CAPITULO 8

1
Capítulo 1
Integrales múltiples
Se establece en este capítulo una teoría de integración para funciones escalares de varias variables. La definición que
→ . Pedimos, además, cierta
proponemos es una generalización directa de la Integral de Riemann para funciones
regularidad a las funciones integrando porque aligera la exposición sin perder las principales aplicaciones básicas (cálculo
de áreas y volúmenes de cuerpos regulares, distribuciones de probabilidad multidimensionales, cálculo de momentos de
inercia, centro de masas de un sólido, etc…). Sin embargo, existen procedimientos para definir la integral múltiple que
admiten integrandos más generales.
Desde el punto de vista aplicado una integral múltiple se presenta de forma natural acumulando en un conjunto una
magnitud distribuida en él, mediante una función de densidad. También puede ocurrir que se maneje una nueva magnitud
acumulando otra ya conocida, que pasa a ser su función de densidad. La fuerza que se ejerce en el transporte de una masa,
por ejemplo, a lo largo de una trayectoria es la densidad (por unidad de espacio recorrido) de la magnitud física trabajo
desarrollado en el transporte. La Estadística ofrece muchos ejemplos de funciones de densidad de probabilidad distribuidas
sobre variables aleatorias multidimensionales.
§1.1 Integrales dobles
Dada una función f : Ω ⊂
→ y un subconjunto (regular) A ⊂ Ω de su dominio, pretendemos calcular el volumen comprendido entre la gráfica de f y el propio A. Dicho volumen es una interpretación geométrica de la magnitud
acumulada sobre A cuya densidad (por unidad de superficie) es f(x, y) en cada punto de A.
2
a) Definición: Integral doble sobre un rectángulo
Sea f :
→ una función continua 1 en un rectángulo R = [a, b]×[c, d] contenido en su dominio, que suponemos un
dominio Ω en el plano XY. Supongamos inicialmente que f es positiva. Entonces pretendemos calcular el volumen
encerrado por debajo de la superficie z = f(x,y) y por encima del rectángulo R.
La idea es realizar un proceso de aproximación simultáneo, construyendo aproximaciones por exceso y por defecto,
del número que dé dicho volumen, de un modo similar a como se hizo en la definición de integrales definidas simples. La
figura (1.1−1) ilustra la construcción.
2
La aproximación: Sumas de Riemann
P1 = {a = x0 < x1 < …< xn−1 < xn = b} , de [a, b]
Dadas dos particiones, 
, se obtiene una partición P del
P2 = {c = y0 < y1 < …< ym−1 < ym = d} , de [c, d]
(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m), cuyas dimensiones
rectángulo R en n×m subrectángulos: Rij = [xi−1, xi]×[yj−1, yj]
denotamos
∆xi = xi – xi−1 , ∆yj = yj – yj−1.
d
…
y2
y1
c
a
x1
x2
…
b
figura 1.1−1
(obsérvese que se miden en las mismas unidades que las variables x e y)
1 Posteriormente se extiende la construcción a funciones continuas a trozos
1.2
Cálculo II
Para cada subrectángulo Rij se toman los números:
mij = mín{f(x,y) : (x,y) ∈ Rij} , Mij = máx{f(x,y) : (x,y) ∈ Rij}
(1.1−1)
ambos existen, por ser f continua y cada Rij = compacto (rectángulo cerrado y acotado), en virtud del teorema de
Weierstrass sobre máximo y mínimo absolutos.
Los escalares
mij ∆xi∆yj , Mij ∆xi∆yj
son una aproximación por defecto y otra por exceso del volumen entre la superficie y el rectángulo Rij. (Si f(x,y)
es la densidad de una magnitud distribuida en R, se habrá aproximado la cantidad de dicha magnitud acumulada
en Rij).
La suma de esos escalares para todos los rectángulos Rij será una aproximación del volumen total bajo la
superficie. En particular será una aproximación por defecto la dada por la Suma inferior de Riemann de f relativa
a la partición P, que denotamos s(f;P):
n
s(f;P):=
m
∑∑ m ∆x ∆ y
ij
=i 1 =j 1
i
= suma inferior;
j
(1.1−2a)
y será una aproximación por exceso la dada por la Suma superior de Riemann que denotamos S(f;P):
n
S(f;P) :=
m
∑∑ M ∆x ∆ y = suma superior;
=i 1 =j 1
ij
i
(1.1−2b)
j
Evidentemente, por construcción, resulta que ∀P = partición de R se cumple:
s(f;P) ≤ volumen buscado ≤ S(f;P)
Mejoría de la aproximación por refinamiento de la partición
La figura (1.1−2) permite comprender el efecto de añadir un punto a la partición P2 sobre el exceso de las sumas
superiores. Es análogo si se añade en P1 y, en suma, podremos mejorar la
aproximación si tomamos particiones con más puntos (suele decirse más
finas e indicarse con el símbolo ⊂ entre la menos y la más fina).
En definitiva si P y P* son particiones de R tales que P ⊂ P* se
cumplirá:
s(f;P) ≤ s(f;P*) ≤ volumen buscado ≤ S(f;P*) ≤ S(f;P)
Concepto de integral y de función integrable
La mejoría de la aproximación es progresiva cuando el
número de puntos de la partición aumenta, y, en el límite, las
figura 1.1-2
sumas de Riemann coinciden y definen el número real que
representa el volumen geométrico. Más precisamente, esto sugiere la siguiente definición formal, que no hay
inconveniente en aplicar a funciones muy generales2:
Definición [1.1−3]:
Una función acotada f : Ω ⊂ 2 → se dice integrable sobre un rectángulo R ⊂ Ω cuando
∀ε > 0 ∃Pε (= partición de R que depende de ε) t.q. ∀P = partición de R :
Pε ⊂ P ⇒ S(f; P) – s(f; P) < ε.
En ese caso las sumas superiores e inferiores tienen un límite común para n, m → ∞, al que llamamos
integral doble de f sobre R y representamos con la integral doble de f sobre R:
∫∫
R
f=
( x, y )dxdy : lim
n
m
M ∆x ∆y
∑∑=
n.m →∞
=i 1 =j 1
ij
i
j
n
lim
m
∑∑ m ∆x ∆y
n.m →∞
=i 1 =j 1
ij
i
j
(1.1-3)
Se obtiene una construcción equivalente tomando f(ui,vj) en un punto arbitrario de Rij, en lugar de mij y Mij en los
límites y en todo el proceso anterior.
2 Si f no es positiva la integral no representa el volumen geométrico sino un volumen aritmético donde se ha restado el volumen que
corresponde a la parte negativa de f.
CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
1.3
Condición suficiente de integrabilidad
En lo sucesivo será suficiente aplicar este resultado a funciones continuas o continuas a trozos. Ya puede
probarse la integrabilidad de las primeras:
Teorema [1.1−4]:
Toda función continua sobre un rectángulo R es integrable en R. Una función discontinua es integrable si
el conjunto de sus discontinuidades es finito o si se pueden agrupar en una serie finita de curvas, cada una con
área 0.
Demostración: Es consecuencia de que ∀i,j : Mij – mij se puede hacer arbitrariamente pequeño con tal de tomar Rij
adecuadamente pequeño, por ser f continua sobre R, compacto, y ser, por tanto, uniformemente continua. Más
precisamente:
Fijado ε > 0, sabemos que ∃δ > 0 tal que ∀ (x,y), (x*,y*) ∈ R : (x,y) , (x*,y*) < δ ⇒ f(x,y)–f(x*,y*) < ε.
Por otra parte, se pueden elegir las particiones de manera que el mayor subrectángulo tenga diámetro (longitud de la
diagonal) menor que δ. Entonces:
S(f;P) – s(f;P) = ∑i∑j (Mij – mij) ∆xi∆yj ≤ εR
(siendo R el área o medida de R). Luego se puede hacer esa diferencia arbitrariamente pequeña, siendo, pues, f
integrable.
Las funciones continuas a trozos son integrables por las propiedades de descomposición de la integral que veremos
enseguida.
c.q.d. #.
Definición de la integral doble en recintos acotados más generales
Si en lugar del rectángulo se tiene un dominio acotado A ⊂ Ω, se considera un rectángulo cualquiera R
que contenga a A y la función auxiliar:
f(x,y) si (x,y) ∈ A
g(x,y) = 
0 si (x,y) ∈ R – A
∫∫
y definimos:
A
f ( x, y )dxdy := ∫∫ g ( x, y )dxdy
R
(1.1−5)
Se dirá f integrable sobre A ⊂ Ω si lo es g sobre R y así la integración doble está establecida para funciones
f(x,y) en cualquier recinto regular pero acotado.
Ejemplos
Aunque procedimiento seguido para definir la integral doble es principalmente teórico, en la práctica, para calcular
una integral doble, se aplica la integración por secciones que estudiamos en el siguiente apartado. No obstante, en los
siguientes ejemplos se calculan las integrales dobles aplicando directamente la definición:
Ejemplo 1.1-1: Si f(x,y) = K = cte., calcular su integral doble sobre un rectángulo cualquiera R = [a, b]×[c, d],
aplicando la definición (1.1-3).
Solución: Si P es una partición de R determinada por dos particiones P1 y P2 de [a, b] y [c, d] respectivamente,
como se han descrito antes, se tiene que mij = Mij = K en todo subrectángulo Rij, de manera que las sumas superior e
inferior de Riemann resultan:
S(f; P) = ∑i∑j Mij ∆xi∆yj = K [(x1−a) + (x2−x1) +…+ (b−xn-1)][(y1−c) + (y2−y1) +…+ (d−ym-1)] =
= K  ( x1 − a ) + ( x2 − x1 ) +  + (b − xn −1 )   ( y1 − c) + ( y2 − y1 ) +  + ( d − ym −1 )  = K(b−a)(d −c) = s(f; P)
Es análogo con la suma inferior, por la naturaleza de la función integrando f, de manera de las aproximaciones por
exceso y por defecto de la integral en realidad coinciden y dan el valor de la misma:
∫∫
R
f ( x, y )dxdy =
∫∫
b
a
d
c
Kdxdy = K (b−a) (d −c)
#.
Ejemplo 1.1-2: Misma cuestión si f(x,y) = g(x) h(y) es el producto de dos funciones continuas, la primera función
sólo de x y la segunda, sólo de y. Aplíquese el resultado para integrar f(x,y) = x2y en [0 , 1]×[0 , 1].
Solución: Se deja como ejercicio comprobar que
1.4
Cálculo II
∫∫
R
h ( x ) g ( y )dxdy =
( ∫ h( x)dx )( ∫ g ( y)dy )
b
d
a
(1.1-6)
c
Téngase en cuenta, para ello, que Mij será el producto del máximo de h en [xi−1, xi] por el de g en [yj−1, yj]; y que
sucede algo análogo con mij. Se pueden obtener entonces S(f, P) y s(f, P) y obtener sus límites como integrales de
las funciones h y g en los correspondientes intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente.
De este modo, lo aplicamos al caso concreto planteado:
∫∫
R
x 2 ydxd=
y
∫∫
1
1
0
0
x 2 ydxd=
y
( ∫ x dx )( ∫ ydy=)
1
1
2
0
0
=
1 1
3 2
1
6
#.
b) Cálculo de la integral doble por iteración
El resultado sobre integración iterada se corresponde con el célebre Teorema de Fubini. En síntesis el resultado
reduce el problema de calcular la integral (1.1−3) al de calcular otras integrales de Riemann de dimensión menor, adaptando
convenientemente los límites de integración de éstas a la descripción analítica del recinto de integración A.
Integración iterada sobre rectángulos planos
Comenzamos con las integrales dobles sobre rectángulos, cuya interpretación geométrica es un caso particular del
método clásico de integración por secciones, ya descrito por Eudoxo (siglo IV a. C.) y perfectamente manejado por
Arquímedes (287−212 a. C.) 3. La Física y la Geometría, por otra parte, suelen manejar las diversas integrales que necesitan
mediante lo que llaman elementos diferenciales, una de cuyas versiones puede verse en este teorema.
El elemento diferencial de una integral es una representación
genérica de los sumandos que dan la integral en el límite, lo que solía
reflejarse escribiendo dx en vez de ∆x ó dxdy en lugar de ∆x∆y. Por
ejemplo el elemento diferencial de la integral doble, según la
A(y)dy
definición (1.1−3), es f(x,y)dxdy: es una representación del pequeño
volumen que, en el límite, aporta cada punto a la suma total, que es la
integral. Muchos razonamientos se hacen plausibles argumentando
con los elementos diferenciales.
y
Sea f : Ω ⊂ 2 → , continua en R = [a, b]×[c, d] ⊂ Ω.
Deseamos calcular la integral
∫∫
R
f ( x, y )dxdy .
dy
La idea de este método es utilizar el elemento diferencial del
volumen que se ilustra en la figura 1.1−3 adjunta: el área de la
figura 1.1-3
sección producida por cada y ∈ [c, d] multiplicada por la altura
diferencial dy. Intuitivamente está claro que la suma de los infinitos elementos de esa forma da el volumen
buscado. Más concretamente:
Para cada y ∈ [c, d], se considera la sección del volumen buscado con el plano coordenado correspondiente a
dicho y. Denotemos A(y) el área de dicha sección, cuyo valor se puede escribir fácilmente mediante la integral
de Riemann unidimensional:
A(y) =
∫
b
a
f ( x, y )dx
pues, con cada y fijo, la x de la sección A(y) varía desde x = a hasta x = b.
El elemento diferencial del volumen, sugerido en la figura anterior, viene dado por A(y)dy, para cada y. La
suma de todos ellos cuando y varía entre c y d viene dada por:
vol. =
∫
d
c
A( y )dy =
∫  ∫
d
b
c
a
f ( x, y )dx dy

(1.1−6)
Un argumento análogo se obtiene si partimos de un x ∈ [a, b] fijo y realizamos la sección por su plano
coordenado x constante. En ese caso se considera la sección A(x) dada por:
A(x) =
∫
d
c
f ( x, y )dy ,
y el elemento de volumen A(x)dx, de manera que el volumen resultará:
3 En esto consiste fundamentalmente el razonamiento de Arquímedes para deducir su fórmula del volumen de la esfera.
CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
vol. =
∫
b
a
A( x)dx =
∫
b
a
1.5
 d f ( x, y )dy  dx
 ∫c

(1.1−7)
Las dos integrales anidadas de (1.1−6 y 7) se conocen como integrales iteradas y la técnica de integración
se llama por iteración. La demostración rigurosa de las fórmulas obtenidas debe manejar las particiones y tomar
el límite correspondiente, lo que dejamos como ejercicio. El resultado se enuncia como sigue:
Teorema de Fubini [1.1−5]: Sea f : Ω ⊂ 2 → y sea R ⊂ Ω un rectángulo [a, b]×[c, d]. Consideremos las
familias de funciones → :
ϕx(y) = f(x,y), ∀x ∈ [a, b]: una función de y para cada x, definida en [c, d]
ϕy(x) = f(x,y), ∀y ∈ [c, d]: una función de x para cada y, definida en [a, b]
Entonces, si f es integrable en R, las dos funciones cumplen:
ϕy(x) es integrable en [a, b] para cada y de [c, d] y
∫
b
ϕx(y) es integrable en [c, d] para cada x de [a, b] y
∫
d
a
c
=
y)
φ y ( x=
)dx A(
∫
b
φ x ( y=
)dy A(
=
x)
∫
d
f ( x, y )dx
a
f ( x, y )dy
c
y se verifica:
(Teorema Fubini)
∫∫
R
f ( x, y )dxdy =
∫
d
c
 b f ( x, y )dx dy =
 ∫a

∫
b
a
 d f ( x, y )dy  dx
 ∫c

(1.1−8)
Ejemplos de integración iterada
El teorema anterior proporciona dos procedimientos de efectuar una integral doble, llamados "por
iteración". Cada una de las dos integrales se denomina integral iterada y se distinguen en el orden de
integración: la primera integra primero respecto de x y sigue integrando el resultado respecto de y; la segunda lo
hace en el orden contario. A continuación se ilustran ambos con los siguientes ejemplos:
2
2
Ejemplo 1.1−3: Calcular la integral de f(x,y) = x + y sobre el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Dibujar el volumen que se ha
calculado.
Solución: Por el primer orden de integración tendremos:
∫∫
[0,1]×[0,1]
( x 2 + y 2 )dxdy =
=
∫
(
=
y + 13 y 3
1
(
0
1
3
1
3
x3 + y 2 x
1
0
x =1
x =0
)=
1
3
∫  ∫ ( x
1
1
0
0
)dy =∫ (
1
0
+ 13 =
1
3
2
+ y 2 )dx dy =

)
+ y 2 dy =
2
3
Por el segundo orden de integración se obtiene a priori el mismo resultado por la
simetría de la función y del rectángulo sobre el que se integra.
figura 1.1-4
Veamos ahora un ejemplo en que el dominio de integración no es un
rectángulo para ver cómo se aplica en la práctica (1.1-8):
Ejemplo 1.1-4: Calcular
∫∫
D
( x 2 + xy 2 )dxdy siendo D el triángulo comprendido entre los ejes y la recta que pasa
por los puntos (0, 1) y (2, 0) y aplicar los dos órdenes de integración iterada.
Solución: Primero debemos describir adecuadamente el dominio de integración, D,
para lo cual se necesitan las ecuaciones de sus fronteras: la porción de frontera sobre
los ejes son sencillas: {y = 0; 0 ≤ x ≤ 2} y {x = 0; 0 ≤ y ≤ 1}; la recta oblicua tiene
pendiente
− 12
y pasa por (0,1), luego su ecuación es:
(y −1) =
− 12 (x − 0) ⇔ y = 1 − 12 x
⇔ x = 2(1−y).
A continuación damos dos descripciones posibles de D para integrar:
figura 1.1- 5
D = {(x, y)∈
2
/ 0≤x≤2, 0≤y≤1 −
D = {(x, y)∈
1
2
2
/ 0≤y≤1, 0≤ x≤2−2y} (y varía entre constantes)
x} (x varía entre constes.)
Cada una de las descripciones es útil para uno de los órdenes de integración. Con la primera descripción se integra
en el primer orden, es decir, primero respecto x y cerrando respecto y:
1.6
Cálculo II
∫∫
D
( x 2 + xy 2 )dxd=
y
∫(
1
=
0
8
3
∫( x +
 2−2 y ( x 2 + xy 2 ) dx d=
y
∫0  ∫0

1
1
1
0 3
3
1
2
x2 y 2
(1 − 3 y + 3 y 2 − y 3 ) + 2(1 − 2 y + y 2 ) y 2 ) dy =
=
(
8
3
2−2 y
0
∫(
1
0
) d=y
∫(
1
1
0 3
23 (1 − y )3 + 12 22 (1 − y )2 y 2 − 0 ) dy =
− 8 y + 10 y 2 − 203 y 3 + 2 y 4 )dy =
8
3
11
y − 4 y 2 + 103 y 3 − 53 y 4 + 52 y 5 ) = 83 − 4 + 53 + 52 − 0 = 13 + 52 = 15
1
0
En el otro orden se tiene en cuenta la segunda descripción de D, integrando primero respecto de y y cerrando
respecto de x, y produce el mismo resultado: se deja verificarlo como ejercicio, siendo interesante que el alumno
compare si los dos órdenes se operan con el mismo trabajo o hay ventaja en proceder en uno de los dos órdenes
frente al otro.
#.
En realidad, puede haber ventaja en utilizar uno de los dos órdenes, como prueba el siguiente caso:
Ejemplo 1.1-5: Calcular
∫∫
D
πy 2
x
x 3 y sen
dxdy , siendo D la porción del plano XY comprendida entre la cúbica y = x3 y
la parábola y = x .
Solución: Para integrar primero respecto de x, debemos integrar x 3 sen πyx respecto x, mientras que si integramos
2
primero respecto de y debe integrarse y sen πyx respecto de y. Esto último parece
más directo, así que describimos el conjunto D (figura adjunta), expresando x entre
dos constantes:
D = {(x,y) / 0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤ x }
2
πy
3
=
∫∫ x y sen x dxdy
2
y así:
D
x
1
1 4 
πy 2
πy 2

3
=
∫0  x 2πx ∫x3 2πx y sen x dy  dx =
∫0 2πx  − cos x
=
1
2π
∫ (x
1
0
4
+ x 4 cos(πx 5 ) ) dx
=
1
2π


(
5
x
5
1

x

∫=
 ∫ x y sen dy  dx
3
x3
0
πy 2
x
1 4

x
( − cos π+ cos(πx5 ) ) dx
 dx =
∫
0 2π

1
 1 1 + 0 − 0= 1
+ 5π1 sen(πx 5 ) =
) 10π
2π ( 5
0

x
x3
figura 1.1- 6
)
#.
c) Propiedades de las integrales dobles
Las propiedades más utilizadas de la integral múltiple son similares a las que tiene en el caso unidimensional. Se resumen a continuación:
linealidad: α,β = ctes. ⇒
∫∫
Ω
(αf ( x, y ) + βg ( x, y ))dxdy =
α ∫∫ f + β ∫∫ g
Ω
Ω
(1.1−9)
aditividad: Si Ω = Ω1 ∪ Ω2 es una descomposición de Ω sin solapamientos, entonces:
∫∫
Ω
∫∫
f ( x, y )d=
xdy
Ω1
f + ∫∫
Ω2
f
(1.1−10)
monotonía: Si f, g son funciones escalares integrables sobre un dominio Ω ⊂ 2, entonces
∀(x,y) ∈ Ω : f(x,y) ≤ g(x,y) ⇒
f ( x, y )dxdy ≤
g ( x, y )dxdy
∫∫
Ω
∫∫
Ω
(1.1−11)
triangular: Para cualquier función integrable f sobre un dominio Ω se verifica:
∫∫Ω f(x,y) dxdy ≤
∫∫Ω f(x,y) dxdy
(1.1−12)
Junto a estas propiedades básicas que se demuestran fácilmente a partir de la definición (1.1−3), tiene bastante uso la
generalización del teorema del valor medio (T.V.M.) a integrales dobles:
Teorema de valor medio [1.1−6]: Sea Ω un dominio 4 en 2 sobre el que una función f es continua. Entonces
existe un punto ξ = (ξ1, ξ2) en Ω tal que
∫∫Ω f(x,y)dxdy
= f(ξ1,ξ2)Ω,
(1.1−13a)
3
donde Ω es el área de Ω (área en , será volumen en , y, en general, medida).
Al valor f(ξ1,ξ2) se le conoce como promedio integral de f en Ω, y es el valor promedio de una magnitud
distribuida en Ω. Por eso a veces se escribe (1.1−13a) en la forma:
2
4 Domino, o sea, el cierre topológico de un abierto conexo. La hipótesis de conexión es esencial en el teorema.
CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
f (ξ1 ,ξ 2 ) =
∫∫
Ω
1.7
f ( x, y )dxdy
(1.1−13b)
Ω
Demostración: Es una consecuencia del teorema de conservación de la conexión, que no probaremos.
#.
Finalmente ya estamos en condición de probar la integrabilidad de las funciones continuas a trozos:
Teorema [1.1−7]: Si f es acotada en el dominio Ω ⊂ n y existe una descomposición de Ω en subdominios sin
solapamientos 5, de la forma Ω = Ω1∪Ω2∪…∪Ωk, tal que f es continua en Ωi para cada i = 1, 2,…,k, entonces f
es integrable sobre Ω, y la integral se puede calcular mediante la aditividad (1.1−10).
Demostración: Es una sencilla consecuencia de la propiedad de aditividad respecto del dominio de integración, o
sea, (1.1-10): basta descomponer el dominio siguiendo la curva en que se produce la discontinuidad de f.
#.
d) Cambio de variables
En ocasiones es ventajoso expresar el recinto de integración, o la función integrando de una integral múltiple en
otras variables auxiliares con el fin de simplificar los cálculos. Veamos primero el caso más sencillo e importante en las
aplicaciones a integrales dobles:
Cambios a coordenadas polares en el plano
Consideramos en primer lugar la integral ∫∫ f ( x, y )dxdy . Supongamos que, o bien el integrando o bien Ω
Ω
se simplifican al expresarlos en las coordenadas polares del plano, o sea, al sustituir:
 x = ρ cos θ = g1 (ρ, θ)
, o bien: (x,y) = _g(ρ,θ) = (g1(ρ,θ), g2(ρ,θ))

 y = ρ sen θ = g 2 (ρ, θ)
(1.1−14)
Entonces es posible efectuar estas sustituciones en la integral para explotar la simplificación.
En efecto, consideremos, por ejemplo, el círculo Ω = {(x,y): x2+y2 ≤ r2}, para fijar ideas. Debe describirse,
para integrar en cartesianas (primero respecto y, por ejemplo), en la forma:
Ω = {(x,y) : −r ≤ x ≤ r , – r2 – x2 ≤ y ≤ r2 – x2 },
θ
g
_
2π
dy
dx
R
ρdθ
r
ρ
dρ
figura 1.1−7
mientras que en coordenadas polares el mismo Ω se describe
simplemente por
Ω = {(ρ,θ) : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π},
o sea, un "rectángulo" R = [0, r]×[0, 2π] para las variables
(ρ,θ) (es decir, en unos ejes ortogonales que escalen las
variables (ρ,θ) al margen de las (x,y), ver figura 1.1−7)
Obsérvese que este rectángulo no es otra cosa que el conjunto
de puntos (ρ,θ) cuya imagen por la aplicación vectorial g_
proporcionan el círculo original Ω, es decir,
R = _g−1(Ω).
(1.1−15)
Obsérvese también que, salvo en el origen, la función vectorial _g es inyectiva, pues su jacobiano es
∂ ( x, y )
=
∂ (ρ,θ)
cosθ −ρsenθ
senθ ρcosθ
= ρ,
Por su parte, el integrando variará al sustituir en la forma
f(x,y) = f(ρcosθ, ρsenθ) = f[g_(ρ,θ)] = f g_(ρ,θ)
(1.1−16)
Finalmente el elemento diferencial dxdy es el elemento de área expresado en las coordenadas originales.
Se entiende por ello el área encerrada entre los puntos (x,y), (x+∆x,y), (x, y+∆y), (x+∆x, y+∆y) cuando los ∆x, ∆y
EA
5 Puede admitirse puntos de frontera común entre dos partes contiguas de la descomposición de Ω, siempre que la medida o área de la
parte común sea nula.
1.8
Cálculo II
→ 0, lo que se indica escribiendo dx, dy. Expresar el elemento de área en las nuevas variables es determinar la
medida en 2 (o sea, el área plana) de la porción de Ω abarcada por los cuatro puntos análogos
(ρ,θ),(ρ+∆ρ,θ),(ρ,θ+∆θ),(ρ+∆ρ,θ+∆θ) (ver figura 1.1−7). Dicho área vale
ρdρdθ
Observemos que la expresión analítica resultante ha sido:
dxdy =
∂(x,y)
dρdθ = ρdρdθ
∂(ρ,θ)
(1.1−17)
lo que es un resultado general cuando se cambia desde cartesianas a otras variables curvilíneas.
En suma, la transformación de la integral original es:
∫∫
f ( x, y )dxdy = ∫∫
(1.1−18)
f (ρcosθ,ρsenθ)ρdρdθ
R=
g −1 ( Ω )
Ω
Y esta fórmula de cambio de variables la podemos utilizar a conveniencia para efectuar integrales dobles.
Ejemplo 1.1-8: Calcular el volumen de la esfera mediante una integral doble efectuada por cambio de variables a
coordenadas polares.
Solución: Teniendo en cuanta la ecuación cartesiana de la esfera de radio R centrada en el origen O, es decir;
x2 + y2 + z2 = R2
se deduce que debemos integrar sobre el círculo D = {(x,y) ∈
2
/ x2 + y2 ≤ R2} la función
z = f(x,y) = R2 − x2 − y2
y multiplicar por 2 el resultado (pues integraremos entre el plano y el hemisferio positivo). Así tendremos
vol. = 2 ∫∫
R 2 − x 2 − y 2 dxdy
D
Si cambiamos a coordenadas polares del plano XY, se tendrá:
cambio: {x = ρcosθ , y = ρsenθ ; dxdy = ρdρdθ ; f(x,y) =
luego: vol = 2 ∫∫
D
R2 − ρ2 }; D = {(ρ,θ) / 0<ρ≤R, 0≤θ<2π}
R
2π
R 2 − ρ 2 ρdρdθ = 2 ∫  ∫ ρ R 2 − ρ 2 dρ dθ = 2

0 
0

( ∫ dθ )(
2π
0
R
−1
2 0
∫
)
(−2ρ) R 2 − ρ 2 =
3 R 
 2
( R − ρ2 ) 2 
1

R 3 34 πR 3
= 4π
=
= 4π
#.
3
3



2
0 

Ejemplo 1.1−7: Calcular el volumen del cono recto, de radio r y altura h mediante una integral doble en coordenadas
polares.
−1
2
Solución: Se deja como ejercicio. Resulta
1
3
πr 2 h
#.
Cambios de variables más generales en integrales dobles
En el plano
2
la fórmula (1.1-18) se generaliza en los siguientes términos:
Teorema [1.1−8]: Cambio de variables en integrales dobles
Dada la integral
∫∫
Ω
f ( x, y )dxdy sobre un dominio Ω regular en
2
, supongamos que se quiere efectuar un
cambio a las nuevas variables (u,v) que se relacionan con las (x,y) mediante relaciones de transformación dadas
por una función vectorial g
_ en la forma:
g :  2 →  2 
 x = g1 (u , v)
 tal que: 
(u , v) → ( x, y ) 
 y = g 2 (u , v)
Supondremos g_ de clase 1 en _g−1(Ω) y con jacobiano
∫∫
Ω
f ( x, y )dxdy = ∫∫
∂ ( x, y )
∂ ( u ,v )
g −1 ( Ω )
(1.1−19)
≠ 0. Entonces se puede escribir:
f  g (u , v)
∂ ( x, y )
∂ ( u ,v )
dudv
(1.1−20)
donde se toma el módulo del jacobiano en la integral, en previsión de los casos en que el determinante pueda ser
negativo.
Demostración: No la daremos, aunque puede verse la demostración rigurosa en la bibliografía recomendada. #.
Un ejemplo para mostrar la utilidad de usar a veces un cambio más general que el cambio a coordenadas
polares es el siguiente:
CÁLCULO II
Capítulo 1 - Integrales múltiples
Ejemplo 1.1-8: Hallar
∫∫
D
1.9
( x + y ) 2 dxdy , siendo D el paralelogramo delimitado entre las rectas y = −x, y = −x+1, y =
2x, y = 2x−3, buscando previamente un cambio de variables que transforme el paralelogramo D en un rectángulo R
de lados paralelos a los ejes. (Ejercicio de la hoja de Problemas del capítulo)
Solución: ●i) El paralelogramo que determinan las cuatro rectas
tiene por vértices los puntos A(0,0), B( 13 , 32 ) , C( 34 , −31 ), y D(1,−1).
F
F(v1)
v1
Para integrar directamente, deberíamos describir el dominio en tres
a
tramos: {(x,y) / 0 ≤ x ≤ 13 , ‒x ≤ y ≤ 2x} ∪ {(x,y) / 13 ≤ x ≤ 1, ‒x ≤ y ≤
b
A
F(v2)
‒x+1} ∪ {(x,y) / 1 ≤ x ≤ 43 , 2x ‒ 3 ≤ y ≤ ‒x+1}. Pero esto se
v2
simplificará con el procedimiento ordenado en el enunciado.
Con un vértice en el origen, el paralelogramo en realidad puede
figura 1.1-8
determinarse mediante los dos vectores AB = v1 = 13 e1 + 32 e2 y AD = v2 = e1−e2 (AC es la diagonal del paralelogramo y, por tanto, es la suma de los dos señalados). Buscamos una transformación de coordenadas, F, que en realidad
transforme esos vectores como sugiere la figura, es decir, tal que F(v1) = ae2 y F(v2) = be1, para ciertos parámetros a,
b ∈ , que luego ajustaremos a conveniencia. Lo más sencillo es buscar una aplicación lineal, determinada por una
matriz  α11 α12  , a la que exigimos que transforme los vi como queremos, o sea:
 α21
α22 

 α11
 α21
α12 · 13 1 
α22   2 3 −1
=  a0 b0 
 
−1
0 b   1 1   2b 3 −b 3 
=
 α11 α12   0 b · 13 1 
Esto permite deducir:
·
=
0
 α21 α22   a=
 a 0   23 − 13   a a 
  23 −1
Así, tenemos la aplicación lineal: (u,v) = F(x,y) y obtenemos también su inversa _g = F−1
u   2b 3
=
 v   a
−b3   x 
· =
⇔  xy 
a 
 
  y
 2b 3
 a
−1
−b 3  u 
·
=
a 
  v 
 1b
 −1b
1
3a
2
3a
·u 
  v 
Podemos elegir ahora valores para los parámetros a y b, como por ejemplo: a = 13 , b = 1, con lo cual la aplicación
lineal _g buscada tendrá matriz  1 1  y queda así:
 −1 2 
x = g1(u,v) = u + v ; y = g2(u,v) = −u + 2v
∫∫
●ii) Ahora podemos efectuar el cambio de variables en la integral
D
( x + y ) 2 dxdy , para lo cual:
1) se sustituyen las relaciones del cambio anteriores en el integrando y resultará: (3v)2 = 9v2.
∂ ( x, y )
2) el elemento diferencial de área en XY se transforma en: dxdy = ∂ (u ,v ) dudv = 3dudv : obsérvese que el
jacobiano de una aplicación lineal de este tipo es el determinante de su propia matriz.
−1
3) el nuevo dominio de integración será g
_ (D) = F(D) = [0 , b]×[0 , a] = [0 , 1]×[0 , 13 ]
●iii) Finalmente efectuamos la integral con el cambio de variables aplicado:
∫∫
D
( x + y ) 2 dxdy =
1
∫∫
1
0 0
3
(3v) 2 3dudv = 9
(∫ )(∫
1
0
du
1
0
3
) ( )=
3v 2 dv = 9·1· v 3
1
3
0
1
3
#.
e) Ejercicios sobre integrales dobles
Para completar la sección se proponen los siguientes ejercicios:
Ejemplo 1.1-9: Calcular
∫∫
D
e − x dxdy siendo D = {(x,y) : x ≥ 0, ex ≤ y ≤ 2}, en los dos órdenes de integración.
Ejemplo 1.1-10: Dada la integral iterada
1
x
0
0
∫∫
A
∫∫
f ( x, y )dxdy , dibujar el recinto de integración y cambiar el orden de
integración.
Ejemplo 1.1-11: Calcular la integral doble
ydxdy en los siguientes casos:
i) A = triángulo de vértices (0,0), (−1,1) y (1,1).
ii) A = {(x,y): x2 + y2 ≤ 1}
iii) A = {(x,y): x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 10, xy ≤ 3}
1.10
Cálculo II
iv) A = {(x,y): x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 10, xy ≥ 3}
v) A = {(x,y): x2 + (y − 1)2 ≤ 1}
∫
Ejemplo 1.1-12: Dada la integral
2
1
y
dy ∫ 1 f ( x, y )dx , dibujar el recinto sobre el que está planteada y cambiar el
y
orden de integración. (Propuesto en examen de Cálculo II, junio 2009).
Solución: i) La figura 1.1-9 adjunta muestra rayado el recinto D encerrado entre las curvas
{y = 1x , y = x2} y la recta {y = 2}: se dejan los detalles de deducirlo como ejercicio.
ii) Al integrar en el otro orden tomarse los valores de x entre constante y los límites de las y
exigen descomponer el dominio D en unión de dos subdominios: el primero, D1, contendrá
las x entre ½ y 1 y las y entre 1x y 2; y el segundo, D2, contendrá las x entre 1 y
2 y las y
2
entre x y 2.
iii) Para expresar la integral iterada resultante deberá aplicarse la propiedad de aditividad
(1.1-10) y sumar las dos integrales sobre D1 y D2. Los detalles como ejercicio.
#.
Ejemplo 1.1-13: Dada la integral
1
∫ dx ∫
0
1+ 1− x 2
1− ( x −1)2
f ( x, y )dy , dibujar el recinto y cambiar el orden de integración.
Ejemplo 1.1-14: Calcular por cambio a coordenadas polares la integral
∫∫
D
ydxdy , siendo el dominio de
integración: D = {(x,y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, x + y − 2x ≥ 0}
2
2
figura 1.1-9
2
2
_____________________________________________________
(de la Práctica 1)