x - 4 -21 - Protecsoluciones

GUIA DE EJERCICIOS
“LIMITE DE FUNCIONES”
1.
Considere la función f ( x)  x  5
a) ¿Existe f (1) ?
x cercanos a -1 (por cualquiera de los
lados de -1). Investigue qué pasa con las imágenes f ( x) cuando x se acerca
b) Haga una tabla de valores de f ( x) con
a -1.
2.
Considere la función f (x) 
x2 4
x2
b) ¿Existe f (2) ?
c) Haga una tabla de valores de f (x) con cercanos a -2 (por cualquiera de los
lados de -2). Investigue qué pasa con las imágenes f (x) cuando
x se acerca
a -2.
DEFINICIÓN Significado intuitivo de límite
Decir que
lim f (x)  L
significa que cuando
xc
c , entonces f ( x) está cerca de L .
3.
Calcule los siguientes limites:
a)
lim 2x  3
4
x2
b)
lim 33x  42
x0
c)
2
22x  21
lim(2x 2  3x3  16)
x4
d)
lim( x 2  2t 1)
x2
e)
2
lim x  4x  5
x1
x 1
1
x está cerca de c , pero diferente de
4.
Calcule los siguientes limites:
a)
c)
h)
lim x 2  9
x3
x3
i)
lim t 2  4t  21
j)
3
f)
x0
x
lim
x3 1
x1
(t  7)
d) lim
t7
t 7
2x  2  2
lim x 2  a 2
xa
k)
2
lim (2  h)  4
x a
lim x 132 2 x 1
l)
2
2
lim ( x  h)  x
lim x  x  2
x2
4x 1  3
h
h0
x 9
x3
h
h0
x
lim 1  x  1  x
t7
t 7
e)
lim x  4  2
x0
x2
x0
b)
g)
4
3
2
lim x  2x  x
LIMITES LATERALES
DEFINICIÓN Límites por la derecha y por la izquierda
Decir que lim f ( x)  L significa que cuando x
está cerca, pero a la derecha de
xc
c,

entonces f ( x) está
cerca de L . De manera
análoga, decir que
lim f (x)  L ,
xc
significa que cuando
x está cerca, pero a la izquierda de c , entonces

f ( x)
está
cerca de L .
TEOREMA:
lim f (x)  L  lim f (x)  lim f (x)  L
xc
5.

xc

xc
Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
x3
; x2
3x 1
; x2
f ( x) 
2
6.
Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , cuyo gráfico está
a continuación:
7.
f ( x)
Calcule los límites laterales de la función
en el punto
x  0 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
2
; x0
x 1
; x0
f ( x) 
8.
Calcule los límites laterales de la función
f ( x) en el punto
x  0 , cuyo gráfico
está a continuación:
f ( x)
9. Calcule los límites laterales de la función
en el punto
existe el límite de la función en dicho punto.
x
; x0
f (x) 
x
3
2
; x0
x  0 , indicando si
10. Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  0 , cuyo gráfico
está a continuación:
11.
Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x 1, indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
2
f (x)  x
; x 1
x2
; x 1
f ( x) en el punto x 1, cuyo gráfico
12. Calcule los límites laterales de la función
está a continuación:
13.
Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
x
2
; x2
f (x) 
x6
4
; x2
14. Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , cuyo gráfico está
a continuación:
f ( x) en el punto
15. Calcule los límites laterales de la función
x  5 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
x2
; x5
f ( x) 
 x  10 ; x  5
16. Calcule los límites laterales de la función
f ( x) en el punto
x  5 , cuyo gráfico
está a continuación:
17.
Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
x 2  2x
; x2
f ( x) 
2
x  6x  8 ; x  2
5
18. Calcule los límites laterales de la función f ( x) en el punto x  2 , cuyo gráfico está
a continuación:
19. Calcule los límites laterales de la función
f ( x)
en el punto
x0
y
x2,
indicando si existe el límite de la función en dichos puntos.
x
f (x)  x
; x0
2
; 0x2
8x
20.
; x2
Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  0 y x  2 , cuyo
gráfico está a continuación:
6
21. Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  2 y x  6 ,
indicando si existe el límite de la función en dichos puntos.
 4x  6 
x
x
f (x)  4x  6 
 4x  6 
2
;
x2
;
2x6
;
x6
22
2
x2
2
22.
Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  2 y x  6 , cuyo
gráfico está a continuación:
23. Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  0 y x  2 ,
indicando si existe el límite de la función en dichos puntos.
; x0
x2
f (x)  2 
x
x 2
7
; 0x2
; x2
24.
Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  0 y x  2 , cuyo
gráfico está a continuación:
25. Calcule los límites laterales de la función
f (x) en el punto x  0 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
f (x) 
x2
; x0
1
; x0
x2 ; x0
26. Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  0 , cuyo gráfico está
a continuación:
8
27. Calcule los límites laterales de la función f (x)
en el punto x  0 , indicando si
existe el límite de la función en dicho punto.
x 2  2x
;
x0
; x0
f (x)  1
x2
;
x0
28. Calcule los límites laterales de la función f (x) en el punto x  2 , cuyo gráfico está
a continuación:
9
SOLUCIONES
GUIA DE EJERCICIOS N° 5
LIMITE DE FUNCIONES
1. a) f (1)  4
b)
x
f (x)
-0.9
-0.999
-0.9999
-1.001
-1.01
-1.1
4,1
4,001
4,0001
3,999
3,99
3,9
Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -1, se observa que
las imágenes se acercan a 4.
Luego
lim f (x)  4
x1
2.
a) f (2) 
0
, no existe imagen
0
b)
x
f (x)
-1.9
-1.999
-1.9999
-2.001
-2.01
-2.1
-3,9
-3,999
-3,9999
-4,001
-4,01
-4,1
Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -2, se observa que
las imágenes se acercan a -4.
Luego
lim f (x) 4
x2
3.
1
a)
b)
c)
d)
e)
4
2
240
2t  3
4
10
4.
1
4
a)
1
g)
b)
6
h)
1
c)
10
i)
6
3
5.
d)
0
j)
e)
4
k)
f)
2x
l)
x2

x2

x2
lim f ( x)  5
;

x2


lim (x 1) 1
x0
lim f (x)  lim f ( x) ⇒ lim f (x) NO EXISTE
;

lim f ( x)  2
x0

x0
;

x0

x0
lim f ( x) 1
x0

lim ( x)  0
x0

lim (x 2 )  0
x0
10.
x2
lim (2)  2
x0
9.
9
8
lim f (x)  lim f ( x)  lim f (x)  5
;

lim f ( x)  5
x2
8.
1
16

lim (3x 1)  5
7.
3
lim ( x  3)  5
x2
6.
4a 2  4 a
lim f ( x)  0
x0
;


lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0

x0
;
x0

x0
lim f ( x)  0
x0

11
11.
lim (x 2 )  1

x1
lim ( x  2) 3
lim f ( x)  lim f ( x) ⇒ lim f ( x) NO EXISTE
;

x1
12.
x1
lim f ( x)  1
x1

lim (x  6)  4
x2

;

x5

lim f ( x)  lim f (x) ⇒ lim f (x) NO EXISTE
;



x5
;

x5
x5
lim f ( x)  5
x5

lim (x 2  2x)  0
x2

lim (x 2  6x  8)  0
x2
;

lim f ( x)  0
x2
19.
x2

lim f ( x)  7
x5
18.
x2
lim f ( x)  4
x2
lim (x  10)  5
17.

x2
lim ( x  2)  7
x5
16.
lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  4
;

lim f (x)  4
x2
15.
x1
lim (x 2 )  4
x2
14.


x1
13.
x1
lim f (x) 3
;



lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0
x2
;


x2
x2
lim f ( x)  0
x2

Para el punto x  0 , tenemos que:
lim ( x)  0
x0

lim (x 2 )  0;
x0

lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0
x0

x0

x0
12
Para el punto x  2 , tenemos que:
lim (x 2 )  4
x2

lim (8  x)  6
x2
20.
lim f (x)  lim f ( x) ⇒ lim f (x)
;


x2
x2

NO EXISTE
x2
Para el punto x  0 , tenemos que:
lim f ( x)  0
x0
;

lim f ( x)  0

x0
Para el punto x  2 , tenemos que:
lim f (x)  4
x2
21.
lim f ( x)  6
;

x2

Para el punto x  2 , tenemos que:
2
lim (4x  6  x
x2
lim (4x  6  x
x2

)0
2

2
)0
lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0
;
2
x2


x2
x2
Para el punto x  6 , tenemos que
lim (4x  6  x
x6

2
)0
2
lim (4x  6  x
x6
22.

2
)0
2
;
lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0
x6


x6
Para el punto x  2 , tenemos que:
lim f ( x)  0
x2
;

lim f ( x)  0
x2

Para el punto x  6 , tenemos que:
lim f ( x)  0
x6

;
lim f ( x)  0
x6

13
x6
23.
Para el punto x  0 , tenemos que:
lim ( x  2)  2
x0

lim (2  x)  2
x0
lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  2
;


x0
x0

x0
Para el punto x  2 , tenemos que
lim (2  x)  0
x2

lim f (x)  lim f (x)  lim f ( x)  0
lim (x  2)  0;
x2
24.


x2
x2

x2
Para el punto x  0 , tenemos que:
lim f ( x)  2
x0
lim f ( x)  2
;

x0

Para el punto x  2 , tenemos que
lim f ( x)  0
x2
25.
lim f ( x)  0
;

x2
lim (x 2 )  0
x0

lim ( x  2) 2
x0
26.

x0
x0

x0
lim f ( x) 2
;

x0

lim (x 2  2x)  0
x0

lim ( x  2) 2
x0
28.
lim f (x)  lim f ( x) ⇒ lim f (x) NO EXISTE
;

lim f ( x)  0
x0
27.

lim f (x) 6
x2
lim f (x)  lim f ( x) ⇒ lim f (x) NO EXISTE
;



x0
;
x0

lim f ( x)  0
x2

14
x0