Algunas Funciones y Sumatorias

Algunas funciones y sumatorias
G. M. Luna: \Analisis y dise~no de algoritmos"
1
~ DE ALGORITMOS
ANALISIS Y DISENO
Algunas funciones y sumatorias
Guillermo Morales-Luna
Seccion de Computacion
CINVESTAV-IPN
[email protected]
Mexico, D.F., a 22 de enero de 2001.
CONTENIDO
Algunas funciones
Sumatorias
Algunas funciones y sumatorias
G. M. Luna: \Analisis y dise~no de algoritmos"
Algunas funciones
f es monotona si es creciente o decreciente.
Es creciente si: 8n0 n1 : (n1 n2 ) f (n1) f (n2)):
Es decreciente si: 8n0 n1 : (n1 n2 ) f (n1) f (n2)):
Pisos y techos
8x 2 IR: bxc
= el mayor entero que no supera a x,
dxe = el menor entero que no esta por debajo de x,
x 7! bxc y x 7! dxe son \piso" y \techo".
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Polinomios
En una variable: p(n) =
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3
Xm aini.
i=0
m es el grado del polinomio, @p,
a0 : : : am son los coecientes del polinomio.
am, es el coeciente principal.
En varias variables: p(n) =
Xm aini, A IN k conjunto nito
i2A
si n = (n1 : : : nk ) e i = (i1 : : : ik ), entonces
ni
k
Y
= nij .
j =1
j
Consideraremos solo polinomios de una variable.
Grado 1: lineales. Grado 2: cuadraticos. Grado 3 cubicos.
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Para cualesquiera dos p1 p1: p1 (n) = O(p2 (n))
p1 (n) = (p2 (n))
p1 (n) = o(p2 (n))
nO(1) =
m0
@p1 @p2
, @p1 = @p2
, @p1 < @p2 :
O(nm): clase de fun'es acotadas polinomialmente.
Potencias
y 8n 2 IN : an+1 = an a:
Si n1 = ;n con n 2 IN , an1 = a1n .
p
Si a > 0, 8 pq 2 QI , con q > 0, a q = x
donde x es tal que xq = ap.
Por continuidad, queda denido az 8z 2 IR.
8a 6= 0: a0 = 1
,
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Reglas de las potencias:
an am = an+m (an)m = anm
8> 0
<
8a > 0 an ;!
n!+1 > 1
:
1
8m,
5
si a < 1
si a = 1
si a > 1
m
n = 0 y nm = o(an).
lim
n!+1 an
Si a > 0 y f (n) = nO(1), f (n) = o(an ): cualquier potencia \crece
mas rapido que una funcion acotada polinomialmente".
1 n
Base de los logaritmos naturales: e = n!lim
1+ n ,
+1
aprox. e = 2:7182818284590452354 : : :
Para nes de calculo
X xm = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ex =
(1)
m
!
2
6
24
m0
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Logaritmos Para a > 0,
logaritmo en base a de x > 0: loga x = y 2 IR con ay = x.
loga (xy) = loga x + loga y
loga (xy ) = y loga x
ax
logb x = log
loga b
Logaritmo natural: x 7! ln x = loge x. Para nes de calculo
ln(1 + x) =
(2)
X (;1)1+m xm = x ; x2 + x3 ; x4 + x5 ; x6 (3)
m
m1
(loga n)m
2
(loga n)m
3
4
5
m
n
= an11 n!
;! 0, i.e.
+1
6
Con n1 = loga n: n = aloga n
(loga n)m = o(n).
(loga n)O(1) =
O((loga n)m): acotadas \polilogartmicamente".
m0
6
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Factoriales
Recursivamente: 0! = 1 y 8n 2 IN : (n + 1)! = n! (n + 1):
; p ; p ; n n
p ; n ;
1 + n y 2 n ne n n!
2 n e
n! = 2 n ne
1
1 1
+ 12
n
n! = o(nn ), n! = !(2n) y log(n!) = (n log n):
7
:
Sucesion de Fibonacci Recursivamente,
F0 = 0
F1 = 1
,
y
8n 2 IN
: Fn+2 = Fn+1 + Fn :
Razones doradas
p :
1+
= 2p5 = 1:6180339887498948482 : : :
= 1;2 5 = ;0:6180339887498948482 : : :
b
Fn = p+5b y Fn = EnteroMasProximo
La sucesion crece exponencialmente.
8n :
n
n
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pn .
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Funciones iteradas Sea f : IR+ ! IR creciente, con
f (n) < n 8n.
8<
n
si m = 0,
Composicion de f : f (m) : n 7! : (m;1)
f (f
(n)) si m > 0.
Para c 2 IR
8<,
Minfm 0jf (m)(n) cg si existe tal mnimo,
fc : n 7! :
?
en otro caso.
8
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Ejemplos
1. Logaritmo iterado: log = log1 .
log
2
1
n
2 =4
2
log
222 = 16
3
n
2
22
n
22
222 = 265536
22
2
22
2 2 = 65536
4 2
= 2265536
Ilustraci
on del lento crecimiento de log .
log
5
6
p
2. Sea a > 1 y f : n 7! a n = n a1 . 8m 0, f (m) : n 7! n a1m .
log
log
n
(
m
)
2
2
Luego, 8n > 0 f (n) 2 , log2 a m . Y,
f2(n) = (log log n).
Ya que 8m n > 1 : f (m) (n) > 1, 8n > 1 : f1(n) =?.
3. Sea f : n 7! logn n . 8n > 1, f (m)(n) & e. Y,
n!+1
8n > 1 : f2 (n) =?.
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Sumatorias
Sumas nitas A = (a1 : : : an) : Pni=1 ai = a1 + + an :
Pn
1a =P
Series A = (an)n0 : P+n=1
n
n0 an = limn!+1 i=1 ai :
Sumas telescopicas Para A = (a0 a1 : : : an),
Xn (ai ; ai;1) = an ; a0. Por ejemplo,
i=1
Xn
n 1
1 = 1; 1:
1 =X
;
n
i=1 i(i + 1) i=1 i i + 1
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Sumas de mismas potencias de los
primeros enteros positivos
Xn
smn = im .
i=1
Pk=0 ;mkik ,
Por el binomio de Newton, (i + 1)m = m
mX
;1 m ik
m
m
(i + 1) ; i =
k=0
Al hacer la suma telescopica,
(n + 1)m ; 1m =
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(n + 1) ; 1
(n + 1)2 ; 1
(n + 1)3 ; 1
(n + 1)4 ; 1
(n + 1)5 ; 1
(n + 1)6 ; 1
.
.
.
s0n
s1n
=
s2n
=
s3n
=
s4n
=
s5n
=
.
.
.
=
X mskn
m;1
k=0
k
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=
=
=
=
=
=
n
s0n
s0n + 2s1n
s0n + 3s1n + 3s2n
s0n + 4s1n + 6s2n + 4s3n
s0n + 5s1n + 10s2n + 10s3n + 5s4n
s0n + 6s1n + 15s2n + 20s3n + 15s4n + 6s5n
.
.
.
1
n(1 + n) = 1 s0n (1 + n)
2
2
1
n(1 + n)(1 + 2n) = 1 s1n (1 + 2n)
6
3
1 2
n (1 + n)2 = s21n
4
1
n(1 + n)(1 + 2n)(;1 + 3n + 3n2 ) = 1 s2n (;1 + 3n + 3n2 )
30
5
1 2
n (1 + n)2 (;1 + 2n + 2n2 ) = 1 s3n (;1 + 2n + 2n2 )
12
3
.
.
.
n
X
; Y im = O nm .
+1
i=1
k
11
(4)
(5)
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Sumas de potencias
P
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P
n 0, xn+1 ; 1 = ni=0 (xi+1 ; xi ) = ni=0 xi (x ; 1) y
Xn xi = 1 ; xn+1 .
1;x
i=0
X
Si jxj < 1, xn = 1 ;1 x . Al derivar cada miembro y multiplicar
n 0
por x,
X nxn = x , si jxj < 1.
(1 ; x)2
8x 6= 0
n0
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Serie
armonica
n
X 1 1 + Z n x;k dx (k = 1): Xn 1 = log(n) + O(1).
i=1
ik
Para k > 1:
1
Xn 1 = k + (1 ; k)
i=1
ik
i=1
1
i
nk;1 + O(1).
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Productos log (Qni=1 ai) = Pni=1 log (ai) :
Acotamiento de sumas
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Acotamiento termino a termino
A = (a1 : : : an ) 2 (IR+)n , B = (b1 : : : bn ), 8i n : ai bi :
Xn ai Xn bi.
i=1
i=1
A = (ai )i1 , B = (bi )i1 ,
X ai X bi.
Pi1 bi < +1 y 8i : ai bi:
i1
i1
Si B = (bi )i1 domina a la larga a A, 9i0 8i 0 : ai bi , entonces
i0
ai ai +
bi .
i=1
i1
ii0 +1
X
X
X
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Acotamiento por razones
menores que 1 Sea
a
A = (ai )i1 t.q. 9r 2]0 18i : ai+1i
X ai a0 1 .
8i : ai a0 ri y
1;r
r, entonces
i1
Aproximacion por integrales Sea A = (ai)i1, con
ai = f (i), f integrable. Entonces,
Zn
.
m;1
f (x)dx Xn Z n+1 f (x)dx
i=m;1
m
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