Tema 5: Integrales múltiples

Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha
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MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA
TEMA 5. INTEGRACIÓN MULTIPLE
1.- Calcular la integral doble
RR
S
f (x, y)dxdy en los siguientes casos
1. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}; f (x, y) = 2xy,
2. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}; f (x, y) = x + y,
3. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 }; f (x, y) = (1 + 2y) sen(x),
4. S el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 1), (1, 0); f (x, y) = x1/2 ,
5. S es el rombo de vértices (−1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, −1); f (x, y) = x3 + y 2 + 2xy,
6. S el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 1), (2, −1); f (x, y) = y 2 .
2.- Calcular la integral doble
RR
S
f (x, y)dxdy en los siguientes casos:
1. S es el recinto acotado, limitado por las curvas y = sen x, y = 0, x = 0, x = π;
f (x, y) = x − y
2. S es el recinto acotado, limitado por las curvas y = x2 , y = x4 ; f (x, y) = 1.
3.- Utilizar la relación
Z Z
1 dx dy = Área de S,
S
para calcular el área de los siguientes recintos:
1. S = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ x2 },
√
3. S = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2, y ≥ x, x ≥ 0}
2. S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ e−x },
4.- Utilizando integrales definidas unidimensionales, calcular las áreas de los conjuntos del
ejercicio 3.
5.- Calcular la integral doble
RR
S
f (x, y)dxdy en los siguientes casos:
1. S = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}; f (x, y) = 1,
2. S = {(x, y) :
1
4
≤ x2 + y 2 ≤ 1}; f (x, y) = (x2 + y 2 )2 ,
3. S = {(x, y) :
1
4
≤ x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ 0}; f (x, y) = y,
4. S = {(x, y) : (x − 1)2 + y 2 ≤ 2, x ≤ 1}; f (x, y) = y,
5. S = {(x, y) : x2 + (y − 1)2 ≤ 2, x ≥ 0}; f (x, y) = x2 + y 2 − 2y + 1,
6. S = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ x/3}; f (x, y) = xy,
x+y
2
RR
6.- Calcular la integral doble S y dxdy siendo S el recinto acotado, del primer cuadrante
limitado por las hipérbolas xy = 1, xy = 2 y las rectas y = 4x e y = x.
7.- Los siguientes recintos S de R2 no están acotados. Expresar la integral (impropia) doble
S f (x, y)dxdy como lı́mite(s) y estudiar si es convergente. En caso de convergencia dar su
valor.
1. S = {(x, y) : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1}; f (x, y) = 1,
RR
2. S = {(x, y) : y ≥ 0, −1 ≤ x ≤ 1}; f (x, y) = x2 e−y ,
3. S = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}; f (x, y) = xy e−(x
2 +y 2 )
.