0) , v=(0,1)
5 de diciembre de 2009
2. u=(2,-1) , v=(1,1)
3. u=(-1,2) , v=(3,1)
4. u=(1,-1) , v=(0,-2)
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33. Hallar las coordenadas de w=(1,-2) respecto de la base {u,v}, siendo:
1. u=(2,-3) , v=(2,1)
2. u=(2,-1) , v=(-1,1)
3. u=(1,0) , v=(0,1)
4. u=(2,3) , v=(2,4)
2. u=(-1,1) , v=(3,-2)
3. u=(-2,1) , v=(1,2)
4. u=(2,-1) , v=(2,-1)
34. Calcular u·v, siendo:
1. u=(1,-3) , v=(2,3)
35. Dados los vectores u=( -1,1) , v=(2,-1) y w=(2,-3), calcular:
1. u· v-3w
2. u-2v
2u-3w
3. u· v·w
4. u u - w w
5. u·v
v·w
6. u·v ·w
36. Si es u=(u1,u2), calcular las proyecciones de u sobre los ejes X e Y.
37. Hallar proy u (proyección de u sobre v), siendo:
v
1. u=(2,-1) , v=(1,-1)
2. u=(2,0) , v=(-1,3)
3. u=(4,2) , v=(-2,-1)
4. u=(2,-3) , v=(6,4)
38. Hallar el ángulo formado por los vectores:
1. u=(2,-1) , v=(3,2)
2. u=(1,-1) , v=(-2,-1)
3. u=(-2,0) , v=(0,-1)
4. u=(0,-2) , v=(-1,1)
5. u=(-1,2) , v=(2,1)
6. u=(2,-1) , v=(-4,2)
39. Hallar un vector perpendicular al vector u:
2. u=(0,-2)
1. u=(2,-3)
3. u=(-1,2)
4. u=(1,0)
5. u=(1,1)
6. u=(m-1,n-2)
40. Hallar un vector perpendicular y unitario al vector u:
2. u=(1,-3)
1. u=(-1,0)
3. u=(3,-4)
41. Escribir un vector de módulo 2 que sea perpendicular al vector u:
2. u=(3,4)
1. u=(1,0)
3. u=(2,2)
42. Hallar k para que los vectores u=(1,-1) y v=(k,2) :
1. Sean de igual dirección.
2. Sean ortogonales.
3. Formen un ángulo de 60º.
4. Formen un ángulo de 45º.
Soluciones
5.1.
5
5.2.
34
5.3. 5 6.1. 4 ; -2 6.2. 0 ; 6 6.3. -6 ; 0 7.1. Si
9.2. (0,0) ; (2,4) 10.1. Si 10.2. No 11.1. (2,-3) 11.2. (0,7) 13.1.
Si
15.2. Si
15.3. No
19.1. (1,0) 19.2. (0,-1)
19.3.
7.3. Si
7.4. No
8.1. No
2
8.2. -24 8.3. -20 8.4. -
7
5
9.1. (-1,2) ; (3,2)
2
13 13.2. 3 13.3. 5 13.4. m +n 14.1. No 14.2. Si 14.3. No 14.4. No 15.1.
2
3 4
2
,19.4. - ,
20.1. (5,0) ó (-5,0) 20.2. (0,5) ó (0,-5) 20.3. (-3,4) ó (3,-4)
2
2
5 5
23.1. (1,4) 23.2. (-1,-2) 23.3. (1,-4) 23.4. (-3,-1) 24.1. (0,-1) 24.2. (4,-4) 24.3. (2,-6) 25.1. (-3,-3) 25.2. (3,-4) 25.3.
4
2
26.4. (0,0) 27.1. (-3,2) 27.2. (4,-14) 27.3. (-8,11) 27.4. (4,-8) 27.5. (-5,11) 27.6. (14,-48)
- ,5
5
31.1. No 31.2. No 31.3. Si 31.4. Si 31.5. Si 31.6. Si 31.7. No 31.8. No 31.9. Si 31.10. Si 31.11. Si 31.12. No 32.1. (2,-3) 32.2. (1,-5) 32.3.
5 1
7
(-13,1) 32.4. (2,4) 33.1.
,
33.2. (-1,-3) 33.3. (1,-2) 33.4. 4 , 34.1. -7 34.2. -5 34.3. 0 34.4. 5 35.1. 12 35.2. 73 35.3. (-7,7) 35.4.
8 8
2
3
3
1
3
37.1.
,37.2.
,37.3. (4,2) 37.4. (0,0) 38.1. 60º15'18'’ 38.2. 108º26'6'' 38.3. 90º
-11 35.5. -21 35.6. (-6,9) 36. u1 , 0 ; 0 , u2
2
2
5
5
6
8 6
8
,ó - ,
41.3.
2,- 2 ó - 2, 2
42.1. -2 42.2. 2 42.3. 4+2 3 42.4. 0
38.4. 45º 38.5. 90º 38.6. 180º 41.1. (0,2) ó (0,-2) 41.2.
5
5 5
5
20.4.
2 5,- 5
15.4. No
7.2. Si
ó -2 5, 5
(4,-2) 25.4. (1,0) 26.1. (-2,-4) 26.2. (3,6) 26.3.
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