Breve introducción a “Matrices”

Liceo Nº 35 - IAVA
2016
Breve introducción a “Matrices”
1 - Introducción
Def. 1.1
Llamaremos matriz de orden mxn a la disposición en m filas y n columnas de mxn números1 .
Observación 1.1
Convendremos que los números a los que hace referencia la definición2 , pertenecen a un cuerpo, en
nuestro caso suponderemos que pertenecen a R.
Observación 1.2
Notaremos por ai j el elemento de la matriz ubicado en la fila i-ésima y en la columna j-ésima, con
1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n.
De lo anterior deducimos entonces que la representación de una matriz A, será de la forma3 :


a11 a12 a13 · · · · · · a1n
 a21 a22 a23 · · · · · · a2n 
 .
..
..
. 


.
. · · · · · · .. 
A =  ..
 .
..
..
. 
 ..
.
. · · · · · · .. 
am1 am2 am3 · · · · · · amn
Def. 1.2
Diremos que dos matrices mxn, A = (ai j ) y B = (bi j ) son iguales si se cumple que:
ai j = bi j ∀i : 1 ≤ i ≤ m y ∀ j : 1 ≤ j ≤ n
Observación 1.3
La igualdad de matrices de igual orden, antes definida, tiene las propiedades reflexiva, simétrica y
transitiva4 .
Def. 1.3
Sea A una matriz mxn, definimos:
a) Matriz opuesta de A a la matriz mxn
−A = −(ai j ) = (−ai j )
b) Matriz traspuesta de A como la matriz mxn
At = (a ji )
Observación 1.4
1 Cuando
m = n diremos que la matriz es cuadrada de orden n
ahora en más “escalares”
3 También a veces escribiremos: A = (a )
ij
4 Este resultado es evidente ya que la igualdad en R tiene esas propiedades
2 De
Diego Charbonnier
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i) La notación utilizada para representar la matriz opuesta de una matriz A no debe entenderse como
(−1).A ya que hasta el momento no ha sido definido el producto de un número real por una matriz.
ii) Si el cuerpo conmutativo al cual pertenecen los elementos ai j de una matriz fuese C, sería pertinente definir matriz conjugada de una matriz A de orden mxn dada5 .
Teorema 1.1
i) −(−A) = A
ii) (At )t = A
Demostración
i) de acuerdo con la definición de matriz opuesta de una matriz A dada, tenemos que −A = (−ai j ), y
aplicando nuevamente la definición y recordando que los ai j ∈ R : −(−A) = (−(−ai j )) = (ai j ) = A.
ii) de igual manera recordando la definición de matriz traspuesta de una matriz A = (ai j ), de orden
mxn dada, tenemos que At = (a ji ) con lo que es inmediato que (At )t = (ai j ) = A.
Def. 1.4
i) Diremos que una matriz cuadrada A = (ai j ), de orden n es simétrica si y solo si:
ai j = a ji con 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n
ii) Diremos que una matriz cuadrada A = (ai j ), de orden n es antisimétrica si y solo si:
ai j = −a ji con 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n
Teorema 1.2
Una matriz A es simétrica si y solo si A = At .
Demostración
Supongamos primero que A es simétrica, lo que por la definición anterior significa que A es una matriz
cuadrada en la que se verifica que ai j = a ji , tenemos entonces que:
At = (a ji ) = (ai j ) = A
Supongamos ahora que A = At , entonces el número de filas es igual al número de columnas, con lo
que la matriz A es cuadrada. Por otro lado se cumple que:
ai j = a ji
de las dos conclusiones anteriores deducimos que A es una matriz simétrica.
Teorema 1.3
5A
= (ai j ), siendo los elementos ai j los conjugados de los elementos ai j de A.
A es la notación habitual para la matriz mxn conjugada de la matriz A.
Diego Charbonnier
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Una matriz A es antisimétrica si y solo si A = −At .
Demostración
Por cuenta del lector.
Def. 1.5
i) Llamaremos matriz unidad a toda matriz cuadrada de la forma I = (δi j ) siendo δi j el δ de Kronecker6 .
ii) Llamaremos matriz nula a toda matriz de la forma O = (ai j ) con ai j = 0 ∀i, j.
2 - Suma de Matrices
Representaremos por Mmxn el conjunto de las matrices de orden mxn.
Def. 2.1
Definimos en Mmxn XMmxn una función a la que llamaremos suma
+ : Mmxn XMmxn → Mmxn
de forma que para todo par de matrices A = (ai j ) y B = (bi j ) pertenecientes al conjunto Mmxn se tiene
una matriz C perteneciente a conjunto Mmxn definida como:
A + B = C = (ci j ) = (ai j + bi j )
Teorema 2.1
La suma de matrices tiene las siguientes propiedades:
i) ∀A, B ∈ Mmxn se tiene que A + B = B + A
ii) ∀A, B,C ∈ Mmxn se tiene que A + (B +C) = (A + B) +C
iii) existe una única matriz O ∈ Mmxn / ∀A ∈ Mmxn : A + O = A
iv) ∀A ∈ Mmxn existe una única matriz (−A) ∈ Mmxn / A + (−A) = O
Demostración
Son consecuencia de las propiedades análogas en el cuerpo R.
Def. 2.2
Definimos resta de dos matrices A y B pertenecientes al conjunto Mmxn como la suma de la primera
más la opuesta de la segunda:
A − B = A + (−B)
Teorema 2.2
Sean A, B,C ∈ Mmxn , entonces
A +C = B +C si y solo si A = B
Demostración
A cargo del lector.
6δ
ij
= 0 si i 6= j y δi j = 1 si i = j
Diego Charbonnier
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Del teorema 2.1 deducimos entonces que (Mmxn , +) tiene estructura de grupo conmutativo, por lo
que sabemos que la ecuación
X +A = B
tiene solución en (Mmxn , +).
En efecto, sumando a ambos miembros el opuesto de la matriz A (teorema 2.1 - iv)), tenemos
(X + A) + (−A) = B + (−A)
aplicando la propiedad asociativa (teorema 2.1 - ii)) en el primer miembro y la definición de resta en
el segundo tenemos
X + (A + (−A)) = B − A
por el teorema 2.1 - iii) sabemos que A + (−A) = O, con lo que finalmente queda
X = B−A
Teorema 2.3
∀A, B ∈ Mmxn se tiene que:
i) −(A + B) = (−A) + (−B)
ii) (A + B)t = At + Bt
Demostración
i) de acuerdo con la definición, tenemos que: −(A + B) = −(ai j + bi j ) y como los ai j y los bi j
pertenecen a R, se cumple que −(ai j + bi j ) = (−ai j ) + (−bi j ) = (−A) + (−B).
ii) aplicando la definición tenemos que: (A + B)t = (a ji + b ji ) = (a ji ) + (b ji ) = At + Bt .
3 - Producto de un escalar por una matriz
Definimos en R XMmxn una función a la que llamaremos producto de un escalar por una matriz
. : R XMmxn → Mmxn
de forma que para todo número real λ y para toda matriz A = (ai j ) perteneciente al conjunto Mmxn
se tiene una matriz D perteneciente a conjunto Mmxn definida como:
λ . A = D = (di j ) = (λ ai j )
Observación 3.1
i) De acuerdo a la definición anterior de producto de un número real por una matriz y recordando la
observación 1.4 es que estamos en condiciones ahora de aceptar que −A = (−1).A para toda matriz
A.
Diego Charbonnier
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ii) También es evidente que (1).A = A para toda matriz A.
Teorema 3.1
Sean A, B ∈ Mmxn y λ , µ ∈ R entonces se verifica que:
i) λ .(A + B) = λ .A + λ .B
ii) (λ + µ).A = λ .A + µ.B
iii) (λ .µ).A = λ .(µ.A) = µ.(λ .A)


λ
iv) λ .A = O ←→ o


A
=0
=O
Demostración
Probemos la proposición directa de la parte vi) ya que la recíproca es evidente utilizando las definiciones correspondientes.
Suponemos entonces que λ .A = O y que λ 6= 0, pero como debe cumplirse que λ .ai j = 0 ∀ i / 1 ≤ i ≤
m y ∀ j / 1 ≤ j ≤ n y como estamos trabajando en el cuerpo de los reales, debe ser ai j = 0 ∀ i / 1 ≤
i ≤ m y ∀ j / 1 ≤ j ≤ n con lo que entonces la matriz A es la matriz nula, A = O.
Supongamos ahora que λ .A = O y que A 6= O con lo que entonces debe existir un elemento al menos
de A que no sea igual a cero,sea ars dicho elemento, con 1 ≤ r ≤ m y 1 ≤ s ≤ n pero como λ .A = O
todos sus elementos son cero, es decir que λ .ai j = 0 ∀ i / 1 ≤ i ≤ m y ∀ j / 1 ≤ j ≤ n, en particular
debe ser λ ars = 0 y nuevamente como estamos trabajando en R uno de los dos factores debe ser cero,
pero ars no lo es, de dónde se deduce que λ = 0.
Observación 3.2
De los teoremas 2.1, 3.1 y de la obsevación 3.1 podemos cocluír que si Mmxn es un espacio vectorial
real.
Ejercicios
1) Dadas las matrices
A=
Calcula:
a) A + B
b) A + B +C
c) A −C
2 5 1
1 2 1
d) C − A
e) B −C
f) C−B
, B=
3
9 1
0 −3 7
g) 3B
h) −5C
1
A
i) 10
yC=
0 −1 0
−1 −2 4
j) −2A + 5B
k) C − A − 7B
l) 3.(C − B) + 4.(C − A) − A
2) Calcula la matriz traspuesta de cada una de las siguientes matrices:
Diego Charbonnier
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



4
0
1
5
4 0
0
2
4
0
8 −1
4  , B =  3 8 −1  y C =
A= 0
−1 −3 1
−1 −5
2 −3
−1 2
2
3) Comprueba si para la matriz siguiente se cumple que (At )−1 = (A−1 )t :
A=
Diego Charbonnier
2 0
1 2
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