Lección 1 - Matemática Aplicada II

CÁLCULO
Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010.
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Lección 1. Derivadas. Polinomios de Taylor.
Resumen de la lección.
1.1. La derivada y la recta tangente.
Teorema de Bolzano. Si f es una función continua en un intervalo cerrado
[a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos (es decir, f (a)f (b) < 0)
entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
a
c
b
Derivada. Se dice que una función f es derivable en a si existe, y es finito, el
siguiente límite
f (x) − f (a)
lı́m
= f 0 (a) .
x→a
x−a
Cuando f es derivable en a al resultado del límite anterior, denotado por f 0 (a) , se
le llama derivada de f en el punto a. Si f es una función derivable en a entonces
es continua en a. La función derivada de f está definida sobre el conjunto de
puntos donde f es derivable y es aquella que asigna a cada punto su derivada. Si
la función derivada es, a su vez, derivable en a se dice que f es dos veces derivable
en a, y así sucesivamente pueden construirse derivadas de cualquier orden natural.
Recta tangente. Sea f una función derivable en un punto a. La derivada de f
en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
La recta tangente a la gráfica de f en el punto a es, por tanto, aquélla que pasa
por el punto (a, f (a)) y tiene como pendiente la derivada f 0 (a) ,
y − f (a) = f 0 (a) (x − a) .
Teorema de Rolle. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b],
derivable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f (a) = f (b), entonces existe, al
menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0. Geométricamente esto significa que,
bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el
que la tangente a la gráfica de f es horizontal.
a
b
c
c’
Teorema del valor medio. Si f es una función continua en el intervalo cerrado
[a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe, al menos un punto
c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a)
.
f 0 (c) =
b−a
Geométricamente, esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un
punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es paralela
a la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).
a
c
b
Función de clase C n . Se dice que f es de clase C n en un intervalo I si es n-veces
derivable en todo I y la función derivada n-ésima, f (n) , es continua en todo I. Si
la función f admite derivadas de todos los órdenes en todo el intervalo I entonces
se dice que f es de clase C ∞ .
1.2. Los polinomios de Taylor.
Polinomio de Taylor. Sea f una función de clase C n en un intervalo I y a ∈ I.
El polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n es
pn (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
2!
n!
2
Si a = 0 entonces se denomina polinomio de Maclaurin.
Propiedades de los polinomios de Taylor. Sea f una función de clase C n en
un intervalo I y a ∈ I. Si pn (x) es el polinomio de Taylor de f centrado en a de
grado n entonces:
1. El polinomio pn (x) es de grado menor o igual que n.
2. El polinomio pn (x) es el único polinomio de grado menor o igual que n que
satisface
p (a) = f (a) , p(k) (a) = f (k) (a) ∀k = 1, ..., n.
3. La recta tangente a la gráfica de f en a es la gráfica de p1 (x) .
4. Si f es un polinomio de grado m entonces pn (x) = f (x) para todo n ≥ m.
Polinomios de Maclaurin de funciones elementales.
f (x) = ex
f (x) = sen x
x2
xn
pn (x) = 1 + x +
+ ··· +
2!
n!
p2k+1 (x) = x −
x2k+1
x3
+ · · · + (−1)k
3!
(2k + 1)!
f (x) = cos x
p2k (x) = 1 −
x2
x2k
+ · · · + (−1)k
2!
(2k)!
f (x) = log (1 + x)
pn (x) = x −
xn
x2
+ · · · + (−1)n−1
2
n
f (x) =
1
1+x
pn (x) = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn
α
µ ¶ µ ¶
µ ¶
µ ¶
α
α
α 2
α n
pn (x) =
+
x+
x + ··· +
x
0
1
2
n
f (x) = (1 + x) , α ∈ R
3
donde para α ∈ R y k ∈ N
µ ¶
α
α (α − 1) · · · (α − k + 1)
,
=
k!
k
µ ¶
α
= 1.
0
Operaciones con polinomios de Taylor. Sean f y g dos funciones de clase C n
en un intervalo I. Sean p y q los polinomios de Taylor de f y g, respectivamente,
centrados en a ∈ I y de grado n.
1. Si α, β ∈ R entonces el polinomio de Taylor de h = αf + βg centrado en a
de grado n es pn = αp + βq.
2. El polinomio de Taylor de h = f g centrado en a de grado n es el polinomio
pn que resulta de realizar la operación pq eliminando en el resultado los
términos de grado mayor que n.
3. Si g (a) 6= 0 entonces el polinomio de Taylor de h = f /g centrado en a
de grado n es el polinomio pn que resulta de realizar el cociente p/q con
potencias crecientes hasta grado n.
4. El polinomio de Taylor de la derivada h = f 0 centrado en a de grado n − 1
es pn−1 = p0 .
5. El polinomio de Taylor de una primitiva h de f centrado en a y de grado
n + 1 es la primitiva pn+1 de p que satisface que pn+1 (a) = h (a).
6. Si pe es el polinomio de Taylor de f centrado en g (a) de grado n entonces el
polinomio de h = f ◦g de Taylor centrado en a de grado n, pn , es el resultado
de realizar la operación p◦q eliminando en el resultado los términos de grado
mayor que n.
1.3. El teorema de Taylor.
Error cometido por el polinomio de Taylor. Sea f una función de clase C n
en I y a ∈ I. El error cometido por el polinomio de Taylor de f centrado en a de
grado n es rn (x) = f (x) − pn (x) para cada x del dominio de f . De esta forma
se tiene que
f (x) = pn (x) + rn (x) ,
expresión que se denomina fórmula de Taylor.
Teorema de Taylor. Sean f función de clase C n+1 en un intervalo I, a ∈ I y pn
el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n. Entonces para todo x ∈ I
existe un valor c entre a y x (es decir, si x > a entonces c ∈ (a, x) y si x < a
entonces c ∈ (x, a)) de forma que
rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − a)n+1 .
(n + 1)!
4
Además se verifica que
rn (x)
n = 0.
x→a (x − a)
lı́m
Por lo tanto
f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + · · · +
f (n) (a)
f (n+1) (c)
(x − a)n +
(x − a)n+1 ,
n!
(n + 1)!
ecuación que se denomina fórmula de Taylor centrada en a de grado n con resto
de Lagrange.
El teorema del valor medio (de Lagrange) es un caso particular del teorema
de Taylor.
Errores de los polinomios de Maclaurin de las funciones elementales.
En todos los casos, si x > 0 entonces c ∈ (0, x) y si x < 0 entonces c ∈ (x, 0) .
rn (x) = ec
f (x) = ex
f (x) = sen x
r2k+1 (x) = sen c
f (x) = cos x
r2k (x) = sen c
f (x) = log (1 + x)
f (x) =
1
1+x
α
f (x) = (1 + x) , α ∈ R
rn (x) =
xn+1
(n + 1)!
(−1)k+1 x2k+2
(2k + 2)!
(−1)k+1 x2k+1
(2k + 1)!
(−1)n xn+1
, ∀x > −1
(1 + c)n+1 n + 1
rn (x) = (−1)n+1 (1 + c)−n−2 xn+1 , ∀x 6= −1
α−n−1
rn (x) = (1 + c)
µ
¶
α
xn+1 , ∀x > −1
n+1
1.4. Aplicación: Cálculo de indeterminaciones.
Indeterminaciones. Las indeterminaciones se producen en los límites de ciertas
operaciones cuando ocurre alguna de las siguientes circunstancias en las cuales
no es posible predecir el resultado. Sea a ∈ R o a = ∞.
5
¶
∞ 0
,
. Se tiene que lı́m f = lı́m g = ∞ o lı́m f = lı́m g = 0
1. Tipo cociente
x→a
x→a
x→a
x→a
∞ 0
∞
f
puede transformarse en
y se quiere calcular lı́m . La indeterminación
x→a g
∞
0
haciendo
0
f
1/g
=
.
g
1/f
µ
El resto de indeterminaciones pueden transformarse en la anterior.
2. Tipo producto (0 · ∞). Se quiere calcular lı́m f g teniéndose que lı́m f = 0
x→a
x→a
y lı́m g = ∞. En este caso si se escribe
x→a
fg =
f
,
1/g
se transforma en una indeterminación del tipo anterior.
3. Tipo diferencia (∞ − ∞). En este caso, se quiere calcular lı́m f − g teniénx→a
dose que lı́m f = lı́m g = ∞. Para ello se transforma la expresión de la
x→a
x→a
siguiente forma
µ
¶
g
f −g =f 1−
.
f
4. Tipo potencia (00 , ∞0 , 1∞ ) . En este caso, se quiere calcular lı́m f g donde
x→a
lı́m f = lı́m g = 0, o lı́m f = ∞ y lı́m g = 0, o lı́m f = 1 y lı́m g = ∞. Para
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
ello se escribe la expresión de la siguiente forma
f g = eg log f .
Teorema de L’Hôpital. Sean f, g funciones de clase C 1 en un intervalo I y
a ∈ I tales que g0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I con x 6= a.
f 0 (x)
= L entonces
Si se tiene que lı́m f (x) = lı́m g (x) = 0 y lı́m 0
x→a
x→a
x→a g (x)
f (x)
= L.
x→a g (x)
lı́m
Este resultado también es válido si a = ∞.
Infinitésimos equivalentes. Sea f una función de clase C n+1 , n ≥ 1, en un
intervalo I y a ∈ I de forma que f (a) = f (k) (a) = 0 para todo k = 1, ..., n − 1
y f (n) (a) 6= 0. Si p (x) es el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n,
6
p (x) =
decir
f (n) (a)
(x − a)n , entonces f y p son infinitésimos equivalentes en a, es
n!
f (x)
= 1.
x→a p (x)
lı́m
Resolución de indeterminaciones usando infinitésimos equivalentes. Sean
f, g dos funciones definidas en un intervalo I y sea a ∈ I un punto tal que
f (a) = g (a) = 0. Si p y q son infinitésimos equivalentes en a de f y g, respectivamente, entonces
f (x)
p (x)
lı́m
= lı́m
.
x→a g (x)
x→a q (x)
1.5. Aplicación: Búsqueda de extremos de una función.
Extremo relativo de una función. Sea f una función definida en un intervalo
I. Se dice que f alcanza en el punto a ∈ I un máximo (mínimo) relativo si
existe un entorno de a donde f esté definida, es decir un intervalo de la forma
(a − ε, a + ε) ⊂ I, de manera que para todo x ∈ (a − ε, a + ε) se verifica que
f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)). Bajo dicha condición al valor f (a) se le denomina máximo (mínimo) relativo de f . Los máximos y mínimo relativos de f se
denominan conjuntamente extremos relativos de f .
Condición necesaria de la primera derivada. Si f es de clase C 1 en I y f
alcanza un extremo relativo en a ∈ I entonces f 0 (a) = 0.
Punto crítico. Sea f una función de clase C 1 en un intervalo I. Los puntos a ∈ I
que satisfacen que f 0 (a) = 0 se denominan puntos críticos de f.
Condición suficiente de la segunda derivada. Sea f una función de clase
C 3 en un intervalo I y a ∈ I un punto crítico de f . Entonces:
1. Si f 00 (a) > 0 entonces f alcanza un mínimo relativo en a.
2. Si f 00 (a) < 0 entonces f alcanza un máximo relativo en a.
Si f 00 (a) = 0 no da información. En este caso, el resultado se puede extender
para derivadas de orden superior. Si f es de clase C 4 en el intervalo I y f 000 (a) 6= 0
en el punto crítico a ∈ I entonces a es un punto de inflexión de f (punto donde
se produce un cambio de convexidad en la gráfica de la función).
Extremo absoluto de una función. Sea f una función definida en un intervalo
I. Se dice que f alcanza un máximo (mínimo) absoluto para I en a ∈ I si para
todo x ∈ I se verifica que f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)). Bajo dicha condición al
valor f (a) se le denomina máximo (mínimo) absoluto de f en I. Los máximos y
mínimos absolutos de f en I se denominan conjuntamente extremos absolutos de
f en I.
7
Teorema de Weierstrass. Si f es una función continua en un intervalo cerrado
y acotado I = [a, b] entonces existen el máximo y el mínimo absolutos de f en I.
Búsqueda de los extremos absolutos. Sea f de clase C 1 en el intervalo I. Para
encontrar los extremos absolutos de f en I necesitaríamos realizar los siguientes
pasos:
1. Garantizar la existencia de los extremos requeridos.
2. Encontrar los puntos críticos contenidos en el interior de I.
3. Tomar los extremos del intervalo I.
4. Evaluar f en todos los puntos seleccionados en los apartados 2 y 3. La
mayor de dichas evaluaciones es el máximo absoluto de f en I, y la menor
de ellas es el mínimo absoluto de f en I.
8
Ejercicios de la lección.
Ejercicio 1.
1. Prueba que la función polinómica f (x) = x3 + 2x − 1 tiene un único cero
en el intervalo [0, 1].
2. Prueba que la función f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 5 tiene un único cero en toda
la recta real y que dicho cero se encuentra en el intervalo [1, 2].
Ejercicio 2. Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que
f [a, b] ⊂ [a, b] y f 0 (x) 6= 1 para todo x ∈ [a, b]. Prueba que dicha función tiene un
único punto fijo en [a, b], esto es, existe un único valor c ∈ (a, b) tal que f (c) = c.
Ejercicio 3. Encuentra el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones en toda la recta real:
1. x3 − 12x + 3 = 0.
2.
3x2
+ 1 = 0. (Junio 04-05)
x3 + 1
Ejercicio 4. Dada la función f (x) = cos(πx), prueba que existe al menos un
punto c ∈ [1, 2] tal que la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto es
y − cos(cπ) = 2(x − c).
Ejercicio 5. Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el
grado indicado.
2. f (x) = ex sen x, grado 3.
1. f (x) = e−x + ex , grado 4.
−1
3. f (x) = (1 + x2 ) , grado 4.
4. f (x) = cos (x2 ), grado 5.
5. f (x) = arctan x, grado 5.
6. f (x) = esen x , grado 4.
Ejercicio 6. Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el
grado indicado.
2. f (x) = ex log (1 + x), grado 4.
1. f (x) = (1 + cos x)−1 , grado 3.
√
3. f (x) = (x − 1)3 , grado 4.
4. f (x) = 3 1 − x, grado 4.
√
√
5. f (x) = 1 + x4 , grado 8.
6. f (x) = x2 1 − x2 , grado 8.
x
(Primer Parcial 04-05)
7. f (x) =
, grado 8.
1 + 2x4
Ejercicio 7. Calcula los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones que se
indican a continuación centrados en el punto dado.
1. f (x) = (1 − x)−1 centrado en a = 0.
9
2. f (x) = x (1 + x)−1 centrado en a = 1.
3. f (x) = log x centrado en a = 1.
4. f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 5 centrado en a = 2.
Ejercicio 8. Determina los polinomios de Maclaurin de grado 3 de las primitivas
que se anulan en x = 0 de las siguientes funciones .
 1 − cos x

, x 6= 0



x2
2
1. 1. f (x) = e−x .
2. f (x) =



1

,
x = 0.
2
Ejercicio 9.
1. Aproxima el número e usando el polinomio de Maclaurin de f (x) = ex de
grado 4 y estima el error cometido.
2. Aproxima el número sen (0.5) usando el polinomio de Maclaurin de la función f (x) = sen x de grado 5 y estima el error cometido.
3. Aproxima el número log (0.9) usando el polinomio de Maclaurin de la función f (x) = log (1 + x) de grado 4 y estima el error cometido.
4. (Junio 08-09) Aproxima el número (1,1)−5/2 usando el polinomio de Maclau1
rin de la función f (x) = q
de grado 2 y estima el error cometido.
5
(1 − x)
Ejercicio 10. Resuelve los siguientes límites en función del párametro a.
log x
1. lı́m+ xa , a ∈ R.
2. lı́m+ a , a ∈ R.
x→0
x→0
x
log x
ex
3. lı́m
,
a
∈
R.
4.
lı́m
, a ∈ R.
x→+∞ xa
x→+∞ xa
Ejercicio 11. Resuelve los siguientes límites.
¡√
√ ¢
1. lı́m+ xsen x .
2. lı́m
x+1− x .
x→+∞
x→0
µ
µ
¶x
¶x
1
1
3. lı́m 1 +
.
4. lı́m 1 +
.
x→0
x→+∞
x
x
5.
2
lı́mπ (sen x)tan
x→ 2
x
.
Ejercicio 12. Resuelve los siguientes límites.
1
2. lı́m x sen .
1. lı́m sen x.
x→+∞
x→0
x
10
3.
lı́m
x→0
sen x
.
x
Ejercicio 13. Resuelve los siguientes límites.
sen (x4 )
x − sen x
1. lı́m
.
2. lı́m+
3 .
4
x→0 (e2x − 1)
x→0 (x sen x) 2
µ
¶1
sen (2x) cos (x)
tan x x
3. lı́mπ
.
4. lı́m+
.
x→ 2
x→0
x sen (4x)
x
x tan x − tan2 x
5. lı́m
. (Primer Parcial 05-06)
x→0 sen2 x − x sen x
Ejercicio 14. (Septiembre 03-04) Considera la función
√
√
1 + x2 − 1 − x2
√
.
f (x) = arctan √
1 + x2 + 1 − x2
Se pide:
x
1. Comprueba que f 0 (x) = √
1 − x4
2. Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 4n + 1, con n ∈ N, de la función
f 0 (x).
3. Calcula, haciendo uso del apartado anterior, el polinomio de Maclaurin de
grado 4n + 2, con n ∈ N, de la función f (x).
4. Halla
√
√
1
1 + x2 − 1 − x2
√
lı́m
arctan √
.
x→0 sen2 x
1 + x2 + 1 − x2
Ejercicio 15.√(Primer parcial 06-07) Obtén el polinomio de Maclaurin de grado
6 de f (x) = 3 1 − x2 y resuelve el límite
√
3
1 − x2 − 1 + x2
lı́m
.
x→0 x − log (1 + x)
Ejercicio 16. (Primer Parcial 07-08) Construye el polinomio de Maclaurin de
grado 5 de la función f (x) = x2 log (1 + 3 sen x) y halla el límite
lı́m
x→0
f (x)
(1 − cos x)3/2
.
p
Ejercicio 17. (Primer Parcial 08-09) Considera la función f (x) = 1 + log (1 + x).
Construye su polinomio de Maclaurin de grado 3 y calcula el límite
lı́m
x→0
2f (x) − 2 − x
.
x sen x
Ejercicio 18. Encuentra los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones en los intervalos mencionados.
11
1. f (x) =
2 (x − 1)
− log (x2 ) en R.
x
2. f (x) = ex sen x en (−2π, 2π).
3. f (x) = xn e−x en R.
Ejercicio 19. Encuentra el extremo absoluto requerido de las siguientes funciones
en los intervalos mencionados.
√
1. El mínimo absoluto de f (x) = x4 − 3x2 + 4 en [−1, 2].
2. El máximo absoluto de f (x) =
1
7
en [0, 1] .
(1 + x) 2
3. El máximo absoluto de f (x) = |6x − x3 | en [0, 3].
Ejercicio 20. Sea g (x) la primitiva de f (x) =
ex
tal que g (1) = 0. Se pide:
x
1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de g en a = 1.
2. Aproxima g (1.1) usando el polinomio anterior.
3. Encuentra el máximo absoluto de |x2 − 2x + 2| en [1, 1.1] .
4. Estima el error cometido por la aproximación del apartado 2 haciendo uso
del apartado 3.
12